(完整版)初中數(shù)學(xué)三角形有關(guān)的線段講解及習(xí)題

1、11.1與三角形有關(guān)的線段畠礎(chǔ)知識(shí)塔本扶能/Z rd I1. 三角形(1) 定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.(2) 構(gòu)成：如圖所示，三角形 ABC有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).第二頁(yè)共八頁(yè) 邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊. 角：相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角. 頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).表示：三角形用符號(hào)"”表示，三角形ABC用符號(hào)表示為 ABC.注：頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊 AB用c表示.(4)分類： 三角形按角分類如下：直角三角形三角形銳角三角形鈍角三角形三邊

2、部不相等的三角老嚴(yán)邊和腰不和等的等魄等腰三角形二角形11等邊二角形三角形按邊的相等關(guān)系分類如下:破疑點(diǎn) 等邊三角形和等腰三角形的關(guān)系等邊三角形是特殊的等腰三角形，即等邊三角形是底邊和腰相等的等腰三角形.【例1】如圖所示,分析：根據(jù)三角形的定義及構(gòu)成得出結(jié)論.解：圖中有三個(gè)三角形，分別是： ABC, ABD , ADC. ABC的三邊是：AB, BC, AC,三個(gè)內(nèi)角分別是： / BAC, / B, / C; ABD的三邊是：AB, BD, AD，三個(gè)內(nèi)角分別是： / BAD , / B, / ADB; ADC的三邊是：AD , DC, AC,三個(gè)內(nèi)角分別是： / ADC , / DAC , /

3、 C.2. 三角形的三邊關(guān)系a + c>(1) 三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，用字母表示：a+ b>c, c+ b>a,b.三角形兩邊的差小于第三邊，用字母表示為:c b<a, b a<c, c a<b.(2) 作用：利用三角形的三邊關(guān)系，在已知兩邊的三角形中可以確定第三邊的取值范 圍；根據(jù)所給三條線段長(zhǎng)度判斷這三條線段能否構(gòu)成三角形.“兩點(diǎn)之間線段最短”是三邊關(guān)系得出的理論依據(jù)破疑點(diǎn)三角形三邊關(guān)系的理解三角形兩邊之和大于第三邊指的是三角形中任意兩邊之和都大于第三邊，即 a + b> c, c + b> a, a + c> b三個(gè)不等

4、式同時(shí)成立.【例2】 下列長(zhǎng)度的三條線段(單位：厘米)能組成三角形的是().A . 1,2,3.5B . 4,5,9C. 5,8,15D . 6,8,9解析：選擇最短的兩條線段，計(jì)算它們的和是否大于最長(zhǎng)的線段，若大于，則能構(gòu)成 三角形，否則構(gòu)不成三角形，只有6+ 8= 14> 9,所以D能構(gòu)成三角形.答案：D3. 三角形的咼(1) 定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.AD是BC邊上的高.如圖所(2) 描述方法：高的描述方法有三種， 這三種方法都能得出 示.C AD是厶ABC的高； AD丄BC,垂足為D; D 在 BC 上，且/ ADB

5、= / ADC = 90°(3) 性質(zhì)特點(diǎn)：因?yàn)楦呤峭ㄟ^(guò)作垂線得出的，因而有高一定有垂直和直角.常用關(guān)系式為：因?yàn)锳D是BC邊上的高，所以/ ADB = / ADC = 90° “三角形的三條高(所在直線)交于一點(diǎn)” 當(dāng)是直角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn)上； 圖所示.當(dāng)是銳角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形內(nèi)部； 當(dāng)是鈍角三角形時(shí)， 這點(diǎn)在三角形外部.如(1) 破疑點(diǎn) 三角形的高線的理解三角形的高是線段，不是直線，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊或?qū)吽诘闹本€上.【例3】三角形的三條高在().A .三角形的內(nèi)部B .三角形的外部C.三角形的邊上D .三角形的

