橢圓題型總結(jié)材料較難

1、實(shí)用文檔橢圓題型總結(jié)一、焦點(diǎn)三角形221.設(shè)Fl、F2是橢圓x_+上=1的左、右焦點(diǎn)，弦32AB過(guò)F2,求 ABF1的面積的最大值。(法一)解：如圖，設(shè) ZxF2B=a(0<ot<n), | AF2 |二 m,| BF2 |=n ,根據(jù)橢圓的定義，|AF1|=24m, | BF1 |=2百n ,又| F1F2 |=2 ,在AAf2Fi和ABf2Fi中應(yīng)用余弦定理，得(2 .3 -m)2(2 . 3 -n)22=4 m -4mcos 二:2=4 n 4ncos、工2 m =-=. 3 cos.，2.3 "os、工1一S.F1AB = 2 | F1F2 | .|yB -yA|

2、 =1-2 (m n)sin :23 -cos 二_ )sin 工=3 cos.：:4.3sin2 sin2 ;令sin a =t，所以0 ct < 1,，g(t) _ t _ 1 在(0 1上是增函數(shù)一2 t2 - 2 .- tt.當(dāng)t=1,即口=21時(shí)，g(t)max=1,故ABF1的面積的最大值為 443 233(法二)解：設(shè) AB： x=my+1 ,與橢圓 2x2+3y2=6 聯(lián)立，消 x 得(2m2+3)y2+4my-4=0AB過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)F2,A恒大于0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A =48(n2+1)黑三4內(nèi)篇玲令 t=m2+1 >, m2=t-1 ,1

3、f(t)= 4t +- +4在 te 1,+ °0)上單倜遞增，且 f(t) e 9,+ °0)t=1即m=0時(shí)，AABF1的面積的最大值為 4叵。3注意：上述AB的設(shè)法：x=my+1，方程中的 m相當(dāng)于直線 AB的斜率的倒數(shù)，但又包含斜率不存在的情況，即m=0的時(shí)候。在直線斜率不等于零時(shí)都可以這樣設(shè)，往往可使消元過(guò)程簡(jiǎn)單化，而且避免了討論。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔2 .如圖，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足：PM + PN =6.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若PM PN =,求點(diǎn)P的坐1 cos/MPN標(biāo).解：(1)由橢圓的定義，點(diǎn) P的軌跡是以

4、M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a=6的橢圓.因此半焦距c=2,長(zhǎng)半軸a=3,從而短半軸b= Ja2 _c2 =75 ,所以22橢圓的方程為土 =1.(2)由 PM PN| =21 -cosMPN，得 PM LPN cosMPN = PM LPN -2.因?yàn)閏osMPN #1,P不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故 P、M、N構(gòu)成三角形在ARMN中，MN I =4,由余弦定理有 MN|2 =|PM |2 +|PN 2 -2 PM LJPN cosMPN .將代入，得 42 =|PM |2 +|PN 2 -2( PM UpN -2)._2故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2J3的雙曲線 -y2 =1±.3由(

5、I )知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足=1 ,所以由方程組2_25x 9y =45,22x 3y =3.二、點(diǎn)差法9522定理在橢圓告+ (=1a b(a>b>0)中，若直線l與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,y0)是弦1bMN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN ,則kMN '如=一二.Xoa223 .直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1 , 2),交橢圓人十上=1于兩點(diǎn)Pi、P2,36 16(1)若A是線段P1P2的中點(diǎn)，求l的方程；(2)求P1P2的中點(diǎn)的軌跡.標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔解：（1）設(shè) p1（xi, y）、P2（&, y2）,-22出*=1362 x236162£=1

6、16(x1 -x2)(x1 x2)(y1y2)(y1V2)_=十=036161 A(1 , 2)是線段 P1P2 的中點(diǎn)，x1 +x2=2, y1 +y2=4,36162( x1 -x2)+4(y1 -y2) _0,即 y1 y2X1 -X2 .l 的方程為 y=_2(x1)+2,即 2x+9y-20=0.9(2)設(shè) P1P2 的中點(diǎn) M(x, y),則 X1+x2=2x, y+y2=2y,代入*式，得k y1 -y2 4x ,又直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 2), x1 -x29y整理，得 4x(x-1)+9y(y-2)=0 ,鉆,、（x2P1P2的中點(diǎn)的軌跡：24.在直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0

