含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題

1、含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題本帖隱藏的內(nèi)容需要回復(fù)才可以瀏覽例1 m是什么整數(shù)時(shí)，方程(m2-1)x 2-6(3m-1)x +72=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.解法1首先，m1 W0,nr5 ±1. A =36(m-3)2>0,所以 nv5 3.用求根公式可得612勺=T，犯=7 m 1m + 1由于x，, X2是正整數(shù)，所以m1=1, 2, 3, 6, m+1=1 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2這時(shí)x=6, X2=4.解法2首先，m-1w0,± 1.設(shè)兩個(gè)不相等的正整數(shù)根為X1，x。，則由根與系數(shù) 的關(guān)系知所以m2-1=2

2、， 3， 4， 6， 8， 9， 12， 18，24， 36， 72，即m= 3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73，只有m2=4， 9， 25 才有可能，即m=± 2，± 3，±5經(jīng)檢驗(yàn)，只有m=2時(shí)方程才有兩個(gè)不同 的正整數(shù)根說明 一般來說，可以先把方程的根求出來 （ 如果比較容易求的話） ，然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1 就是這樣做的有時(shí)候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個(gè)整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2 就是如此，這些都是最自然的做法例 2 已知關(guān)于x 的方程a2x2-（3a2-8a）x 2a2-

3、13a 15=0（ 其中 a 是非負(fù)整數(shù)） 至少有一個(gè)整數(shù)根，求 a 的值分析“至少有一個(gè)整數(shù)根”應(yīng)分兩種 情況：一是兩個(gè)都是整數(shù)根，另一種是一個(gè) 是整數(shù)根，一個(gè)不是整數(shù)根.我們也可以像 上題一樣，把它的兩個(gè)根解出來.解因?yàn)閍wo,所以(3aa -8a) ± J(3a2 - 8a)a -4aa(2a2 - 13a + 15)(3a2 - 8a)±(a3 + 2a)=27，所以3a2 - 8a + (a2 + 2a)3勺君273a2 - 8a - (a2 + 2a)5啊 2?匚所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1, 3, 5.例3設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二 次方程mx-

4、(m-1)x + 1 = 0有有理根)求m的值.解一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理 根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù).令A(yù) =(m-1)2-4m= n"其中n是非負(fù)整數(shù)，于是m»6m+1=n所以(m-3)2-n2=8,(m-3+ n)(m-3-n) =8.由于m-3+ n>m-3-n,并且(m-3+ n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數(shù)，所以m3+n與m-3-n同奇偶, 所以fm - 3 + n = 4,J m - 3+ n = -2,- 3 -ti = 2；m-3-n = 4所以匕6'(含去).= Ln = l所以m = 6,這時(shí)方程的兩個(gè)根為,；,說明

5、一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果 有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問題解決.例4關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一個(gè)整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a 的值.解當(dāng)a=0時(shí)，原方程變成-6x-2=0,無 整數(shù)解.當(dāng)aO時(shí)，方程是一元二次方程，它 至少有一個(gè)整數(shù)根，說明判別式 =4(a-3)2-4a(a-2) =4(9-4a)為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方 數(shù).令9-4a=n2,則n是正奇數(shù)，9-J且n/3(否則a = 0),所以國(guó)由求根公式得4-2 (a - 3) ± 2n3 ± nu 2aa,4

6、(31n)44所以 盯="1 + -及口 = + -3 + n3-n要使x,為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1, 從而a=2.要使X2為整數(shù)，即n-3 | 4, n可取 1, 5, 7,從而 a=2, -4, -10.綜上所述，a的值為2, -4, -10.說明本題是前面兩種方法的“綜 合”.既要用判別式是平方數(shù)，又要用直接 求根.有時(shí)候，往往是幾種方法一同使用.例5已知關(guān)于x的方程x2+ (a-6)x +a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值.解 設(shè)兩個(gè)根為x，x2,由韋達(dá)定理得從上面兩式中消去a得xx2+xi+x2= 6)所以(x i+1)(x 2+1)=7,所以x1 +1 = 7,如 +

