一元函數與二元函數的異同

1、討論一元函數與二元函數在連續(xù)、可導、可微上的異同一元函數與二元函數在連續(xù)、可導、可微性上的異同小組成員：計焯峰、李世林李玉彬、董慧峰饒朝炎、朱宏列張洪石、丁康康 班級：電氣11班 一元函數定義：設有兩個變量x和y，D是一個給定的數集，如果對于每個數xD，變量y按照一定的法則總有一個確定的數值和他對應，則稱變量y是變量x的函數，記作y=f(x)，數集D稱為函數的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量.二元函數定義：設有變量x、y與z，如果變量x，y在一定的范圍內任意取定一對值（x，y）時，變量z按照一定的對應法則f總有唯一確定的數值與之對應，那么，就稱這個對應法則是變量x,y的二元函數，記作z=f（

2、x，y）,變量x,y稱為自變量，變量z稱為因變量，自變量x，y允許數值的范圍稱為函數的定義域.1、 一元函數與二元函數的在連續(xù)性上的異同一元函數的連續(xù)性定義： 設函數在點的某個鄰域內有定義，如果當時，函數的極限存在，且等于，即， 那么就稱函數在點處連續(xù)，并且稱點是函數的連續(xù)點.二元函數的連續(xù)性定義： 設有二元函數，點是D的某個定義區(qū)域的內點或其屬于D的邊界點，如果，那么就稱函數在點處連續(xù).1 在有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數，也和閉區(qū)間上連續(xù)的一元函數一樣有兩個性質：性質1（有界性與最大值最小值定理）：在有界閉區(qū)間上連續(xù)的多元函數必有最大值和最小值。性質2（介值定理）：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數必

3、定能取得介于函數在該區(qū)域函數在該區(qū)域上的最大值和最小值之間的任何數值。2 基本初等函數在其定義域內是連續(xù)的；一切二元初等函數在其定義域內是連續(xù)的。3 對于閉區(qū)間上連續(xù)的一元函數存在零點定理，而在有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數無零點定理。2、 一元函數與二元函數在導數上的異同一元函數的導數定義： 設函數在點的某一鄰域內有定義，并設自變量在處取得增量(點仍在該鄰域內)時，相應地，函數取得增量。如果與之比當時的極限存在，即如果極限 存在，那么，稱此極限為函數在點處的導數，記為，即. 這時也稱函數在點可導，或稱函數在點具有導數或導數存在。二元函數的偏導數定義：設函數在點的某個鄰域內有定義.當固定在而在處有增

4、量時，相應地，函數有增量.如果存在，那么稱此極限為函數在點處對的偏導數.1 可導與連續(xù)的關系一元函數：1、若函數在點處可導，則在點處必連續(xù).2、函數在點處連續(xù)，但在點處不一定可導.二元函數：1、 若函數在點處可導，但在點處不一定連續(xù).2、 若函數在點處連續(xù)，但在點處不一定可導.2 一元函數的求導法則適應二元函數。例1：討論函數在點x=0處的連續(xù)性與可導性.解：是定義在內的初等函數，故在x=0處連續(xù). 因為,所以，即在處不可導.:例2：1）討論在點（0,0）處的連續(xù)性.解：當點P沿軸趨向時，因為，所以，類似地，當點P沿軸趨向時，雖然點P以上述兩種特殊方式趨于原點時函數的極限存在且相等，但是，當P

5、沿直線趨向時，其值因k而異，故不存在，所以在點（0,0）處不連續(xù).2） 設，求在坐標原點（0,0）處的偏導數. 解：在坐標原點（0,0）處關于、的偏導數為三、一元函數與二元函數在微分上的異同一元函數的微分定義：設有函數.如果函數對于自變量在點處的增量的相應增量可以表示為 ，其中A是與無關的常數，那么，稱函數在點處可微，并且稱A為函數在點處的微分.二元函數的微分定義：如果函數在點的全增量可以表示為，其中不依賴于，而僅與有關，（顯然，當且僅當且），那么稱函數在點處可微分，而稱為函數在點處的全微分.1 一元函數在一點可微的充要條件：一元函數函數在該點可導，并且函數的微分就是函數的導數與自變量的增量的

6、乘積； 二元函數可微分的充要條件：如果函數的偏導數在點的某鄰域內存在，并且在點處這兩個偏導數都連續(xù)，那么，函數在該點處可微分.2 對于一元函數與二元函數在某點連續(xù)，不一定可微，但可微一定連續(xù)；二元函數中，偏導數存在不一定可微，可微則偏導數存在，這與一元函數中，可微與可導等價有區(qū)別.例3：由例2的討論知，函數，在點（0,0）處的兩個偏導數都存在且有.但該函數的極限不存在，也就是說它在點（0,0）處不連續(xù)，因此該函數在點（0,0）不可微.:例4：設為可微函數，證明：若=1時，有，則必有 或.證：因為由題設知，將=1代入可得：，所以必有 或例5：設，其中在（0,0）點的某鄰域內連續(xù). （1）試問：滿足什么條件時，存在. （2）證明：在點（0,0）處可微的充要條件是.解：（1） 要存在，則 要存在，則所以當時，存在.證：（2）充要性：已知，欲證在點（0,0）處可微，只需證注意到，所以. 又，由夾逼準則知. 從而在點（0,0）處可微，并且.必要性