7、, "2）且斜率為k的直線l與橢圓2+ y =1有兩個(gè)不同的父點(diǎn) P和Q.（1）求k的取值范圍;（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP + OQ與AB共線？如果存在，求 k的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）直線l的方程為y = kx + «2.y = kx 2,L2y2得:=1.(2k2 +1)x2 +4j2kx + 2=0；直線 l 與橢圓2x 2一 + y2 =1有兩個(gè)不同的父點(diǎn),2-8(2k2+1) >0.解之得：k < -三或壯立.二k的取值范圍是od -,2 J2(2)在橢圓 L + y2=1 中

8、，焦點(diǎn)在 x 軸上，a=72,b=1 , A(%,'2,0),B(0,1),AB = (-V2,1).2標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔設(shè)弦 PQ的中點(diǎn)為 M(x0,y0),則 OM =(x0,y10).由平行四邊形法則可知：OP + OQ = 2OM； OP+OQ與AB共線，'OM與AB共線.Xo-、2y°u 濟(jì) y°,從而二1Xo由 kpQ % =-b2 得: Xoa由（1）可知=暫時(shí)'直線l與橢圓沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)'不存在符合題意的常數(shù)k.三、最值問(wèn)題25.已知P為橢圓 2+y2=1上任意一點(diǎn)，M （m, 0） （mCR）,求PM的最小值。4目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固

9、定點(diǎn)與圓錐曲線上的點(diǎn)的連線段的最值問(wèn)題。提示：設(shè)P（x,y）,用距離公式表示出 PM,利用二次函數(shù)思想求最小值。解： 設(shè) P(x,y), PM= q'(x -m)2 +y2 = J(x -m)2 +1 一' = J3x- -2mx +13 4m 24(x-3)2+1, x e -2,2,結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)圖像可得3(1) 4m <-2 即 m<3 時(shí) (PM)min=|m+2|; 32 -2w4mw 刈-'m3 時(shí)，小仔：9（3） >2,即 m>° 時(shí)，（PM） min=|m-2|. 32說(shuō)明：（1）類似的，亦可求出最大值； （2）橢圓

10、上到橢圓中心最近的點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，最小值為b,最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，最大值為a; （3）橢圓上到左焦點(diǎn)最近的點(diǎn)是長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，最小值為 a-c,最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，最大值為 a+c;26.在橢圓 +y2 =1求一點(diǎn)P,是它到直線l: x+2y+10=0的距離最小，并求最大最小值。 4目標(biāo)：復(fù)習(xí)研究圓錐曲線上的點(diǎn)與直線的距離問(wèn)般處理方法。提示：（1）可等價(jià)轉(zhuǎn)化為與直線l平行的橢圓的切 線l之間的距離；（1）也可以用橢圓的參數(shù)方程。標(biāo)準(zhǔn)文案題的一線與直實(shí)用文檔2口 2y m = 0解法一：設(shè)直線m： x+2y+m=0與橢圓x_+y2=l相切，則x2,消去x,得8y2+4my+m 2-4=0,4一 y2

11、 二14A =瑜軍得m= _2 2.當(dāng)m=2聲時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn) P與直線l的距離最近，最近為|20Z22!L2.| = 2V5-20 ,此時(shí)點(diǎn)P的,55坐標(biāo)是（_點(diǎn)，_曰）；當(dāng)m=-272時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn) P與直線l的距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)為|1°±2=2石+型W ,此時(shí)點(diǎn)p的 、,55坐標(biāo)是（，?）。解法二：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn) P（2cos9,sin 0 q,0,2 n ）則P到直線l的距離為12cos8十個(gè)、° +101 = 2 屆"4）*05、5.當(dāng) 吟時(shí)，P到直線l的距離最大，最大為275+怨0此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（衣，仔）；當(dāng)9=5：時(shí)，P到直線l的