6、內(nèi)部、外部或邊上解析：三角形的三條高交于一點(diǎn)，但有三種情況：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形 內(nèi)部；當(dāng)是直角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn)上；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形 外部，所以只有D正確.答案：D4. 三角形的中線(1) 定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.(2) 描述方法：三角形中線的描述方法有兩種方式，如圖. 直接描述：AD是BC邊上的中線; 間接描述：D是BC邊上的中點(diǎn).(3) 性質(zhì)特點(diǎn)：由三角形中線定義可知，有中線就有相等的線段，如上圖中，因?yàn)锳D是BC邊上的1 1中線，所以 BD = CD(或 BD = 2BC, DC = 2BC).如下圖所示，一個(gè)

7、三角形有三條中線，每條邊上各有一條，三角形的三條中線交于 一點(diǎn)不論是銳角三角形 、直角三角形，還是鈍角三角形，三角形的三條中線都交于三角 形內(nèi)部一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.D第四頁(yè)共八頁(yè)【例4】破疑點(diǎn)三角形的中線的理解三角形的中線也是線段，它是一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的 連線，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊中點(diǎn).則BD的長(zhǎng)為().A. 2解析：所以BE = EC = 6.又因?yàn)镈E = 2, 所以 BD = BE DE = 6 2= 4. 答案：C5. 三角形的角平分線(1) 定義：三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的 線段叫做三

8、角形的角平分線. 直接描述：AD是厶ABC的角平分線； 在 ABC 中，/ 1 = / 2,且 D 在 BC 上; AD平分/ BAC，交BC于點(diǎn)D.(3) 性質(zhì)特點(diǎn)： 由三角形角平分線的定義可知，有角平分線就有相等的角，如上圖中，因?yàn)锳D是 ABC 的角平分線，所以/ 1= / 2(或/ 仁/2= / BAC，或/ BAC=2 / 1=2 / 2). 一個(gè)三角形有三條角平分線，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，不論是銳角三角形、 直角三角形，還是鈍角三角形，這個(gè)交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.解技巧 三角形的角平分線的理解三角形的角平分線也是一條線段，角的頂點(diǎn)是一個(gè)端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在對(duì)邊上.【例5】下列說(shuō)法

9、正確的是(). 平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線； 三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線； 每個(gè)三角形都有三條中線、咼和角平分線； 三角形的中線是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線.A . B . C . D.解析：任何一個(gè)三角形都有三條高、中線和角平分線，并且它們都是線段，不是射線 或直線，因此只有正確，故選B.答案：B6. 三角形的穩(wěn)定性(1) 定義：三角形的三邊確定后，這個(gè)三角形的大小、形狀就確定不變了，三角形的這 個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.(2) 理解：三角形的穩(wěn)定性指的是三角形的大小和形狀不變，這說(shuō)明一個(gè)三角形確定后 它的附屬性質(zhì)也不變，這不同于四邊形，因而在實(shí)際生活中，都是用三

10、角形做支架的.【例6】在建筑工地我們常可看見(jiàn)如圖所示，用木條EF固定矩形門框ABCD的情形.這D 矩形的四個(gè)角都是直角C正確.A .兩點(diǎn)之間線段最短種做法根據(jù)().C.三角形的穩(wěn)定性 解析：這是三角形穩(wěn)定性在日常生活中的應(yīng)用,答案：C解技巧 三角形的穩(wěn)定性的理解三角形穩(wěn)定性的 問(wèn)題都是以實(shí)際生活為原型，說(shuō)明這樣做的道理，一般較為簡(jiǎn)單.GZJ y i r I t ,1 I n I - J X JI .1 f7. 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用三角形中“兩邊之和大于第三邊(兩邊之差小于第三邊)”，這是三角形中最基本的三邊 關(guān)系.這里的“兩邊之和”指的是“任意兩邊的和”，滿足這一關(guān)系是三條線段能否構(gòu)成 三角形

