一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.2 .掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.【主體知識(shí)歸納】1 . 一元二次方程的根的判別式：b24ac叫做一元二次方程ax2+ bx+ c=0 (aw0) 的根的判別式.通常用符號(hào)來(lái)表示.2 .對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0),當(dāng)A 0時(shí)，方程有兩個(gè)不 相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) A0,不要丟掉等號(hào).5 .利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的前提是：(1)二次項(xiàng)系數(shù)aw0,即保證是一元二次方程；(2)由于我們目前只研究實(shí)數(shù)根的問(wèn)題， 故還要考

2、慮實(shí)數(shù)根存在的前提，即:2b -4ac06 .判別式有以下應(yīng)用：學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)不解方程，判定一元二次方程根的情況；(2)根據(jù)一元二次方程根的情況，確定方程中未知系數(shù)的取值范圍；(3)應(yīng)用判別式進(jìn)行有關(guān)的證明.根與系數(shù)的關(guān)系有以下應(yīng)用：(1)已知一根，求另一根及求知系數(shù)；(2)不解方程，求與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值；(3)已知兩數(shù)，求以這兩數(shù)為跟的方程；已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)(4)確定方程中字母系數(shù)的取值范圍(5)確定根的符號(hào)?！纠}羅列】根的判別式類型1:不解方程，判別下列方程的根的情況：(1) 3x2 2x1 = 0;(2) y2= 2y 4;(3) (2k2+ 1) x2 2

3、kx+1 = 0；(4) 9x2 (p+7) x + p 3 = 0.(系數(shù)中有字母的情況)解：(1) =公二(-2) 2-4X3X (1) =4+120,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)原方程就是 y2 2y+4=0. = A = (-2) 2 4X 1X4=4160, .原 方程無(wú)實(shí)數(shù)根.(3) v2k2+ 1*0, 原方程為一元二次方程.又= = (2k) 2 4 (2k2+1) X1 = 4k2 40,即 A 0,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.升級(jí)：如果關(guān)于x的方程x2+2x = mn 9沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于y的方程y2 + my- 2mH 5 = 0的根的情況.學(xué)習(xí)必備歡迎下載這是

4、一類需要自己找出隱含條件的題解： 2+ 2x- nn- 9=0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，. Ai = 22 4(mi- 9)=4mH 40 0, 即 m 10.又 y2 + my- 2mH 5 = 0 的判斷式 A 2,卜2= n2-4(-2nm- 5)=m2+ 8m- 20當(dāng) m0,即0.方程y2+my-2m 5= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.類型2:1 .已知關(guān)于x的一元二次方程(k1)x2+ 2kx+k + 3 = 0. k取什么值時(shí)，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ (2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ (3)方程沒(méi) 有實(shí)數(shù)根？解：A=(2k)2 4 (k-1) (k+3) =8k+12.當(dāng)一8k+120,

5、且k1金0,即k：且kw1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)一8k+12=0,且k1 即k=:時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)一8k+12：時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.說(shuō)明：當(dāng)已知方程為一元二次方程時(shí)，要特別注意隱含的條件：二次項(xiàng)系數(shù) 不等于零.2 .已知a、b、c是4ABC的三邊，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x 2)=0有兩個(gè)相 等的實(shí)數(shù)根，則此三角形為()A、等腰三角形B 、等邊三角形C、直角三角形 D、斜三角形看到有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根立即判斷應(yīng)用根的判別式解：原方程可化為(a+c) x2+2bx+a-c = 0, A=(2b)2 4 (a+c) (a-c)= 0得到a2=b2+

6、c2,因此此三角形為直角三角形。升級(jí)：已知關(guān)于x的方程x2+(2m+1)+m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試判斷直線y=(2m-3)x-4m+7能否通過(guò)點(diǎn)(-2 , 4),并說(shuō)明理由這是與一次函數(shù)相結(jié)合的題目解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 A = (2m+1)2 4 (m2+2) =4m-60,學(xué)習(xí)必備歡迎下載即 m 3 o293如果直線 y=(2m-3)x-4m+7 能通過(guò)點(diǎn)(-2 , 4) m=- 0, (b-c)20, (c-a)20.A =8 (a b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 0方程必有實(shí)數(shù)根.(2)已知方程x2+2x=k-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根。求證：方程 x2+kx=1-

7、2k有兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根。也是一類需要自己找出隱含條件的題解：第一個(gè)方程 A =22 4X(-k+1) 0 即 k 0第二個(gè)方程 A=k2 4X(-1+2k)= k2-8k+4= (k-4) 2-16 在 k 0的情況下必大于0根與系數(shù)的關(guān)系類型1;如果x =2是方程x2 - kx - k -5 = 0的一個(gè)根，求k的值，并求出方程另一個(gè)根。解：設(shè)另一個(gè)根為B,據(jù)方程的根的意義與根與系數(shù)的關(guān)系，可列出方程組22 -2k -k -5 = 02P = -k 5,(或2 + P = k)即有學(xué)習(xí)必備歡迎下載解這個(gè)方程組，得kJ33類型2求作以方程3xi 2 -x-i =0的兩根的負(fù)倒數(shù)為根的一個(gè)一