12、距離最小，最小為2J5-2T，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-夜，-1）。說(shuō)明：在上述解法一中體現(xiàn)了 數(shù)形結(jié)合”的思想，利用數(shù)形結(jié)合順利把點(diǎn)與直線的距離問(wèn)題迅速轉(zhuǎn)化成兩平行線間的距離。在解法二中，利用橢圓的參數(shù)方程可迅速達(dá)到消元的目的，而且三角形式轉(zhuǎn)換靈活多變，利用正余弦的有界性求最值或取值范圍問(wèn)題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。227 .設(shè)AB是過(guò)橢圓 +上=1中心的弦，F(xiàn)i是橢圓的上焦點(diǎn)，92522解：（1）設(shè)AB： y=kx,代入橢圓人+匕=192525229?，（1）若ABFi面積為4J5,求直線 AB的方程；（2）求ABFi面積的最大值。/曰 21225.得 x =2 =2， Xi=-X2=1 k 25 9k

13、2 I ''9 25又，SAABF1= 2 |OF 1| |xi-X2|二2|xi-X2|=4。5 , .1. |xi-X2|=2V5 ,一2 =5k= ±2叵.直線AB的方程為y= 士2匹x。259k33一1225(SA ABF 1) Max =12(2) Saabfi= _ |OFi| |xi-X2|=4 J2 , 當(dāng) k=0 時(shí),225 9k標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔x y8 . (2014金山區(qū)一模23題)已知曲線 Ci ：+ U=1(a>b>0)所圍成的封閉圖形的面積為 4< 5 ,曲線 a b，2、.5Ci的內(nèi)切圓半徑為-.記曲線C2是以曲線Ci與

14、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓.設(shè)AB是過(guò)橢圓C2中心3的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn).(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若MO = mOA (。為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(3)若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求 MBM的面積的最小值.C1是以(30)、。力)、(a, 0)、(0, b)為頂點(diǎn)的菱形,故/2又a>b>0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為千+ ；4分(2)假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx(kw 0) A(xa, Ya),1 ,曰一202_ 20H必=設(shè)M(x, y)

15、,由題意得:|MO|2=m2|OA|2, (m>0),即:因?yàn)閘是AB的垂直平分線，所以直線l的方程為 > =,代入上式消去k得:I： ，一 l -22 j L八V = *J/，又 x2+y2wq 整理得： 一十 J=1(m>0)9 分4y +5工4 / 5當(dāng)k=0或斜率不存在時(shí)，上式仍然成立,標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔r v綜上所述，點(diǎn) M的軌跡方程為 (-> = 1 (m>0) 10分4加切, 一，.，'20?(3)當(dāng)k存在且不為零時(shí)，由(2)得：=二7 ,4+弼,|OAf=* ,4 +弼f 21二+乙二13 4，得：吟=20xy=-,om2 郊13分2- 2

16、一 n ：ab2=4|oa| = -_400（1 + />（44 51）（5+ 4元）14分$400（1s 4十%產(chǎn)十上十4M2）1600(1* ?=(黑尸，當(dāng)且僅當(dāng)4+5k2=5+4k2時(shí)，即k=±1時(shí)，等號(hào)成立,81(1+49此時(shí)AABM的面積的最小值為16分4 +St當(dāng)k=0時(shí)，£皿=父2對(duì)行工2=2/>¥ ,當(dāng)k不存在時(shí)，用皿；工石乂4=2書>f ,綜上所述, ABM的面積的最小值為9 .設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0), B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線 y = kx(k > 0)與AB相交于點(diǎn)D ,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(1

17、)若ED'=6DF'，求k的值；(2)求四邊形 AEBF面積的最大值.2(1)解：依題設(shè)得橢圓的方程為十y2 =1 ,4直線 A ,BE的方程分別為 x + 2y = 2 , y = kx(k > 0). 如圖，設(shè)2、 2D( 0Xk) x , ( iE , x 1) , k X 2 其中)Xix#, x且 x1，飛滿足萬(wàn)程(1 + 4k )x =4 ,故2x2 - -Xi :.1 4k2標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔,=八=一一. .一1 一 .5由 ED = 6DF 知 x0 x1 =6(x2 -x0),得 x0 =(6x2 +x1) = x2107 J4k22,由D在AB上知x0