11、的前提.三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用主要有兩方面，一是在已知兩邊的情況下確定第三邊的取值范 圍；二是根據(jù)所給三條線段的長(zhǎng)度判斷這三條線段能否構(gòu)成三角形.解技巧三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用當(dāng)線段a, b, c滿足最短的兩條線段之和大于最長(zhǎng)的線段時(shí)就可構(gòu)成三角形；已知兩條線段，可根據(jù)第三條線段大于這兩邊之差，小于這兩邊之和，來(lái)確定第三條線段的取值范圍.【例7- 1】以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，能組成三角形嗎？(1) 6 cm,8 cm,10 cm ;三條線段長(zhǎng)之比為 4 ： 5 : 6;(3) a+ 1, a + 2, a+ 3(a>0).分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來(lái)判斷已知的三條線段能否組成三角形，選擇較短

12、的兩 條線段，看它們的和是否大于第三條線段，即可判斷能否組成三角形.解：(1)因?yàn)?+ 8> 10,所以長(zhǎng)為6 cm,8 cm,10 cm的三條線段能組成三角形；設(shè)這三條線段長(zhǎng)分別為4x,5x,6x(x>0)，因?yàn)?x+ 5x大于6x，所以三條線段長(zhǎng)之比為4 ： 5 : 6時(shí)，能組成三角形；(3) 因?yàn)?a+ 1 + a + 2= 2a+ 3,當(dāng) a> 0 時(shí)，2a+ 3> a + 3,所以 a+ 1, a+ 2, a + 3(a> 0)長(zhǎng)的線段能組成三角形.【例7- 2已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5 cm和8 cm,則此三角形的第三邊的長(zhǎng)x的取值范圍是.解析：根據(jù)三

13、角形三邊關(guān)系可知，第三條邊的長(zhǎng)x應(yīng)大于已知兩邊之差且小于已知兩邊之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8三角形的高、中線、角平分線的畫(huà)法三角形是最基本的圖形，也是應(yīng)用最多的圖形，因此畫(huà)出它們高、中線、角平分線經(jīng) 常用到，是必須掌握的基本技能.(1) 高的畫(huà)法：類似于垂線的畫(huà)法，用三角板過(guò)某一頂點(diǎn)向?qū)吇驅(qū)呇娱L(zhǎng)線畫(huà)垂線, 交對(duì)邊于一點(diǎn)，所得到的垂線段就是這條邊上的高.(2) 中線的畫(huà)法：取一邊中點(diǎn)，連接這點(diǎn)和這邊相對(duì)的頂點(diǎn)的線段，就是所求中線.(3) 角平分線的畫(huà)法：類似于畫(huà)角平分線，作三角形一個(gè)角的平分線，交對(duì)邊于一點(diǎn), 這點(diǎn)和角的頂點(diǎn)之間

14、的線段就是所求的角平分線.9. 三角形高的應(yīng)用從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角 形的高.因?yàn)槿切蔚母呤峭ㄟ^(guò)作垂線得到的，既有直角，又有垂線段，因此它的應(yīng)用方向主 要有兩方面：一是求面積問(wèn)題，高是垂線段，也是點(diǎn)到直線的距離，是求三角形的面積所 必須知道的長(zhǎng)度；二是直角，高是垂線段，因而一定有直角，根據(jù)所有直角都相等或互余 關(guān)系進(jìn)行解題是三角形的高應(yīng)用的另一方向.解技巧 巧證直角背景下兩銳角相等圖形中含有高時(shí)，經(jīng)常用"同角(或等角)的余角相等”來(lái)證明角相等，這既是一種方法，也是一個(gè)規(guī)律.【例8】 如圖 ，已知厶ABC，畫(huà)出 ABC中，BC邊上的

