2013動點值問題解法探析1

1、動點最值問題解法探析一、問題原型：如圖1-1,要在燃?xì)夤艿?，上修建一個泵站，分別向乂、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、基本解法：對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變）， 確定動點位置，計算線路最短長度。三、一般結(jié)論：PA+PB3/B（F在線段43上時取等號）（如圖1-2）線段和最小，常見有三種類型：（一）“ |定動|+|定動型：兩定點到一動點的距離和最小通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動點在這個定點的對稱點及另

2、一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短” 可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長。i.兩個定點+一個動點。如圖1-3,作一定點幺關(guān)于動點。所在直線，的對稱點 ,線段（是另一定點） 與，的交點即為距離和最小時動點 C位置，最小距離和 =例1 （2006年河南省中考題）如圖2,正方形 ABCD 的邊長為2 , E是8c的中點，F(xiàn)是對角線力。上一動點，則PB+PE的最小值是S與。關(guān)于直線AC對稱，連結(jié)DP ,則陽二。連結(jié)DR，在她DCE中,。二2, H 產(chǎn)，則加=g1+EC2 =歷3 出PB + PE-PD-PEDS =故PB+越的最小值為A例2（2009年濟(jì)南市中考題）如圖3,已知：拋物線 穌

3、+6彳+ C（GH。）的對稱軸為x = l,與I軸交于工、3兩點，與軸y交于點C ,其中 人犯,CQ-2）。圖 3（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對稱軸上存在一點 p,使得 MBC的周長最小，請求出點 P的坐標(biāo)。解析：（1）對稱軸為 工二-1,小犯， 由對稱性可知：3。/）。根據(jù)乂、B、C2 Y _y = -x +1-2三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：二 _（2）工與3關(guān)于對稱軸工二-1對稱，連結(jié)AC, RC與對稱軸交點即為所求 產(chǎn)點。=3-2設(shè)直線j4c解析式為： y = kx+b。把 4TQ）、C（Q-2）代入得,3”。244 y = x （1） 2 =尸（一 L）當(dāng)

4、工二一 1時，33,則 32.兩個定點+兩個動點。兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。例3如圖4,河岸兩側(cè)有 幺、3兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？圖4解析：設(shè)橋端兩動點為 MM,那么N點隨M點而動， 班等于河寬，且出力垂 直于河岸。將B向上平移河寬長到,線段43,與河北岸線的交點即為橋端 M點位置。四邊形為平行四邊形,=,此時幺財+3N=乂=值最小。那么來往乂、3兩村最短路程為： 助T+惻+泌二的4惻。例4 （2010年天津市

5、中考）在平面角坐標(biāo)系中，矩形 OABC的頂點0在坐標(biāo)原點，頂點幺、分別在工軸、y軸的正半軸上，04二3, OR =4,。為邊0E的中點。（1）若為邊，上的一個動點，當(dāng) Am 的周長最小時，求點 E的坐標(biāo)；（2）若, f為邊CM上的兩個動點，且月f = 2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點S, F的坐標(biāo)。QD0D* = 0D = = 2 7ym解析：作點。關(guān)于I軸的對稱點0f，則2, U-2J。（i）連接CD交軸于點,連接,此時ACDE的周長最小。由8 KDBCOE _ Df0 os_BCxDtO _3x2可知正一訴，那么 麗（T -,則躍，。）。（2）將C向左平移2個單位（EF=2）到C點，

6、定點D、C分別到動點E、F的距離和等于為定點D、C到動點E的距離和，即DE+CF = DE+C1E。從而把“兩個定 點和兩個動點”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點和一個動點”類型。在BC上截取CC= 2,連接DC交X軸于E,四邊形EFCCf為平行四邊形，CE=CF 0此時DE+CF = DE+C*E=W值最小，則四邊形CDEF的周長最小。由D（0,-2）、CQ4）可求直線00f解析式為6x-2,“ =。時，,即%期,7F（）廣則 3。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）o|E A工 可歹fXS5-1E5-2（二）“ |動定|+|動動|”型：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距