18、 +2kx0 =2,得x0 =.所以1 2k101 2k 71 4k2 223化簡(jiǎn)得 24k2 -25k +6 =0 ,解得 k =或 k =.(2 )解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式|xi +2kxi -2|2(1 + 2k+J1+4k2)5(1 4k2)，h2 =x2和式知，點(diǎn)E, F到AB的距離分別為2kx2 - 2 2(1 2k - .1 4k2)5(1 4k2)又AB = J22 +1 =卡,所以四邊形 AEBF的面積為1S = 2 AB (h1h2)=(1 2k)2(1 2k)(1 4k2)一 1 4k2當(dāng)2k =1,即當(dāng)k =1時(shí)，上式取等號(hào).所以 S的最大值為2庭2解法二：由題設(shè)

19、，BO =1, AO =2 .設(shè)y1 =kx1,y2= kx2,由得x2A 0 ,y2=y1> 0 ,故四邊形 AEBF的面積為S =Sa BEF +Sa AEF = x2 +2 y2 - J(x2 +2y2) = (x +4 y2 + 4x2 y2 22(x2 + 4y2 ) = 2v2 , 當(dāng)x2 =2y2時(shí)，上式取等號(hào).所以 S的最大值為2J2.四、垂直關(guān)系10.(上海春季)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F"-1,0)、F2(1,0),短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1、B2。(1)若FHF2為等邊三角形，求橢圓 C的方程；(2)若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P、

20、Q兩點(diǎn)，且F1P _LFQ ,求直線l的方程。22解：(1)設(shè)橢圓C的方程為 = +% =1( a>b>0)oa2 b2a =2b22根據(jù)題意知a ,解得a2 =4, b2=l,故橢圓C的方程為x+Eq。a2 -b2 =1334 1332(2)容易求得橢圓C的方程為二十y2=1。2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x =1 ,不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y =k(x -1)。標(biāo)準(zhǔn)文案y =k(x -1)由 ,22 7 y =1實(shí)用文檔2(k2 -1) 二， ，、x1 x2 =2) F1P (x1 1, y1)52k2 111，得(2k2+1)x2 4k2x+2(

21、k2 1)=0。4k僅 P(xi, yi) , Q(x>, y2),則 x +刈=22k2 1FQ =(X2 +1, y2),因?yàn)镕P_LFQ，所以FP FQ=0,即2,(x11)(x21)y1y2=刈發(fā)(x1二2)T k(x1一1)佻-1)=(k2 +1)x1x2 -(k2 -1)(x1 +x2) +k2 +1 = 7k2 -1 =0 , 2k2 1解得k2 =1,即k=±97。 77故直線l的方程為x十"y 1=0或x"y1 =0。211.如圖，設(shè)橢圓x-+y2=1的上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線 2l使彳導(dǎo)F為4BM

22、N的垂心。若存在，求出直線 l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解：由已知可得，B(0, 1), F(1, 0), .kBF=-1o-. BF 11, .可設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程整理，得223x +4mx+2m 2=0。設(shè) M (x1，y1)，N(x2,V2 ，則xx24m? Xx2=32m2 -2o3. BNXMF ,y1x1 -1x2又m =1時(shí)，直線l過(guò)B點(diǎn)，不合要求，m = -4，3y2 -1 =一1,即 y1y2 +x1x2 -y1 -x2 =0。y1 =x1+m,y2=x2+m , (x1+m)(x2+m)+x1x2 _(x1+m)x2= 0。即 2x1x2 +(m -

23、1)(x1 +x2) +m2 -m =0 ,2.c 2m -2 ,、，4m、2八 c 2,八 2+(m -1)()+m -m =0 , - 3m +m 4=0, . . m =33由 =(4m)2 12(2m2 -2) =24 8m2 >0 ,得 m2 <3故存在直線l： y=x-4滿足題設(shè)條件。3標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔12. (2012年高考(湖北理)設(shè)A是單位圓X2 +y2 =1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與X軸的交點(diǎn)，點(diǎn) M在直線l上，且滿足|DM |=m|DA|(m0,且m=1)。當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。(I )求曲線C的方程，判斷曲線

