圓錐曲線地第三定義

1、實用標準圓錐曲線的第三定義及運用橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓22x y在橢圓Ci+gnlaAb。）中，a B是關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于 A B的一點,2.b2右 kPA、kPB 存在，貝U有：kPA*kPB=e -1=- a2 b2證明：卞造 PAB的PA邊所對的中位線 MQ kpA = kMO,由點差法結(jié)論：kMO *kPB =e2 - =a知此結(jié)論成立。2.雙曲線2 X在雙曲線C：2 ab2=1中，A、B是關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于 A、B的一點，若kpA、*文案大全2b2存在，貝U有： kPA *kPB=e -1 = a證明：只需將橢圓中的 b2全部換成-b2就能將橢

2、圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論。實用標準與角度有關(guān)的問題22例題一:已知橢圓C：x2+%=1（ab0）的離心率e =，a b是橢圓的左右頂點，為橢圓與雙曲a b2線解答:令PBx=由橢圓第三定義可知：tana *tan /=e2 -1=-4cos：_ costi cos cos： 1 sin sin - _ 1 tan - * tan _ 3cos 2：:cosi： r工 i cos cos，sin sin：1tan： *tan 5點評:其實所謂的雙曲線方程只是一個障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點一動點的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為

3、正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點文案大全實用標準變式1-1 :(石室中學(xué)2015級高二下4月18日周末作業(yè))已知雙曲線 C： x2y2 =2015的左右頂點分別為 A、B, P為雙曲線右支一點，且 /PAB=4/APB,求 / PAB =.解答：令ZPAB=a 0,1, /PBA=Pw 1。,21 ,則P =5a ,由雙曲線的第三定義知：_ 2_ 2tan- *tan: =tan- *tan5- =e2 -1=11二一二 一二tan - =tan 一-5- = 一 =一一5- = -=tan5：2212點評:與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為

4、1即表示sin=cos 3 , cos a =sin 3 =兩角互余,則可解出a的值。當然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、與均值定理有關(guān)的問題22例題2：已知A、B是橢圓、2+y2=1(ab0 )長軸的兩個端點，M N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點， a b直線AMBN的斜率分別為k1、k2,且k1k2#0。若kj+|k2的最小值為1,則橢圓的離心率為.文案大全實用標準解答一(第三定義+均值)：由題意可作圖如下:kAM連接MB由橢圓的第三定義可知:*bn= . kik2 = b2 aki + k2 - 2y1 ki *|k2 =b 1 v

5、3一二：e=a 22解答二(特殊值法)： 1這道題由于表達式(ki + kz| )min =1非常對稱，則可直接猜特殊點求解。 佃=k2 =-時可取最值,則M N分別為短軸的兩端點。此時：k1 = k2 =b=- e=Y3。a 22點評:對于常規(guī)解法，合理利用 M N的對稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，既構(gòu)造了 “一正”，又構(gòu)造了 “二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。當然將ki、k2前的系數(shù)改為不相等的兩個數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1 。22變式2-1 ：已知A、B是橢圓與十4=1(ab 0 )長軸的

6、兩個端點， M N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩 a2 b2點，直線 am bn的斜率分別為kp k2,且k1k2=0。若J21kl +2衣|k2的最小值為1,則橢圓的離心率文案大全實用標準解答:人2人2連接MB由橢圓的第三定義可知：kAM，kBM =e2 -1=-,而kBM = - kBN= .卜水2=二aaV2|ki +2夜收加,網(wǎng)=4b - 1=1 -: - = - -: e=a a 415422變式2-2 :已知A B是橢圓 t +1=1初-0 ）長軸的兩個端點，若橢圓上存在Q,使/AB a b則橢圓的離心率的取值范圍為解答一（正切+均值）：令Q在x軸上方，則直線 QA的傾斜角為口 w h

7、7T I直線QB的傾斜角為Pw廣，nl 一 2_2tan : - tan ;/AQB=|, n , tan ZAQB = tan( P -a )=21 tan - tan 二b2由橢圓的第三定義：tan二 tan ：二 2 ,則tan := ab22 , Ta tan -帶入可得:tan : -tan 二 _1 tan ： tan 工b2.2- tan -a tan ;ab2-+tan&、a tanaa_2ba_二 -2ab_比 一 a2 -b2ab（取等條件：tana =,即Q為上頂點）a2而tanx在I,n 單增，則Q為上頂點時（/AQB）max,所以此時上AQB之一五2m3.一示,故e匚

8、，1I 3解答二（極限法） _ 冗當Q趨近于A、B兩點時，/AQBT （此時Q點所在的橢圓弧趨近于以 AB為直徑的圓的圓弧, 2文案大全實用標準NAQB相當于直徑所對的圓周角）；當Q在A、B間運動時NAQB （Q在以AB為直徑的圓內(nèi)部，/AQB直徑所對的圓周角=90。），由橢圓的對稱性可猜測當Q為短軸端點時（/AQB）max。由于：橢圓上存在 Q使ZAQB =飛-，那么q為短軸端點時（/AQB ）max 2 三a -6取臨界情況，即Q為短軸端點時 NAQB =，此時一 =J33 e =；當橢圓趨于飽滿（e-* 0） 3 b3時，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對的圓周角永遠為90。，不滿足；當橢圓趨于

