(完整)高中微積分基本知識

1、高中微積分基本知識第一章、 極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限1數(shù)列 定義：按著正整數(shù)的順序排列起來的無窮多個數(shù)x1,K ,xn,L 叫數(shù)列，記作 xn ，并吧每個數(shù)叫做數(shù)列的 項(xiàng)，第 n個數(shù)叫做 數(shù)列 的第 n 項(xiàng)或通項(xiàng) 界的概念：一個數(shù)列 xn ，若 M 0 ， s.t. 對 n N* ，都有 xn M ，則稱 xn 是有界的： 若不論 M 有多大，總 m N* ， s.t. xm M ，則稱 xn 是無界的若 a xn b，則 a稱為 xn的下界 ，b 稱為 xn的上界xn 有界的充要條件： xn 既有上界，又有下界2數(shù)列極限的概念定義：設(shè) xn 為一個數(shù)列， a為一個常數(shù)，若對0，總 N, s.

2、t. 當(dāng)n N 時，有xn a 則稱 a 是數(shù)列 xn 的極限 ，記作 lim xn a 或 xn a(n )n 數(shù)列有極限時，稱該數(shù)列為 收斂的，否則為 發(fā)散 的 幾何意義：從第 N 1項(xiàng)開始， xn 的所有項(xiàng)全部落在點(diǎn) a的 鄰域 (a ,a ) 3 數(shù)列極限的性質(zhì) 唯一性 收斂必有界 保號性：極限大小關(guān)系 數(shù)列大小關(guān)系( n N 時)二、函數(shù)的極限1. 定義：兩種情形 x x0 ：設(shè) f ( x) 在點(diǎn) x0 處的某去心鄰域內(nèi)有定義， A 為常數(shù)，若對 0 ，0 ， s.t. 當(dāng) 0 x x0 時，恒有 f ( x) A 成立， 則稱 f ( x) 在 x x0 時有 極限 A 記作 l

3、im f(x) A或 f (x) A(x x0)x x0幾何意義 ：對 0， 0 ， s.t. 當(dāng)0 x x0時， f(x) 介于兩直線 y A單側(cè)極限 ：設(shè) f(x) 在點(diǎn) x0處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義， A為常數(shù)，若對 0，0 ，s.t. 當(dāng) 0 x x0 時，恒有 f (x) A 成立，稱 f (x) 在 x0處有右極限 A ， 記作 lim f (x) A或 f (x0 ) Ax x0lim f(x) A的充要條件為： f(x0) f (x0)=Ax x0垂直漸近線： 當(dāng)lim f(x) 時， x x0為 f (x) 在 x0處的漸近線x x0 x ：設(shè)函數(shù) f (x) 在 x b 0

4、上有定義， A為常數(shù)， 若對 0， X b, s.t.當(dāng) x X 時，有 f (x) A 成立，則稱 f (x) 在 x 時有極限 A，記作lim f(x) A或 f (x) A(x )xlim f(x) A的充要條件 為： lim f(x) lim f (x) A水平漸進(jìn)線 ： 若 lim f(x) A或 lim f(x) A，則 y A是 f(x) 的水平漸近線xx2. 函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性 局部有界性 局部保號性(在當(dāng) 0 x x0時成立)三、極限的運(yùn)算法則1四則運(yùn)算法則設(shè) f(x)、g(x)的極限存在 ，lim f(x) A,lim g(x) B則 lim f ( x) g( x)

5、A B lim f (x) g(x) AB lim f (x) A (當(dāng) B 0 時)g( x) B lim cf (x) cA ( c 為常數(shù)) lim f (x)k Ak (k 為正整數(shù) )2復(fù)合運(yùn)算法則設(shè) y f ( x) ，若 lim (x) a，則 lim f (x) f (a)x x0x x0可以寫成 lim f (x) f lim (x) (換元法基礎(chǔ))x x0x x0四、極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限1極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則設(shè)有三個數(shù)列 xn ， yn ， zn ，滿足yn xn zn ，單調(diào)有界準(zhǔn)則lim ynnlim zn na則 lim xn a n有界數(shù)列必有極限3重要極限s