24、C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo);(II)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P, Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N ,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H 。是否存在使得對(duì)任意的k >0,者B有PQ_LPH *存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析:(I)如圖 1,設(shè) M(x,y), A(xo,y0),則由 |DM |二m| DA |(m >0,且 m 卉 1),可得 x =x0 , | y |=m | y0 | , 所以 x0 =x , |y0|=1|y|。m因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以Xo2 +y°2 =1 。將式代入式即得所求曲線2C 的方程為 x2 +4

25、=1 (m >0,旦m #1)。m因?yàn)?m W(0,1)U(1,+0°),所以當(dāng)0 cm <1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(J _m2, 0) , “1 _m2, 0)；當(dāng)m>1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0, -4m -1) , (0, Jm2 1)。(n)解法 1:如圖2、3,Vk>0,設(shè) P(Xi,kXi),H(X2,y2),則 Q(Xi, kXi), N(0,kxi),直線QN的方程為y =2kx +0，將其代入橢圓 C的方程并整理可得(m2 +4k2)x2 +4k2x1x +k2x12 m2 =0 。依題意可

26、知此方程的兩根為-X1 , X2,于是由韋達(dá)定理可得,4k2 Xi即3 -X2 =2x2 =m - 4k2m Xio2, 2m - 4k因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上,i=t是 PQ =(-2X1, 2kX1)，所以 y2 -kx1 =2kx2 = 22km ' 2 °m 4k. 22.2177 /I / 4k X12km Xi .PH =(X2 X1, 丫2 取)=(一 2 4 2 ,2 4 2) °m ，4k m ，4k_ _ 2 I 22而PQ ±PH等價(jià)于PQ PH2n4即 2 -m2 =0 ,又 m >0 ,得 m =72 ,故存在m =d2 ,使得

27、在其對(duì)應(yīng)的橢圓yDO標(biāo)準(zhǔn)文M AX2X2+上=1上，對(duì)任意的 k >0 ,都有 PQ _LPH 。圖 2 (0 二 m d)圖 3 (m 1)實(shí)用文檔解法 2:如圖 2、3, 也 W(0, 1),設(shè) P(Xi，yi) , H(x2，y2),則 Q(f, y) , N(0, yj ,2222因?yàn)镻, H兩點(diǎn)在橢圓C上，所以Jm* +yi =m,兩式相減可得 2222m X2 * = m ,2,22、 ， 22、 一 自m (Xi -x2 ) +(yi -y2 ) =0。依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)H也在第一象限，且 P , H不重合,故(* _x2)(xi +x2)卻。于是由式可得(y

28、i -y2)(yi +丫2) =52。(Xi -x2)(xi - x2)又Q, N, H三點(diǎn)共線，所以kQN =kQH ,即型=匕*。XiK X22于是由式可得 kPQ kPH =yi ,yid=i (yiy2)(yi +y2)=m。xi xi -x2 2 (x, -x2)(xi x2)22而 PQ _LPH 等價(jià)于 kPQ kPH =_i ,即-=，又 m>0 ,得 m=&, 一22故存在m =72 ,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓x2+±=i上，對(duì)任意的k>0 ,都有PQ1PH222i3. (i0浙江/2i)已知m>i,直線l:xmym=0 ,橢圓C:3+y2 =i

29、 , F3F2分別為橢圓C的左、右2m焦點(diǎn).(i)當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，VAFE , VBFF2的重心分別為 G,H .若原點(diǎn)O在以線段GH為直 徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【解】(I)因?yàn)橹本€l : x -my -m- =0 經(jīng)過(guò) F2(>/m2 -i,0),所以 vm2-i = m-,得 m2 = 2 ,又因?yàn)閙 >i,所以m = J2,故直線l的方程為xT2yi=0.(n)設(shè) A(Xi，yi),B(X2，y2)fx =my由2X 2y m2 ,消去 x 得：2y2+my +二i2m1 =04則由 =m2 -8(m-