7、離和最小。利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上（兩點之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線（連接直線外一點與直線上各點的所有線段 中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。例5 （2009年陜西省中考）如圖6,在銳角AA3C中，=2亞，ZBAC = 45,/即C的平分線交3C于點艦、M分別是幺）和4S上的動點，則BM+KM的最 小值為4 。AN B A H B圖6解析：角平分線所在直線是角的對稱軸， AB上動點N關(guān)于AD的對稱點 即在松上,W= W,施+函=MS+咖之用，當(dāng)時，最小。作1RC于M ,交AD于M ,Btr= = = 4.ab

8、 二 2也,BAC 二 45。顯顯作 NNf X AD 交 AB 于 N, MB + MN 之 EN1 二 4圖 7例6如圖7,四邊形和?是等腰梯形，A 在軸片上，D在/軸上，ABHCD , AD 二 BC 二 , AB - 5，CD 二 3，拋物線 y - f +bx+e 過乂、B 兩點。（i）求b、C ；（2）設(shè) 般是x軸上方拋物線上的一動點，它到 不軸與1y軸的距離之和為d ,求d的 最大值；（3）當(dāng)（2）中加點運動到使d取最大值時，此時記點 加為M,設(shè)線段AC與y軸 交于點s, F為線段EC上一動點，求尸到M點與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，并求此時 置點的坐標(biāo)。解析：（1）由ABHCD

9、, AD -BC-而,= 5 ,CD = 3 可得：盤T，。）、8（4。）、 D（0,4）、CQA）；根據(jù)R、3的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為了二一x +31+ 4設(shè)Gj）,且（-lx4）,則 d = j+|-（-/+3彳+4）+|工|,用零點分 -6 - 1）口+5（-1 WO）d ，段法可求得，一02尸+80 x = ,則有月（0,1）。由 OA二OB可知，NOEA = 450= ZFEG。作NH _l曾由于以，過B點作X軸的平行線 丁 二 1,交加于P,那么 NP=NH-PH=yN-ys = = 5o 作畫，即于K, 則 FG = FK,FN+RG =當(dāng)F 是 AC 于 NF的交點時，:二與

10、比？重合，剛+月G有最小值5。函數(shù)二1+1,此時1二2,則）=2+1 = 3 ,即 月（23。3. “|定動|+|動動|+|動定|”型：兩定點到兩動點的距離、以及兩動之間距離和最小。例7 （2009年漳州中考）如圖8, ZAOE 二 45。，P 是403 內(nèi)一點，P0 二 10 ，。、k分別是必和OR上的動點，求AP0X周長的最小值。圖8 c解析：分別作?關(guān)于，、OB的對稱點C、D,連接CD,則FR + FQ+ RQNCD ,當(dāng)Q、R在線段CD上時，APQR周長最小，COD = 2UOB = 9。, OC = OD = OF = 1QCD二;OC=io。則AFQK周長的最小值為1族例8高速公路

11、Y與滬渝高速公路 X垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（幺）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，幺B二50七，A到直線X的距 離為1依附，3到直線X和Y的距離分別為40E和30上期。請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)產(chǎn)、。，使P、R、B、。組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。夕，連接W ,乂F+PQ+3。=之/丁 。當(dāng)P、。在線段川夕上時，乂產(chǎn)+即+?。=用夕最小。過乩分別作X軸、Y軸的平行線交于Co在跖WCB中，AfC= 100, BfC= 50, 交X軸于P,交Y軸于Q。Ha二J100+50,二50出,而乂8二50 四邊形的周長最小值為：HB+4/=50（拈+1）