15、高、中線和/ BAC的平分線.圖第六頁(yè)共八頁(yè)分析：因?yàn)槿切蔚母摺⒅芯€、角平分線都是描述性定義，它們的定義就蘊(yùn)含了它們的畫(huà)法，根據(jù)總結(jié)的畫(huà)法畫(huà)出圖形即可，如圖(2).解：畫(huà)法如下：(1) 過(guò)A作BC的垂線，垂足為 D, AD即為BC邊上的高；(2) 取BC的中點(diǎn)E,連接AE , AE即為BC邊上的中線；(3) 作/ BAC的平分線，交 BC于點(diǎn)F，連接AF, AF即為 ABC中/ BAC的平分線. 【例9如圖，在厶ABC中，AD , BE分別是邊BC, AC上的高，試說(shuō)明/ DAC與/ EBC的關(guān)系.分析：因?yàn)橛腥切沃械母呔陀写怪薄⒅苯?，所?/ ADC , Z BEC都是直角.根據(jù)小 學(xué)所

16、學(xué)三角形的內(nèi)角和為 180°所以Z DAC + Z C= 90° Z EBC + Z C= 90°根據(jù)同角的 余角相等，即可得出 Z DAC = Z EBC.解：Z DAC = Z EBC.因?yàn)锳D , BE分別是邊BC , AC上的高，所以 Z ADC = 90°, Z BEC = 90°.所以 Z DAC + Z C= 90° ° Z EBC + Z C = 90°.所以 Z DAC = Z EBC.思維荷展創(chuàng)新應(yīng)用10. 三角形中線應(yīng)用拓展三角形的中線是三角形中的一條重要線段，它最大的特點(diǎn)是已知三角形的中線，

17、圖中 一定含有相等線段，由此延伸出中線的應(yīng)用：(1)面積問(wèn)題：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，如圖，在厶ABC中,1AD 是 BC 邊上的中線，則 &ABD= SAACD = 2® ABC.因?yàn)锽D = CD, ABD和厶ADC等底同高，所以面積相等，因此通過(guò)作三角形的中線 可將三角形分成面積相等的兩部分.周長(zhǎng)問(wèn)題：如圖所示， AD是BC邊上的中線， ABD和厶ACD的周長(zhǎng)之差實(shí)質(zhì)上 就是AB與AC的差，這也是三角形中線中常出現(xiàn)的問(wèn)題.【例10】 有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)基地，如圖所示，由于引進(jìn)四個(gè)優(yōu)良品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出

18、兩種以上的劃分方案供選擇(畫(huà)圖說(shuō)明).分析：根據(jù)三角形中線將三角形分為面積相等的兩部分的特征，先把原三角形分為兩 個(gè)面積相等的三角形，然后再依次等分.解：答案不唯一，如方案 1:如圖(1)，在BC上取點(diǎn)D , E, F，使BD = DE = EF = FC ,連接 AD, AE, AF.D , E, F，連接 DE , EF , DF .方案2:如圖 ，分別取AB, BC, CA的中點(diǎn)方案3:如圖 ，分別取BC的中點(diǎn)D、CD的中點(diǎn)E、AB的中點(diǎn)F，連接AD, AE, DF.方案4:如圖 ，分別取BC的中點(diǎn)D、AB的中點(diǎn)E、AC的中點(diǎn)F,連接AD , DE, DF.11等腰三角形中的三邊關(guān)系等腰

19、三角形是特殊的三角形，它最大的特點(diǎn)是兩條邊相等，所以反映在三邊關(guān)系中， 就是底與腰的關(guān)系：只要兩腰之和大于底就一定能構(gòu)成三角形；在等腰三角形中，底 的取值范圍是大于 0且小于兩腰之和.因?yàn)榈妊切蔚奶厥庑运栽谏婕暗妊切螁?wèn)題時(shí)，只要不明確哪是底，哪是 腰，就必須分情況討論，并且要驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形.如一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是 2 cm和5 cm,它的周長(zhǎng)是多少？情況一：當(dāng)腰是2 cm底是5 cm時(shí)，因?yàn)?+ 2<5，兩邊之和小于第三邊，所以此等腰 三角形不存在；情況二：當(dāng)腰是5 cm底是2 cm時(shí)，5+ 2 >5，所以此等腰三角形存在，此時(shí)周長(zhǎng)為12 cm.解技巧利用三邊關(guān)