30、-i) = -m2 +8 >0 ,知 m2 <8 ,且有 yi +y2 =-m, yi y =m- - 4282 2由于 Fi(-c,0), F2 (c,0),由重心坐標(biāo)公式可知 G(l,), H (1,1) . GH =+3 33 399設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M (Xiyi *y2),由題意可知2 MO <GH66,、2,、2即 x x2'yi y2： 0即 4(* 旭)2 (yiy2)2 ； (Xi(yi 一九)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔222/2/m、， m、/ 2 m 1m 1而 xiX2 +y1y2 =(my +)(my2 +)+y1y2 =(m +1)(-),所以 -

31、<0 ,即 m2282822 ：二4又因?yàn)閙 >1且 >0 ,所以1 <m <2 ,所以m的取值范圍是（1,2）.14. （09山東/22）設(shè)橢圓22E: xy+4=1 (a, b>0)過(guò) M(2, 72), N(76, 1)兩點(diǎn), a b。為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA_LOB ?若存在,寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由【解】（I ）因?yàn)闄E圓E:22x y / -12, 2 一 a b(a,b>0)過(guò) M (2, s/2 ), N(T6

32、 , 1)兩點(diǎn),4222所以a b6 .1孑bTI 2 ,解得«a 8 ,所以1122a2b2二8.，橢圓E的方程為=422x y /一 二184（H）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn) A, B,且3A_LOB,設(shè)該圓的切線方程為y =kx +m ,y = kx m2222+2(kx+m) =8,即(1+2k )x +4kmx+2m 8=0,解方程組1x 6 “it ±2-6),滿足 OA_LOB . y2,得x2二1844km5!x1 x21 +2k2 r設(shè) A( x , y ) , B( X2, y2),42,要使 OA _L OB ,

33、需使 x1x2 + yy2 =0 ,2m -8X1X2 =21 2k2, z、2y1y2 =(kx m)(kx2 m) = k x1x2 km(x1 x2) m2222k2(2m2 -8) 4k2m222 m1 2k21 2k2222 m2 -8k221 2k22222m -8 m -8k22即 +2- =0，所以 3m 8k 8 =01 2k1 2k因?yàn)橹本€y =kx +m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為r二1k2'2m1 k223m - 81 88. n一， r <b3此時(shí)圓x2 y2 =8都在橢圓的內(nèi)部,3所以圓的切線與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且OA _ OB .

34、2.67/ 2.6士)或(,2 6, x2 y2八 人、一而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線x=±" 與橢圓 '+幺=1的兩個(gè)交點(diǎn)為384綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓 x2 +y2 =3 ,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)人陰，且3 O標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔1ABi= k .Xi -x2| 二尸，824二欄1 +4kk2當(dāng) k ¥0時(shí) |AB |= F21 +1,因?yàn)?3 4k212 4,21-4k十一十4>8k211所以0 << 所以4k2 - 48k23231 + W1234k2J 42所以g而WAB性2%;3當(dāng)且僅當(dāng)卜;土方-時(shí)取 =當(dāng)k

35、=0時(shí)，|AB| =述.3而當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為呼一"(-半土乎所以此時(shí)MW綜上，|AB|的取值范圍為4J6w|AB|<2而，即:3| AB | e 4V6 ， 2回3【另解】對(duì)于求|AB|,有個(gè)更簡(jiǎn)單的方法:如圖，設(shè) /AOT=e, ：*/AOB=土，2則 AB| =6(tan 6 +cot8),而AT t a n 二OT,2所以當(dāng) tane=4,|AB|min=W6；3當(dāng)匕3,應(yīng)時(shí),1ABL五、存在性問(wèn)題215.以橢圓 +y2 =1(a >1)的短軸的一個(gè)端點(diǎn) B(0,1)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，問(wèn)這樣 a的直角三角形是否存在？如果存在，請(qǐng)說(shuō)