7、1 = L區(qū)+1 =+1=7所以1 = 6,Xj = -2,所以 a=xx2=0 或 16.說明 利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去, 得到的是關(guān)于X1, X2的不定方程，而求解這 個(gè)對(duì)稱的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理數(shù)r,使得方程rx2+(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整數(shù).分析 首先對(duì)r=0和rw。進(jìn)行討論.r=0 時(shí)，是關(guān)于x的一次方程；r 0時(shí)，是關(guān)于 x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來 有些困難，這時(shí)用直接求根或用判別式來 做，均不能奏效.可用韋達(dá)定理，先把這個(gè) 有理數(shù)r消去.解 當(dāng)r=0時(shí)，原方程為x-1=0,所以x=1.當(dāng)r#0時(shí)，原方程是關(guān)于x的一元二次方

8、程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為X，, X2,且X，)X 2 ,貝u消去r得XX2-Xl-X2=2)所以(x，-1)(x 2-1)=3 .所以所以綜上所述，當(dāng) =，0, 1時(shí)，方程的所有根都是整數(shù).例7已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于X的 一元二次方程aX2 + 2(2a-1)X+4(a -3)=0至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.解將原方程變形為(X + 2) 2a= 2(x +6).顯然x + 2%0)于是2(耳+ 6) a = , 0+2)，由于a是正整數(shù)，所以a>1,即2(耳 + - 百所以 x+2x-8W0,(x +4)(x -2) W0,所以-4WxW2(x#-2).當(dāng) x=-4, -3, -1,

9、 0, 1, 2 時(shí)，得 a 的 值為1, 6, 10, 3,持所以我值為。.說明 從解題過程中知，當(dāng)a=1時(shí)，有 兩個(gè)整數(shù)根-4, 2;當(dāng)a=3, 6, 10時(shí)，方程 只有一個(gè)整數(shù)根.有時(shí)候，在關(guān)于 x的一元 二次方程中，如果參數(shù)是一次的，可以先對(duì) 這個(gè)參數(shù)來求解.例 8 已知方程 x2+bx+c=0 與 x2+cx+b=0 各有兩個(gè)整數(shù)根x)x和心町，且町町。，：電;盤(1)求證：<i<0,孫<0,咒；<。，心<0*(2)求證：b-1<c<b+ 1;(3)求b, c的所有可能的值.解(1)由xx>0知)X1與X2同號(hào).若X1 >0,則

10、X2>0,這時(shí)=町+町>0,所以b<0.與6=££>0矛盾，所以，為<0,叼0.同理可證x；<0i義；<0.(2)由(1)知，x，v0, xv 0,所以 Xi<-1, x.w-l.由韋達(dá)定理c-(b -1)=x 1X2+ X1 + X2+ 1=(x1+1)(x2+1) >0,所以c>b-1.同理有b * (c -1)=冢禺+x； + x； +1=+ 1)(芯；+ 1) >0,所以cWb+1)所以 b -1< c< b+1.(3)由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三 種情況：(i)c=b +1.由韋達(dá)

11、定理知X，Xz=-(X，+ X)+ 1 ,所以(x +1)(x .+ 1)=2,所以 (的：；7個(gè)叱=21叼+1 = 2 叼+ 1 = /.解得 x + x=-55 xx=65所以 b=55 c=6.(ii)c=b .由韋達(dá)定理知x x =-(x +x ),所以(X +1)(x 2+ 1)=1)所以 x =x=-2,從而 b=45 c=4.(iii)c=b -1.由韋達(dá)定理知-(x； +)= X； X；所以區(qū)+1) (x3 + 1) =2,解得+ 心=-5,=6,所以b = 6, c = 5綜上所述，共有三組解：(b, c)=(5 , 6), (4 , 4), (6 , 5).練習(xí)二十六1.填空:(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)r貝U ； g -T7的值是根x、 x2,+】)(町+D (2)已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x + 18=0有兩個(gè)不相同的正整數(shù)根，則 k=(3)兩個(gè)質(zhì)數(shù)a, b恰好是關(guān)于x的方程 則二巴二x2-21x+t=0 的兩個(gè)根)a b (4)方程x2+px+ q=0的兩個(gè)根都是正整 數(shù)，并且p+q=1992,則方程較大根與較小根 的比等于.(5) 已知方程(a 2-1)x 2-2(5a+1)x 24=0有兩個(gè)不相等的負(fù)整數(shù)根，則整數(shù)a 的值是2.設(shè)m為整數(shù)，且4&