9、線段 （eT 1 ）時,“AQBmaxT n, 滿足。故e三|,1 |。_ 3當然這些只需要在頭腦中一想而過，簡潔而有邏輯。這道題可以增加對于圓周角的理解，在用極限法討論：“當Q趨近于A、B兩點時，/AQBt?”時能會顛覆“NAQBt冗”的認知，當然這肯定是錯的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時是角最小的情況, 而不是角最大的情況。 要搞清楚，不然會被弄暈的。對于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二： 與第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx在上，n1單增便于利用tanx的大小比較角度的大小。四、總結(jié)歸納1.上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2,對于均值不等式，注意取等條件是

10、“三相等”，即相等時取最值。這可以幫助猜測表達形式是高度對稱的式子的最值，如：例題23,極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點值，如： 變式2-2中P在橢圓上滑動，角度的變 化一定是光滑的（無突變，連續(xù)），所以只需考慮邊界值。4,做幾何的選填題時，有時利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會恰當運用，如：變式2-2文案大全實用標準5 .常以正切值刻畫角度大小。6 .在做綜合性較大的題目時要聯(lián)系各種知識，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。7 .8 .五、方法鏈接針對上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進行拓展補充，各附例題。例題3:在平面直角坐標系 XOY中，給定兩點 M (-1

11、,2 )和N(1,4 )，點P在X軸上移動，當NMPN取最大值時，點P的橫坐標為 .解答一(正切+均值)：已知：M(1,2)、N(1,4), Imn ：y = x + 3與 x軸交于 3,0)24令 P(t,0 )，則：kMp = 2 , kNp = 4 , /MPN=8-1 -t1 -t當t=3時，日二0文案大全實用標準當t3時，Imp的傾斜角較大,tan二小一小1 kMP * kNP2t 6t2 7令 x=t +30,則 tane = 226= 2 2x=2 0)t 7 x -6x 16 v 16 c16x - -6 2, x 6x x此日x =4 , t =1 , 0maX =4 當t

12、0)1此日x=4, t = 7, tan(9max )=-由于日w 10, n ),且tan e在日w 0, n)上單增，tan日w 01 -max = 4 ,此時 t - 1解答二(圓周角定理)：證明：以與x軸切于P2點的圓滿足所求最大角為例:文案大全實用標準由于Imn： y = x+3是過M N兩點的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在l: y = x + 3上隨著圓心橫坐標從 0開始增大：當半徑r較小時，圓與x軸無交點；當半徑稍大一點時，圓與x軸相切，有一個交點；當半徑更大一點時，圓與x軸有兩交點 馬、R。此時：根據(jù)圓周角定理：ZMP3N =/MP4N /MQN=/MP2N ,可知：圓與x軸相

13、切時,MPN max。R 較小的情況（圓與 x軸相離）R 較大的情況（圓與 x軸相交于p3、R）所以：過M N的圓與x軸切于R、P4點時，分別有（ZMPN 需二只需比較/MPN與/MP2N ,哪一個更大。令與x軸相切的圓的圓心為（x, y）,則切點P（x,0）,半徑為y 222x 1 ：I r y - 2 ）: = y 2、圓滿足：_= x 6x + 7 = 0= x =7or1 （消去 y）222x-1 y-4 =y比較可知：當x=1時，（NMPN Lax點評:常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時要用大角減去小角，才能得到正角；均值時要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均

14、值。用圓周角角的性質(zhì)解答， 只要轉(zhuǎn)化為切點,解一個方程組，比較兩個角誰大就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長相等，半徑文案大全實用標準越大，弦所對的圓周角越小。）其實兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。變式3-1 :若仃為 ABC的重心，且 AG _L BG ,則sin C的最大值為解答一（余弦定理+均值）：% = 1 Xa Xb Xc令G(0,0), A(a,0 ), B(0,b),則由 3=c(a,b)1 yGyAyB yc由點間的距離公式：AB = Ja2 +b2 , AC = J4a2 +b2 , BC = Ja2+4b2由余弦定理：cosC =2,2,2.2.22 .22 . 2AC| +|BC| -|AB| _(4a +b )+(a +4b )-(a +b )2M AC x BC2、4a2 b2a2 4b24 a2 b22 a2 b22、4a2 b2a2 4b2, 4a2 b2a2 4b2由于：.ab b1 )上一點P引圓Q x2+y2=1的兩條切線PA b aPR其中A、B為切點，直線 AB與x軸、y軸分別相交于 M N,則 OMNT積的最小值