36、明理由，并判斷最多能作出幾個(gè)這樣的三角形；如果不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由.2解：過(guò)點(diǎn)B(0,1)分別作斜率為±1的直線，必與橢圓 三+y2=1各另有一交點(diǎn) M,N ,則ABMN即a為所求的等腰直角三角形，故這樣的內(nèi)接等腰直角三角形至少有一個(gè)；如除了 (1)給出的內(nèi)接等腰直角三角形外，還存在其他的內(nèi)接等腰直角三角形，那么設(shè)直線1l1：y=kx+1, l2：y = x+1, (k a0,k #1),則l1與I2均過(guò)點(diǎn)B(0,1),且互相垂直，與與橢圓分別 k標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔交于E, F ,2 22 2x ayy 二 kx 1=02 22_ 2=(1 a2k2)x2 2a2kx =0 =一 22

37、 22a2k1 -a2k2E (22 ，22 ) .1 a2k2 1 a2k22 12 12a 1 - a 2得f(kr，")=1 a2- 1 a2 k kF(2a2kk2 a222k _ a222 )k a222| BE|2 =(1 k2)xE2 .2 2a k 2=(1 +k )-2-，1 - a2k2| BF |2 = (12 xf2 一 2一 21 k2 2a2k 222a2 2-22 =(1 k2)-22k2 k2 a2k2 a22a2k2a20cc ck >0,k=1, |BERBF |u 2a 2k2 = 22a 2 y k3+a2k = 1+a2k21 a k

38、k a322 k -1(k-1)(k k 1) .1 da = 2= k 1k -k k(k -1)k由k0,k#1得，a2 >3= a>、3 ,由于橢圓關(guān)于 y軸對(duì)稱，故當(dāng)a > J3時(shí)，還存在斜率k#±1的內(nèi)接等腰直角三角形兩個(gè).綜合：當(dāng)1 <a WJ3時(shí)，可作出一個(gè)橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形（圖 1）,當(dāng)aA>3時(shí)，可作出 三個(gè)橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形（圖2）.標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔2 .216. (2015虹口二模)已知圓F1 ： (x 1) y = 8,點(diǎn)F2(1,0),點(diǎn)Q在圓F1上運(yùn)動(dòng),QF2的垂直平分線交QF1于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程

39、;(2)設(shè)M、N分別是曲線C上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象,限，點(diǎn)N在第三象限，若0M+2ON=2OF1O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線MN的斜率;(3)過(guò)點(diǎn)-1S9, -1)C3的動(dòng)直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T ,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)?QF2的垂直平分線交QF1于點(diǎn)p.所以PF2 = PQPF1I -|PF2 = PFi|-.-|PQ = FQ =2、2 . F1F2 =2,所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以點(diǎn)F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.2, 2設(shè)橢圓的方程為 a b.222b =a -c =1故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y*2x

40、 2.y =12(2) 設(shè) MR,b1),N(a2,b2)(a1 A0,b1A0,a2<0,b2<0),a12 2bl2 =2,a22 2b22 =2因?yàn)?M+ 2ON =20Fi ,則a1 ' 2a2 - -2, b1 ' 2b2由、a1解得二)1145,a2 二 一 一，b214b2 -b13.14所以直線MN的斜率kMNa2 - a11410分二kx3(3)設(shè)直線1的方程為y=kx3則由y2=19(2 k2 1)x2 -12kx -16 = 0,標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔S(0 1)由題意知，點(diǎn),一3在橢圓C的內(nèi)部，所以直線1與橢圓C必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1卜B(

41、x2,y2),則4kxi x2 = 2, xi x23(2 k 1)1629(2 k - 1)12分假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)T(0,m)滿足題設(shè)，則TA = (x1, y1 m), TB =(X2, y2 -m),因?yàn)橐訟B為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T,所以TA TB =(x1, y1m) ,(x2,y2m) =0，即X1X2 (yi - m)( y2 m) = 014分y1 =kx1 -l,y2 -kx2因?yàn)?13,故(*)可化為2xx2 V、V2 - m(Y1丫2) m,. 21、，、2=(k1)x1x2 - k(m)( x1 x2) m1十916( k21)4k9(2 k21)-k(m ) 233(2