12、線段和的最值與定值”問題初探 學(xué)生常常找不到解題的突破口，此類 試題往往同根而異形，利用兩個 典型題例”進(jìn) 行 發(fā)散式”的概括和引申，是解決此類問題的一個捷徑。所謂 典型題例”，就是某些題例雖然不是幾何公理或定理，卻可以舉一反三 地運用于其他相關(guān)的系列問題的解答。下面就線段和的最值與定值”問題，運用兩個典型題例”的源命題進(jìn)行探討。一、關(guān)于線段和的最小值源命題（北師大版七年級下冊 P228第七章習(xí)題7.3問題解決”第2題）：如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從 A、B到它的距離之和最短？居民國H居鳳區(qū)*/I明道I巾本題的解答是：作出點B的軸對稱

13、點B1 ,連接AB1交直線l于點P,則點 P為所求的奶站位置。利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例：【關(guān)聯(lián)題1】（2008年湖北荊門市中考題）如圖2,菱形ABCD的兩條對角線分別長 6和8,點P是對角線AC上的 一個動點，點 M、N分別是邊AB、BC的中點，則PM+PN 的最小值是P2析解：利用菱形的對稱性，在 AD上找出點M關(guān)于AC的對稱點M，（即 AD的中點），連結(jié) M，N交AC于P,則PM+PN 的最小值為線段 Mz N的長, 而M，、N分別為邊AD、BC的中點，故M，N的長等于菱形的邊長5?！娟P(guān)聯(lián)題2】（2007 年樂山市中考題）如圖3, MN是。O的直徑，MN

14、=2 , 點A 在OO 上，Z AMN=30, B為弧AN的中點，P是直徑MN 上一動點，則PA+PB的最小值為（）2 T H . %丁析解：連結(jié)OA,由/AMN=30得/AON=60 ,取點B關(guān)于MN的對稱 點Bz，中國教育文庫：www.china- 連結(jié)OB，、AB，AB，交MN于點 P,則AB，的長為PA+PB的最小值，且易知/ AOB / =90 ,即AAOB/為等腰Rt，故【關(guān)聯(lián)題3】(2008年湖北黃石市中考題)如圖4,在等腰/ ABC中，/ ABC=120 ，點P是底邊AC上一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為2,則/ABC的周長是()R2+ X T C

15、.4D.-1+2 T析解：把等腰/ ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【關(guān)聯(lián)題 1】的解答可 知，PM+PN 的最小值就是菱形的邊 AB的長，故AB=2 ,由AB=BC=2 , / ABC=120易求得,因此/ABC的周長是()?！娟P(guān)聯(lián)題4】(威海市2009年中考題)如圖5,在直角坐標(biāo)系中，點A, B, C的坐標(biāo)分別為(-1,0), (3,0), (0, 3),過A, B, C三點的拋物線的對稱軸為直線l, D為對稱軸上l 一動點， (1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD 最小時點D的坐標(biāo)；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作。A,證明：當(dāng)AD+CD 最小時, 直線BD與OA相切。寫出直線

16、BD與OA相切時，D點的另一個坐標(biāo)。析解：(1)可設(shè)y=a(x+1)(x-3),再代入點C坐標(biāo)，即可求得y=-x2+2x+3。(2)利用點A、B關(guān)于直線l:x=1對稱，連結(jié)BC交l于D,則此時AD+CD 取得最小值；設(shè)l與x軸交點為E,由/BEDs/BOC 可求得DE=2 , BD=2 姨2 =AD ,所以D的坐標(biāo)為(1,2)。(3)如圖6,連結(jié)AD,由點A、B、D、E的坐標(biāo)易知/ ADE 和/ BDE 均 為等腰RtA,故/ ADE=Z BDE=45 所以/ ADB=90 ,所以直線BD與OA相 切。由對稱性知點D的另一個坐標(biāo)是(1,-2)上述源命題還可作進(jìn)一步引申：【引申題】小明在某景區(qū)游

