導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、導(dǎo)數(shù)概念及其意義自 主 梳 理1.函數(shù)的平均變化率一般地，已知函數(shù) y=f(x), xo, xi是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Al xi xo, A尸yi 二學(xué)稱作函Axx= xo處的,f(xo)的b)內(nèi)可導(dǎo),y= fyo= f(xi) f(xo)= f(xo+Ax)f(xo),則當(dāng) Axw0 時(shí)，商數(shù)y=f(x)在區(qū)間xo, xo+ Ax(或xo+ Ax, xo)的平均變化率.2 .函數(shù)y= f(x)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的瞬時(shí)變化率 通常稱為f(x)在 導(dǎo)數(shù)，并記作 f' (xo),即.(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù) f' (xo

2、)的幾何意義是過(guò)曲線y=f(x)上點(diǎn)(x.導(dǎo)函數(shù) y=f' (x)的值域即為 切線斜率的取值范圍.3 .函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y = f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，就說(shuō) f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, 其導(dǎo)數(shù)也是開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作 .4 .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=Cf (x) =f(x)=xa(長(zhǎng) Q*)f' (x)=(“e Q*)F(x)= sin x_f (x) =F(x)= cos xf' (x) =f(x) = ax (a>0, aw1)f' (x)=(a>0,aw

3、1)f(x)= exf' (x) =f(x) = log ax(a>0, aw 1,且 x>0)f' (x) =(a>0,aj且 x>0)f(x)= ln xf (x)=_5 .導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)f(x) =g(x)' =;(2)f(x)g(x) ' =(3)，= g(x)豐 o6 .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(文科不要求)如果函數(shù)(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)f (u)在點(diǎn)u= (x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)(u)=f (x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且(f (x)，= f (x)(x)或記作yx=yu?ux熟記鏈?zhǔn)椒▌t若 y= f (u), u= (x) y= f

4、(x),則yx=f(u)(x)，,一.一一2受合函數(shù)求導(dǎo)練習(xí)y 2x 3y ln x 2y (2 x2)3；y sin x2y cos( x);4y In sin(3x 1).1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1+ Ax, 2+ Ay), 則F為()ZAx111AAx+ 2B. Ax 2C. Ax+ 2D. 2+ Ax,AxAxAx2,設(shè) y=x2 ex,則 y'等于()A . x2ex + 2xB . 2xexC. (2x+x2)exD. (x+x2) ex1 ,.1 3.若曲線y=x-2在點(diǎn)(a, a 2)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a等

5、于()A. 64B. 32C. 16D. 84,若函數(shù)f(x) = ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3y=f(x)的一條切線的斜率是3,()ln 2B. - ln 2In 2C.D. In 25.已知函數(shù) f(x)=f'(力cos x+ sin x,則探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11 ,(1)f(x)=在x=1處的導(dǎo)致; x利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1(2)f(x) = .x+ 2變式遷移1 求函數(shù)y= 鏟+ 1在xo到xo+Ax之間的平均變化率，并求出其導(dǎo)函數(shù).探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y= (1瓜)1+左；ln x(2)y=V；尸 x

6、ex；(4)y = tan x.變式遷移2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=x2sin x;(2)y=3xex 2x+e;(3)y =In xx2+ 1.探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)求曲線在4已知曲線y= 3X3+|.點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.變式遷移4 求曲線f(x) = x3-3x2+2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程.有效訓(xùn)練練1.求雙曲線y 1在點(diǎn)(1 2)處的切線的斜率，并寫(xiě)出切線方程 x 2,練2.求y x2在點(diǎn)x 1處的導(dǎo)數(shù).1 .準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個(gè)方面：(1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若

7、直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線y=x3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y=0的兩側(cè).2 .曲線的切線的求法：若已知曲線過(guò)點(diǎn) P(xo, yo),求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn) P(xo, yo)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn) 兩種情況求解.(1)點(diǎn)P(xo, yo)是切點(diǎn)的切線方程為 y-yo=f, (xo)(x-xo).(2)當(dāng)點(diǎn)P(xo, yo)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P' (x，f(x1)；第二步：寫(xiě)出過(guò) P' (x, f(x1)的切線方程為

8、 yf(x1)=f' (x1)(x x1);第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(xo, yo)代入切線方程求出 x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)=f' (x1)(xx1)可得過(guò)點(diǎn)P(xo, yo)的切線方程.3 .求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形.課堂陪練A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo).選擇題:1 .f '越）嶇）=*3 + 2*+1的導(dǎo)函數(shù)，則 f。）的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 42 .已知函數(shù)f' (x) = 3x2 , 則f (x)的值一一定是()A. x3+x B. x3 C.x3+c (c 為常數(shù))D. 3x+c (c為常數(shù))3 .若函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù) f/（x）的圖象是（）2013、c)20122013x（c為常數(shù)）B.(x2lnx)2xlnx xzcosxC.(xxsinx cosx(3x) 3xln35.1. 知曲線3ln x的一條切線的斜率為11,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（2A. 2B. 3C.1D. 12.填空題:4 .下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤.的是（）若 f/(1) 2012 ,則 limx 0limf f(1