42、 k 1)22218( m2 -1) k23(3 m 2 2m - 5)9(2 k 21)由于對(duì)于任意的k R,Ta TB =0,恒成立，故tm2-1=013m2+2m5=0, 解得 m=1因此，在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)T,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0，D.16分22 x y17. (2015嘉定二模)已知橢圓C: = +% = 1 ( a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)B(0,b)， a b過(guò)點(diǎn)B且與BF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，且2F1F2 + F2D = 0。(1)求證： BF1F2是等邊三角形；(2)若過(guò)B、D、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l ： x-J3y-3 = 0相切

43、，求橢圓C的方程；(3)設(shè)過(guò)(2)中橢圓C的右焦點(diǎn)F2且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，M是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) N，使得M、Q、N三點(diǎn)共線，若存在，求出點(diǎn) N的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(1)設(shè) D(x0, 0) (x0 <0)，由 F2(c，0)，B(0,b),故 FzB = (c,b), BD = (xo，b),因?yàn)?F2B -L BD，所以cx0 -b2 = 0 , (1 分)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔b2_x0 =-,故 F2D = cb2-c, 0 , (2 分)Jb99又 F1F2 =(2c , 0),故由 2F1F2 + F2D =0 得 3c

44、 - - = 0 ,所以，b =3c。(3 分)c所以，tan. BF2F1 =- cJ3 , /BF2F1 =60口，即 BF1F2是等邊三角形。（4分）（2）由（1）知，b = J3c ,故a =2c,此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（_3c, 0） , （1分）BDF2是直角三角形，故其外接圓圓心為F1（-c,0）,半徑為2c, （3分）所以，|3 =29 c=1, b=V3, a = 2, (5 分)222所求橢圓C的方程為人+£=1。（6分）43（3）由（2）得F2（1,0）,因?yàn)橹本€l過(guò)F2且不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)直線l的方程為:y =k(x -1), k =0。(1 分)y =k(x

45、 -1)由x2 y2 ，得(3+4k2)x2 8k2x十工=1+ 4k212=0,(2 分)L4設(shè) P(x1,y1)， Q(x2, y2)，則有 X +x2一 22 一8k4k -12八2，x1 x2 =2，( 3 分)3 4k23 4k2由題意,M （x1, -y1）,故直線 QM 的方向向量為 d =（x2 -x1，y2 + y1），所以直線QM的方程為 土（4分）又2 " y2 yy1(x2 -x1)y1x2y2的k(x1 一 1)x2 k(x2 - 1)x1J X = 1- = y2 y1y2y1k(x2 -1) k(x1 -1)22kxix2 -k(x1 x2)2x1x2

46、-(x x2)224k2 -128k2k(x1 x2) -2k(%x2) -2223 4k23 4k2工-23 4k2一 24=4。（5 分）一 6即直線QM與x軸交于定點(diǎn)（4,0）。所以，存在點(diǎn)N（4,0）,使得M、Q、N三點(diǎn)共線。（6分）標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔x1- y11(注：若設(shè)N(xo, 0),由M、Q、N三點(diǎn)共線，得X2 y2 1=0,Xo0 1x1y2X21、o /yiy2六、定點(diǎn)或定直線問(wèn)題2218.已知橢圓方程為 =1 ,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l42與橢圓C相交與兩不同點(diǎn) A, B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q ,滿足|ap| jQB| =|AQ| jPB|,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上解：設(shè)點(diǎn) Q、A、B 的坐標(biāo)分別為(x, y),(x1, y1),(x2, y2)。由題設(shè)知Ap,同,|AQ,廚均不為零，記則九0且九"1AQ 二九QB,又A, P, B, Q四點(diǎn)共線，從而AP =九PB ，于是 4:21, 1 = y1-'y2, x/% , y/。1 - -1 - 1 1 22 222 2從而 x1x2 =4x,(1) y1 f2 = y ,1 - 21 - 2又點(diǎn)A、B在橢圓C上,即x；+2y12=4,川川(3) x2+2y2=4,|川(1) + (2) X2