20、系求等腰三角形的邊長(zhǎng)根據(jù)兩邊之和大于第三邊，結(jié)合底和腰的關(guān)系先判斷等腰三角形是否存在是求解的前提.【例11 1】 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 6 cm和9 cm,則腰長(zhǎng)為 .解析：兩種情況，一是腰長(zhǎng)為6 cm時(shí)，底邊就是9 cm,此時(shí)6+ 6>9，此三角形存在， 所以腰長(zhǎng)可以是 6 cm ;二是腰長(zhǎng)為9 cm，此時(shí)9 + 6> 9,此三角形也存在，所以腰長(zhǎng)也可 以是9 cm,故腰長(zhǎng)為6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11 2】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)是24 cm,(1) 腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求腰長(zhǎng)；(2) 若其中一邊長(zhǎng)為6 cm，求其他兩邊長(zhǎng).分析：(1)可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)

21、，禾U用周長(zhǎng)作為相等關(guān)系，列出方程，通過(guò)求方程的解從 而求出答案；(2)因?yàn)轭}目中沒(méi)有說(shuō)明這條邊究竟是腰還是底邊，要分兩種情況考慮，并且計(jì)算結(jié)果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊.解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為x cm,則腰長(zhǎng)為2x cm,根據(jù)題意，得 x+ 2x+ 2x = 24,解得x= 4.8 ,所以腰長(zhǎng)為 2x= 2X 4.8= 9.6(cm).(2)當(dāng)長(zhǎng)為6 cm的邊為腰時(shí)，則底邊為 24 6X 2 = 12(cm).因?yàn)?+ 6= 12,兩邊之和等于第三邊，所以6 cm長(zhǎng)為腰不能組成三角形，故腰長(zhǎng)不能為 6 cm.當(dāng)長(zhǎng)為6 cm的邊為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為 (24 6)吃=9(cm),因?yàn)?

22、 cm,9 cm,9 cm可以組成三角形，所以等腰三角形其他兩邊長(zhǎng)均為9 cm.12.與三角形有關(guān)的線段易錯(cuò)點(diǎn)分析在本節(jié)內(nèi)容中，易錯(cuò)點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)三角形的高、中 線、角平分線都是線段，它們都有長(zhǎng)度，這與前面所學(xué)的垂線是直 線、角平分線是射線容易混淆.(2)畫(huà)鈍角三角形的高時(shí)易出錯(cuò)，如下圖三種畫(huà)法都是錯(cuò)誤的.BBA EC AC e AC圖1圖2圖3圖1中BE不垂直于邊AC,2錯(cuò)在沒(méi)有過(guò)點(diǎn) B畫(huà)AC 正確的作法三種情況錯(cuò)誤的原因都是對(duì)三角形的高的定義理解不透徹.錯(cuò)因是受銳角三角形的影響，誤認(rèn)為高的垂足必落在對(duì)邊上；圖 的垂線段；圖3錯(cuò)在把三角形的高與 AC邊上的垂線混淆，把線段畫(huà)成了射線.是過(guò)點(diǎn)B向?qū)匒C所在的直線畫(huà)垂線，垂足為E.因?yàn)槿切问氢g角三角形，所以垂足落第七頁(yè)共八頁(yè)在CA的延長(zhǎng)線上，如下圖所示:第八頁(yè)共八頁(yè)(3) 運(yùn)用三角形三邊關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，只有兩邊之和大于第三邊，才能構(gòu)成三角形，才能進(jìn) 行其他運(yùn)算，這是前提特別是等腰三角形在沒(méi)