17、玩，他打算從景點A到河邊(直線1)走一段(長 度為已知線段a)再到景點B,怎么走最近？析解：如圖7,本題的關(guān)鍵是確定直線1上的兩點D、E,因DE=a為定長, 故只需AE+BD 為最小即可；作線段 AC / 1且AC=a，作點C關(guān)于直線1的軸對 稱點C，,連接C，B交直線1于點D,在直線1上截取DE=a ,連接AE ,則小 明應(yīng)走的路線是 AE -ED f DB。理由是：連接 CD,則CD=AE=C，D,因DE=a 為定長，故只須AE+BD(=CD+BD) 最小即可?！娟P(guān)聯(lián)題1】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點 A (2, -3) , B (4, -1) ,(1)若 C (a, 0) , D (a+3

18、, 0),是x軸上的兩個動點，則當(dāng)a= 時，四邊形ABCD 的周長最短。(2)設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動點，是否存在這樣的點 M (m , 0), N (0, n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出 m、n的值；若不存 在，請說明理由。析解：(1)如圖8,本題中AB和CD ( a+3-a=3 )均為定長，故只需AC+BD 取最小值即可； 平移點A H A1 ,使AA1=CD=3 ，作點A1關(guān)于x軸的對稱點 A2,連結(jié)A2B交x軸于D,作AC/A1D交x軸于點C,由上述 里申題”結(jié)論 知此時AC+BD 取得最小值；求得直線 A2B的解析式為y=4x-17 ,可111即1 - l 所

19、以；廠441B 8（2）如圖9,本題中AB為定長，分別作點A、B關(guān)于y軸、x軸點對稱 點A1、B1 ,連接A1B1交x軸于M,交y軸于N,則根據(jù)上述 源命題”的結(jié)論,M、N為所求的點；易得直線 A1B1的解析式為,令y=0得二、關(guān)于線段和為定值問題關(guān)于線段和為定值問題，可由一個較經(jīng)典的源命題進(jìn)行引申發(fā)散。源命題：（來自馬復(fù)主編講堂中考沖刺P123 ）等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。 如圖，已知點P是等腰/ABC的底邊BC 上一點，PFXAB 于 F, PGXAC 于 G, BD XAC 于 D;求證：PF+PG=BD 。本題的證明主要有 截長補短”法和面積法”，略證如下：略

20、證一：如圖10，作PEXBD于E,則四邊形PEDG 是矩形，所以PG=ED ; 易證/PBF JBPE,所以 PF=BE ,所以 PF+PG=BD 。略證二：如圖11 ,連結(jié)AP,點P到兩腰的距離分別為 門，r2 ,腰上的高 為 h,則有 SAABP+S AACP=S AABC ,即 12AB- r1+12AC- r2= 12AC - h,所 以 r1+r2=h （定值）。利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例:【關(guān)聯(lián)題1】如圖12在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,點P為BC 邊上一動點，過點 P 作 PELBD 于 E,PFAC 于 F,AB=3,BC=4 ，

21、求 PE+PF析解：依矩形性質(zhì)可知/ OBC為等腰P是其底邊上一點，作CHLBD于 H,應(yīng)用源命題結(jié)論得 PE+PF=CH=2.4?！娟P(guān)聯(lián)題2】（2009年隹木斯市中考題）如圖13,將矩形紙片ABCD沿 其對角線AC折疊，使點B落到點B，的位置，AB，與CD交于點E。Pff U（1）試找出一個與 AED全等的三角形，并加以證明；（2）若AB=8 , DE=3 , P為線段AC 上任意一點，PGXAE于G, PHXEC于H。試 求PG+PH的值，并說明理由。析解：（1） /AED/CEB （證明略）；（2）由（1）知 AE=CE ,即/AEC 為 等腰4且AD LCD于D,應(yīng)用源命題結(jié)論可得 P