6、in x lim 1 lim 11xe1或 lim 1 x x ex 0 xxxx0五、無窮大與無窮小1無窮?。涸谧宰兞?某個變化過程中 limf(x)0，則稱 f (x) 為 x 在該變化過程中的無窮小 若 f(x) 0，則 f(x)為 x在所有變化過程中的無窮小若 f (x) ，則 f(x) 不是無窮小性質(zhì)：1. 有限個無窮小的代數(shù)和為無窮小2. 常量與無窮小的乘積為無窮小3. 有限個無窮小的乘積為無窮小4. 有極限的量與無窮小的乘積為無窮小5. 有界變量與無窮小的乘積為無窮小定理： lim f(x) A的充要條件 是 f (x) A (x)，其中 (x)為 x 在該變化中過程中的無窮小

7、無窮小的比較： (趨于 0 的速度的大小比較 )(x),(x) ，為同一變化過程中 的無窮小若 limc( c 0常數(shù))則是的同階無窮小(當(dāng) c 1時為等價無窮小 )若 limk c( c 0 常數(shù))則是的 k 階無窮小若 lim0則是的高階無窮小常用等價無窮?。?( x 0) x: sin x: tanx: arcsin x : arctan x : ln(1 x) : ex 1；21 cosx:；(1 x) 1: x； ax 1: xlna22無窮大：設(shè)函數(shù) f(x) 在 x0 的某去心鄰域內(nèi)有定義。若對于 M 0 ， 0 s.t. 當(dāng)0 x x0時，恒有 f ( x) M稱 f (x)當(dāng)

8、 x x0時為無窮大，記作 lim f (x)x x 0無窮大定理 ：lim f (x)無窮小lim f(x)為無窮小下：趨于某點(diǎn)，去心鄰域不為 0)lim f(x)為無窮大 無窮大的乘積為無窮大， 其和、差、商不確定六、連續(xù)函數(shù)1定義設(shè)函數(shù) y f ( x)在x0某鄰域有定義，若對0，0 s.t. 當(dāng)0 x x0時，恒有： f(x) f (x0)也可記作 lim f (x) f (x0 ) 或 lim y 0x x0x 0f(x0) f (x0) (或 f (x0 ) f(x0) )為左(或右)連續(xù)2函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：左右極限存在左右極限相等，該處無定義左右極限不等可去間斷點(diǎn)跳躍間斷

9、點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，震蕩間斷點(diǎn)等 3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 若函數(shù) f(x)與g(x)都在 x處連續(xù)，則函數(shù)f ( x)f(x) g(x)， f(x)g(x)， gf(xx) (g(x) 0)f (g) 在u0處連續(xù)，則定理： y f g(x) ， g (x0) u0 ，若 g(x) 在 x0 處連續(xù)，y fg(x)在 x0處連續(xù)4閉區(qū)間連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì) 最值定理： f (x) 在a,b 上連續(xù)， 則 x1,x2，對一切 x a,b有f (x1) f (x) f (x2)介值定理： f(x)在a,b上連續(xù)，對于 f (a)與 f (b)之間的任何數(shù) u，至少 一點(diǎn)s.t. f ( ) u章

10、、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù) yf (x) 在點(diǎn) x0 的某鄰域有定義，如果極限lim f (x0 x) f (x0) x0存在，則稱函數(shù) y f ( x) 在點(diǎn)x0可導(dǎo)，極限值為函數(shù) y f (x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)，記為 f '(x0)單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù) y f (x)在點(diǎn)x0處的左側(cè) (x0 , x0 有定義，若極限lim f (x0x) f (x0)x0存在，則稱此極限為函數(shù)y f ( x) 在點(diǎn) x0 處的 左導(dǎo)數(shù)， 記為 f '(x0) ，類似有 右導(dǎo)數(shù) f '( x0)導(dǎo)函數(shù)：函數(shù) y f (x) 在某區(qū)間上可導(dǎo)，則' f (x x) f ( x)

11、 f (x) limx 0 x性質(zhì)：函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)的充要條件 f'(x0) f'(x0) 可導(dǎo) 連續(xù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)點(diǎn)處的切線斜率二、求導(dǎo)法則 1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理：若 u u(x),v v(x)都在 x處可導(dǎo)，則函數(shù) u(x) v(x)在 x處也可導(dǎo)，且u(x) v(x) ' u'(x) v'(x)定理：若 u u(x),v v(x)都在 x處可導(dǎo)，則函數(shù) u(x)v(x)在 x處也可導(dǎo)，且u(x)v(x) u v uv推論：若 u1,K ,un都在 x處可導(dǎo)，則函數(shù) u1u2L un在x處也可導(dǎo)，且u1u2L