8、元二次方程。解設(shè)方程3x2 - x-1 = 0的兩根為xi, x2,則i1x1 +x2 =，x1 . x2 =33.所求方程兩根為Xi1 Ox2xix2xx2x1x2xiX2xx2設(shè)方程4x2 7x3 = 0的兩根為 x1, x2,不解方程，求下列各式的值:(xi -3)(x2 -3)(2)xi3 x；(3) x1 1x21(4)xi - x2其關(guān)鍵是將它們用xi+x2,xi x2表示出來(lái)，如何表示呢？常用的變形有:解(1)x12 +x； =(xi +x2)2 -2xix2;(x -x2)2 =(x1 +x2)2 -4x1x2；學(xué)習(xí)必備歡迎下載工;2；XiX2X1X22(4)( Xia)(x2

9、a) = X1X2 a(xX2) a (5)x33 X3 =(X1 X2)(X2 X1X2 X2)=(X3 X2)(X3 X2)2 -3X3X23(X1 X2 )- 3X3X2 ( X1X2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得：73X3 +X2 = 一， X3X2 =-44(X3 - 3)(x2 - 3) = X3X2 - 3(X3 X2) 93 c 7 c=3 X 494 4=3(2)X33 X3 =(X3X2)3 -3X3X2(X3 X2)7 3,3、7=(一)3X()X -444595一贏(3) X2X3= X2(X21) X3(X3 1)x3 3x2 1(x3 1)( x2 1)(Xi X2)2 -

10、2x3X2 (X3 X2)X1X2 (X1 X2)3(：)2 -2X($+7 _ 444二 10132(4)x3 -X2 = J(x3 -X2)2= V(x3 +X2)2 -4x3X2學(xué)習(xí)必備歡迎下載= 1 J974類型41 .已知關(guān)于x的一元二次方程：x2 +2(m -2)x +m2 +4 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比這兩根的積大84 ,求：實(shí)數(shù)m的值。這一塊很容易和根的判別式結(jié)合在一起解設(shè)方程兩根為x1，x22 .x +x2 = -2(m -2), x x2 = m2 +4由題意可得：x2 + x2_ x1x2= 84 即：(x1+x2)2- 3x1 x2=84-2(m -2)2 -3(m

11、2 +4) =84. 1Tli =20, m2 = -4 22- =2(m2) -4(m +4) = 16m20 . . m 0,. 4(m + 1)2 +12 0此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)設(shè)：方程的兩根為 x1，x2,則x1+x2=2mx1 x2 = -2m -4,又|x1 -x2| = %/(x1 + x2)2 -4x1x2= 2.(m 1)2 3 : 4得（m +1）2 =1,解得 D = 0, m2 = -2 ,故學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)m = 0或m = 2時(shí)，方程兩根之差的絕對(duì)值等于 4。升級(jí)：已知：關(guān)于x的方程：x 13. : k 一 8；k的整數(shù)值為0, 1類型5已知x1,

12、x2是關(guān)于x的一元二次方程 4x2 +4(m - 1)x + m2 = 0的兩非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)x1與x2能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的 n的取值范圍；若不能 同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x + m2 =0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，則有 = I4(m-1)2 -4x4m2 =-32m+160, _3x + 2k -1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和不小于這12k兩個(gè)根的積，且反比例函數(shù)y=1；2k的圖象的兩個(gè)分支在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而減小，求滿足上述條件的 k的整數(shù)值。與反比例的結(jié)合解關(guān)于x的方程x2 _3x +2k -1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。13. . . ：

13、= -32 -4(2k-1) -0,解得 k 三13 8設(shè)方程兩根 x1, x2, ： x1 + x2 = 3, x1 x2 = 2k - 1.222. x1 + x22 x1x2 (x+ x2)- 3x1x2 0,k 0,即k a 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載又x1, x2是方程4X2 +4(m 1)x +m2 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程 一 -12根與系數(shù)的關(guān)系，有：x1 +x2 = -(m-1), x1 - x2 = m。4假設(shè)x1、x2同號(hào)，則有兩種可能：(1)xi 0, x2 0, x2 0若x1 0, x2 0,貝|J有x1x20x1x20-(m-1) 0即有f 1 2解這個(gè)不等

14、式，得m1且mw0m 04即：當(dāng)mW二且mw0時(shí)，原方程兩根能同號(hào)。2若x1 0, x2 0,貝U有x1x2 : 0xx20千(m-1):二 0 即有1m2 .0解這個(gè)不等式，得： m 1o而mM1時(shí)方程才有實(shí)數(shù)根，所以此種情況不存在。2綜上所述：當(dāng)m0,得 me 2 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2); Xi, X2為 x2 + 2 (mi- 1) x + m= 0的兩根，1 y = xi + X2 = - 2m+ 2 ,且 me 2 .1因而y隨m的增大而減小，故當(dāng)m= 2時(shí)，取得最小值1.2 (2001年湖北省荊門市)已知關(guān)于x的方程x2_(k+2)x+2k=0 ,(1) 求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰三角形 ABC的一邊長(zhǎng)a=1,另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求 A