22、G+PH=AD ,因為AB=CD=8 , DE=3 ,所以 CE=AE=5 ,所以 AD=4=PG+PH 。三、理解與應(yīng)用如圖14,在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點， 且BE=BC , F為CE上一點，F(xiàn)MXBC 于M, FN BD 于N,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求 出FM+FN 的長。析解：依題意，F(xiàn)為等腰/ EBC底邊EC上一點，連2AC交BD于O,則-M F+XFh M w A r ACXBD于O,且AC=3 ,應(yīng)用源命題結(jié)論可得例談求線段和的最小值問題也是棘手問題。筆者平面幾何中線段和的最小值問題是初中學(xué)生較難解決的問題之一, 就這個問題瀏覽了 05年度全國部分省市的有關(guān)中

23、考試題，本文下面將結(jié)合中考試題為例予以剖析，供參考。、以正方形為載體，求線段和的最小值例1.如圖1,四邊形ABC虛正方形，邊長是 4, E是BC上一點，且 CE 1, P是對角線BD上任一點,則PE+ PC的最小值是O分析：由于BD是正方形 ABCM對角線，連接 AP,易證 ADP CDP所以PA= PC,此時求PE+ PC的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PA+ PE的最小值，連接 AE,在4PAE中，因為 PA+ PE以AE,故當(dāng)點P為A與BD的交點時（即當(dāng) A、P、E三點共線時），PA+ PE的最小值為AE,由勾股定理可求 AE,所求問題可解。解：連接PA, BD為正方形ABCM對角線AD= CD /

24、 ADP= / CDP又 D之 DP, AD咤 ACDPPA= PC連接AE CE= 1 ,BE= 3在 RtABE中,度二法，翻，二江二5根據(jù)三角形中兩邊的和大于第三邊可知，當(dāng)P為AE與BD的交點時，PA+ PE的最小值為 AE 即 PA+ PE AE,PA+ PE 5,即 PE+ PO 5,PE+ PC的最小值為 5 （僅當(dāng) A P、E三點共線時取等號）。例2.如圖2,正方形 ABC曲邊長為8,點E、F分別在AR BC上，AE= 3, CF= 1 , P是對角線AC上的一個動點，則 PE+ PF的最小值是（A.分析：因為動點易證 PG庫 PEA接FG 在 PFG中,C.P在正方形ABC面對

25、角線AC上，在AD邊上取點G,并截取AE= AQ所以PG= PE,所求PE+ PF的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PG+ PF的最小值，連PG+ PF的最小值就是FG （僅當(dāng)F、P、G三點共線時取得最小值）。解：在AD邊上取點 G并截取AG= AE,連接PG.AC是正方形ABCD勺對角線PAG= / PAE 又 AP= AP. .PAeAPAE，PG= PE連接FG 過點G作GHL BC,垂足為 HAG= AE= 3,而四邊形 ABHG矩形，BH= AG= 3, GH= AB= 8又 CF= 1, HC= 5, . HF= 51=4在RtFHG中，由勾股定理，得+HF二樁+屋=4而在4PFG中，PG+ P

26、F GF （僅當(dāng)F、P、G三點共線時取等號），田+郎244gPF型出即PE+ PF的最小值為故應(yīng)選D。二、以菱形為載體，求線段和的最小值例3. （05,南充）如圖3,點P是邊長為1的菱形ABCD寸角線AC上一個動點，M N分別是AB, BC邊上的中點，PM PN的最小值是（圖3A. 21B.C.1D. 2分析：因為動點 P在菱形ABCM對角線AC上，CD CD邊的中點G,連接PG則易證 PC0 PCN從而PG= PN因此求PM- PN的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PhM- PG的最小值，連接 MG 在PMG, PhM- PG的最小值就是 MG即P- PO MG （僅當(dāng) M P、G三點共線時取得最小 值）。解：取CD的中點G,連接PG.AC是菱形ABC面對角線/ PCG= / PCN又CB= CD N是BC邊的中點，CN= CG又 PC= PC, PCg PCNPG= PNDG/AM連接MG 二，四