12、 un u1u2L un u1u2 L un L u1u2L un定理：若 u u(x), v v(x) 都在 x 處可導(dǎo) ，則函數(shù) u(x) 在 x 處也可導(dǎo)，且 v(x)u(x) u v uvv( x)v22反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理：設(shè)函數(shù) x g (y)在I y上單調(diào)可導(dǎo) ，它的值域?yàn)?Ix，而 g'(y) 0 ，則其反函數(shù)1y g 1(x) f (x)在區(qū)間 Ix 上可導(dǎo)，并且有f '( x)g ( x)4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：若函數(shù) u (x)在 x0可導(dǎo)，函數(shù) y f(u)在點(diǎn) u0(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y f ( (x) 在 x0 處可導(dǎo) f ( (x)

13、9; f '( (x) '(x)三、高階導(dǎo)數(shù)或 dy dy gdu(連鎖規(guī)則)dx du dx定義：若函數(shù) y f (x) 的導(dǎo)數(shù) yf ' (x )仍可導(dǎo)，則 y' f '(x)導(dǎo)數(shù)為 y f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 y", f"(x),d 2ydx類似的，有 n階導(dǎo)數(shù) y(n), f(n)(x),ndydxn四、隱函數(shù)求導(dǎo)對于Fx,y(x) 0 ,或F x, y(x) Gx,y(x) ，若求 dy dx 求導(dǎo)法：方程兩側(cè)對 x 求導(dǎo) 微分法：方程兩側(cè)求微分公式法： dyFx' ，將方程化成 Fx,y=0，將 F 看成關(guān)于

14、x,y 的二元函數(shù)，分dx Fy別對 x,y 求偏導(dǎo) Fx', Fy'五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)x (t)dy dy dt dy dx' (t) yt'， g / ' ' y (t)dx dt dx dt dt' (t) xt'導(dǎo)數(shù)公式 基本函數(shù)： C' 0(x )' x(ax)' ax ln a(loga x)'1xlna(sin x)'cosx(cos x) 'sin x(cot x)'2 csc x(sec x) 'secxtanx(csc x)(arcsin

15、 x)(arccos x )(arctanx)(arccot x)'csc x cot x111 x211 x2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 : (u v)' u' v(Cu)' Cu(uv) uv uv(u v)(n) u(n) v(n)高階導(dǎo)數(shù)Cf(ax b)(n) Canf (n)(ax b)(u)'vuv uvv2n (m) m n m *(xn)(m)Anmxn m,(n N* )若m n,則 0x (n) x n (a ) a ln a(sin x)(n) sin(x n )1. o(xn 1) o(x)xn2.lixm0f(x)f (x0)x x0(uv)

16、(n)nkCnuk0(n)1)n(n k )v(k)n!(loga x)(n)(cos x)( n)( 1)ncos(x1 (n 1)!xn lnaf '( x0 ) ，需補(bǔ)充條件 f(x)在 x0處可導(dǎo)或該極限存在第三章、微分一、微分的概念定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) y f(x) 在 某 區(qū) 間 I 上 有 定 義 ， x0,x0 x I ， 若 y f (x0 x) f (x0) 可表示為y A x o( x) (其中 A與 x無關(guān))，則稱 A x為 y在x0處 的微分，記作 dy A x dy與 y 的區(qū)別：當(dāng) y 為自變量時， dy y當(dāng) y 為因變量時， dy y ， y dy

17、o( x) ， dy 為 y 的線性主部 定理：對于一元函數(shù) y f (x) ， 可導(dǎo) 可微 性質(zhì)：一階微分形式不變性，對于高階微分 dny f (n)(x)(dx)n二、微分的幾何意義“以直代曲” 三、微分中值定理中值定理?xiàng)l件結(jié)論Rollea,b 上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo), f (a) f (b)至少存在一點(diǎn) ，使得f '( ) 0Lagrangea,b 上連續(xù) , (a,b) 上 可導(dǎo)f (b) f (a) f '( ) baCauchy a,b 上連續(xù) , (a,b) 上可導(dǎo)， g'(x) 0f(b) f (a) f '( ) g(b) g(a) g

