分式方程無理式方程解法

1、2第七講 分式方程和無理方程的解法初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法并且只要求掌握本講將要學(xué)習(xí)可化為一元(1)不超過三個(gè)分式構(gòu)成分式方程的解法， 會用”去分母”或”換元法”求方程的根， 并會驗(yàn)根； (2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用一、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程1 4x【例 1】 解方程 124xx 2 x2 4分析： 去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程解： 原方程可化為：1”平方”或”換元法 ”求根，并會驗(yàn)根1 4xx 2 (x 2)(x2)2x2方程兩邊各項(xiàng)都乘以x24：(x

2、 2)4x 2(x2)x2即3xx2 4 ，整理得：3x 2 0解得：1或 x 2 檢驗(yàn)：把 x 1代入 x24 ，不等于0，所以 x 1是原方程的解；把 x 2 代入 x24 ，等于 0，所以 x 2 是增根原方程的解是 x所以，說明：(1) 去分母解分式方程的步驟：1把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母；去括號，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)；解一元二次方程； 驗(yàn)根(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，但代入原方程計(jì)算量較大而分式方程可能產(chǎn)生的增根， 就是使分式方程的分母為 0 的根 因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根， 是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分

3、母為0若為 0，即為增根；若不為 0，即為原方程的解2用換元法化分式方程為一元二次方程x2例2】解方程 (xx 1)2 3x2 4 0 x1分析： 本題若直接去分母，會得到一個(gè)四次方程， 解方程很困難 但注意到方程的結(jié)構(gòu)2特點(diǎn)，設(shè) x y ，即得到一個(gè)關(guān)于 y 的一元二次方程最后在已知 y的值的情況下，用 x1(1) 當(dāng) y1時(shí)，2x2x122x 2x x 11 x；22 x1(2) 當(dāng) y83時(shí)，2x22x3228x 2 16 x 3x 2 35x 2 16 x 3 0 x 3或x18x185去分母的方法解方程xyx1解：設(shè)xy ，則原方程可化為：y2 3y40解得(1)當(dāng)4時(shí)，x2x 4

4、，去分母，1得x24( x 1)x24x 4(2)當(dāng)1時(shí)，2x21x1x2x20x檢驗(yàn)：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以， x 2， x 1 2 5 都是原方程的解2說明：用換元法解分式方程常見的錯(cuò)誤是只求出 y 的值， 的值而沒有求到原方程的解， 即 x例 3】解方程 8(x 2x 2 122x) 3( x2 1)x2 2x11分析： 注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式x 2 2 x xx2 21x 與2x2x11 互為倒數(shù)因此，可以設(shè)2xx2 2 xx 2 1y ，即可將原方程化為一個(gè)較為簡單的分式方程解：2設(shè)x22x22x1y，x2 1x 2 2 x原方程可化為： 8 y 3

5、11y28 y2 11y 3 0y 1或 y檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為011所以，原方程的解是 x ， x 3 ， x25說明： 解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想、可化為一元二次方程的無理方程 根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程 1平方法解無理方程【例 4】 解方程 x 7 x 1分析： 移項(xiàng)、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解解： 移項(xiàng)得： x 7 x 1兩邊平方得： x 7x2 2x 1移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x2 x 6 0解得： x 3 或 x2檢驗(yàn)：把 x 3 代入原方程，左邊 右邊，所以 x 3 是增根把 x 2 代入原

6、方程，左邊 = 右邊，所以 x 2 是原方程的根所以，原方程的解是x 2 說明： 含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)， 使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式， 其余各項(xiàng)均移到方程的右邊； 兩 邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程；驗(yàn)根【例 5】 解方程 3x 2 x 3 3分析： 直接平方將很困難 可以把一個(gè)根式移右邊再平方， 這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模，再用例 4 的方法解方程解： 原方程可化為： 3x23 x 3兩邊平方得： 3x 2 96 x 3 x3整理得： 6 x 3142x 3 x 37x兩邊平方得： 9(x3)49 14x x2整理得： x2 23x220 ，

7、解得： x1或 x 22檢驗(yàn)：把 x 1代入原方程，左邊 =右邊，所以 x 1是原方程的根把 x 22 代入原方程，左邊 右邊，所以 x 22 是增根所以，原方程的解是 x 1說明： 含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)， 使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式； 兩邊平方， 得到含未知數(shù)的 二次根式恰有一個(gè)的無理方程；一下步驟同例4 的說明2換元法解無理方程【例 6】 解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2分析： 本題若直接平方， 會得到一個(gè)一元四次方程，難度較大 注意觀察方程中含未知 數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：3x2 15x 3 3(x2 5x 1

8、) 因此，可以設(shè) x2 5x 1 y ，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的一元二次方程處理解： 設(shè) x 2 5x1 y ，則 x25 x 1 y2223x2 15x 3(y 2 1)原方程可化為：3(y 2 1)2y 2 ，2即 3y2 2y5 0 ，解得：y 1 或 y53(1) 當(dāng) y 1 時(shí)， x2 5x 1 1 x2 5x 0 x 1或x 0 ； 52(2)當(dāng) y 3 時(shí)，因?yàn)?x2 5x 1 y 0 ，所以方程無解3檢驗(yàn)：把 x 1,x 0 分別代入原方程，都適合 所以，原方程的解是 x 1,x 0 說明： 解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體 現(xiàn)

9、了化歸思想A組解下列方程：2x 1(1) (x 1)(x 2)x5(x 2)(x 3)(2)x22x2 11x 21x72x2 12x 351234512345(2)(4)15x2 421(3) y2 4 y 2用換元法解方程： x2解下列方程：(1) x 2(2) x 5 x 7(3) x 3 2 x解下列方程：(1) 3x 1x4(2) 2x 4 x 5 1用換元法解下列方程：(1) x 12 x 02(2) x23xx2 3x 6解下列方程：2x 5 (1) 2x2 3x 24x2 41x2x 4 1(2) x2x x4 2 x11x6x2 4x11(3) x 7 (2x 1)(x 7) 2x23xx 1 2x(4) xx 11 x2x14xx24x1 0用換元法解下列方程：2x2 5x 24(x 1)(1) 14 0 x 1 x(x 5)2(x2 1) 6(x 1)(2) x 142x4 2x