18、9;( )有限增量定理： y f ' (x x) x (0 1) L, Hospital 法則：0 型 未 定 式 定 值 法 ： f (x), g(x) 在 x0 的 某 去 心 鄰 域 有 定 義 ， 且 00lim f(x) lim g(x) 0， f(x),g(x)在 x0的某去心鄰域可導(dǎo)，且 g'(x) 0x x0x x0lim f ''(x)A，則有 lim f ( x)f ' (x) lim 'x x0 g '( x)x x0 g( x)x x0 g '(x)， 0g ， 1 ，00，0類似四、函數(shù)的單調(diào)性與極值1.

19、 單調(diào)性：定理：設(shè)函數(shù) y f (x)在a,b 上連續(xù)，在 (a,b)上可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)符號原函數(shù)單調(diào)性f '( x) 0Zf '( x) 02. 極值定義：設(shè)函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0某鄰域有定義，若對該鄰域內(nèi)一切 x都有f (x0) f (x)則 f (x0)是函數(shù) f (x) 的一個極大值 ，點(diǎn)x0為函數(shù) f(x) 的一個極大值點(diǎn) 。(極小值類似)函數(shù)取得極值的一階充分條件函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0去心鄰域可導(dǎo) ，且在 x0處可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在， 則：當(dāng) xx0 時，f '( x)0，xx0時，f ' ( x)0 ，則f (x0) 是極大值當(dāng) xx0 時，f

20、 '( x)0，xx0時，f ' ( x)0，則f ( x0 ) 是極小值無論x x0 還是 xx0 ，總有f '( x)0 (或f ' ( x)0)，則 f (x0) 不是極值函數(shù)取得極值的二階充分條件函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f'(x0) 0， f"(x0) 0，則若 f"(x0) 0，則 f (x0)是極小值若 f "(x0) 0，則 f (x0 )是極大值 第四章、不定積分 一、不定積分的概念和性質(zhì)1. 原函數(shù)與不定積分 原函數(shù)：設(shè) f(x)在I 上有定義，若對 x I ，都有F'(x)

21、 f(x) 或 dF(x) f (x)dx則稱 F(x)為 f(x)在I 上的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：若函數(shù) f(x)在I 上連續(xù)，則在 I 上 可導(dǎo)函數(shù) F (x) ，s.t. 對 x I ，都有 F'(x) f (x)。即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)不定積分：設(shè) F(x)使 f ( x)的一個原函數(shù)， C 為任意常數(shù)，稱 F(x) C為 f(x)的不 定積分，記作f ( x)dx F ( x) C 幾何意義：積分曲線族2. 不定積分的性質(zhì)： 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算為互逆運(yùn)算 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、換元積分法1.

22、 第一類換元積分法定理：設(shè) f (u)有原函數(shù)，且 u (x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ，則 f (x) '(x)有原函數(shù)f (x) '(x)dx f (u)du2. 第二類換元積分法定理：設(shè) f(x)連續(xù)， x (t)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 '(t) 0，則f(x)dx f (t) '(t)dt ，其中 t1(x)三、分部積分法uv'dx uv u'vdx四、有理函數(shù)的積分1. 簡單有理函數(shù)的積分將真分式 P (x) 分解為 部分分式 之和Q(x)對于 Q(x)(xa)k形式：應(yīng)分解成 k 個部分分式 xA1a,(xA2a)2L (xAka)k對 于 Q (x)

23、 (x2 px q)l應(yīng)分解成l個部分分Cl x Dl(x2 px q) lC1 x D1 C 2 x D 2 x2 px q ,(x2 px q)2 L 求 4 種積分dx ， xa(x1ka)dx，Cx D2 dx ， x px qCx D2 l dx ( x2 px q)l其中，對于2 Cx D p 4q p 2 l dx ，可令 t x ， a (x2 px q)l2 4則2Cx(xl dx 2 1 px q )(t a2 l dt ，再利用 遞推法2. 三角函數(shù)有理式的積分sin x萬能變換： tan x2u，cos x2u1 u21 u 21 u 2， dx22 du1 u 2其他

24、方法：形式換元f (sin x,cos x) f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x) f (sin x, cos x)t sin xf (sin x,cosx) f ( sinx, cosx)t tan x二、 tann xdx 與 cotn xdx n N對于 tann xdx令 t tanx對于 cotn xdx令 t cot x、 secn xdx 與 cscn xdx n 為偶數(shù) 對于 secn xdx令 t tanx對于 cscn xdx令 t cotx四、 sinm xcosn xdx1將其轉(zhuǎn)化當(dāng) n,m 至少有一個為 奇數(shù) 時，可利用 sin

25、dx arctan x C1 x2 x cos2 x當(dāng) n,m 均為偶數(shù)時，利用 2 倍角轉(zhuǎn)化a1 sinx b1 cosx1 1 dx asinx bcosx令 (1a14sin44x2 b41 c4os43x) A(1as4in4x2 b4c4os3x) B(acosx五、bsin x)解出 A,B分母分子分母原函數(shù)為 Ax B ln|1a s4in4x2 b4c4os3x |kdx kx CaxdxCln atan xdx ln cosxxndx1 nn1 x1C (n 1)1dxxsin xdxcosxCcos xdxcot xdxlnsin xCsecxdxln secx積分表ln

26、x Csin xtanxCtanxcsc2 xdxcscxdx ln cscx cotx2sec xcotxsecx tan xdx secx Ccscx cot xdx cotx1 dx arcsin x1 x2x21x11xaaarctan C2 2 dxlnaaxa2axaC2 dx a21x dx arcsin a2 x2a1dx22 xaln22xa第五章、定積分一、定積分的定義定義：設(shè)函數(shù) f (x) 在a,b 上有界，在 a, b 內(nèi)任意插入 n-1 個分點(diǎn)a x0 x1 Lxn 1xn b把a(bǔ),b分成 n 個小區(qū)間， xi 1,xi(i 1,2,L ,n). 記 xi xi x

27、i 1，在第 i個區(qū)間上n任取一點(diǎn) i ，用 f ( i ) 乘上區(qū)間長度 xi ，即 f ( i ) xi ，并作和f ( i ) xi .i1記 max x1, x2,L , xn ，無論怎么分割，無論怎么取 i，若 0 時，f( i)i1xi 趨于同一極限，則稱此極限為bf(x) 在a,b上的定積分.記作 f (x)dx af (x)dxnlim0 f ( i ) xi 0i1可積定理：函數(shù) f (x) 在a,b 上連續(xù)函數(shù) f (x) 在 a,b上有界，且僅有有限個第一類間斷點(diǎn)函數(shù) f (x) 在 a,b上單調(diào)有界二、定積分的性質(zhì)bb kf (x)dx k f(x)dxaab a f

28、(x) g(x)dxf (x)dx ag(x)dxcf (x)dxabf (x)dxcb區(qū)間可加性f (x)dxabbb Cdx (b a)C 單調(diào)性 : 若a,b上 f(x) g(x) 則 f(x)dx g(x)dx aaabb f(x)dx f (x)dxaa 估值性質(zhì)：設(shè) M ，m 分別為 f(x) 在a,b 上的最大值與最小值，則bm(b a) f(x)dx M (b a)a 定積分中值定理：若 f (x)在a,b上連續(xù)，則在區(qū)間 a,b上至少存在一點(diǎn) , s.t.f (x)dxf ( )(b a)01b f (x)在a, b上的平均值為f (x)dxb a aa a a 若 f (x

29、) 為奇函數(shù)，f (x)dx 0 ；若為偶函數(shù)f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (sin x)dx 2 f (cosx) dxxf (sin x)dxf (sin x)dxf(x) 為周期函數(shù)，af(x)dxT0 f (x)dxT2T f (x)dx2nTf (x)dxTn 0 f(x)dx三、微積分學(xué)基本定理1. 變上限函數(shù)x(x) f (t)dt x a,ba定理：若 f ( x)在a,b上連續(xù)，則變上限函數(shù) 可導(dǎo)， '(x) f (x)2. 原函數(shù)存在定理若 f (x)在a, b上連續(xù)，則函數(shù) (x)是 f (x)在a,b上的一個原函數(shù)3. Newton-Leibniz 公式(微積分基本定理) f (x)在a,b上連續(xù)， F(x)是 f (x) 在