級研矩陣論試題與答案

1、中國礦業(yè)大學(xué)08級畫士研究生課程考試試卷考試科目矩 陣 論考試時間2008年12月研究生姓名 所在院系 學(xué) 號任課教師中國礦業(yè)大學(xué)研究生培養(yǎng)管理科印制(15分)計算1.已知A可逆，求eAtdt (用矩陣A或其逆矩陣表示)；0(2)T -設(shè)a (a1，a2,a3,a4)是給定的常向量,X (Xj)2 4是矩陣變量，求d(X a)TdX(3)設(shè)3階方陣A的特征多項式為2 ,(6),且A可對角化，求kimkA(A)1 / 13(15分)設(shè)微分方程組dxAx，Ax(0)Xo(1)求A的最小多項式mA()(3)求 eAt；(3)求該方程組的解。2 / 1315 分） 對下面矛盾方程組Ax1）求A 的滿秩

2、分解A FG ；x3x1x1x2x2x3112）由滿秩分解計算A；3）求該方程組的最2范數(shù)最二乘解xLS 。3 / 13四(10分)設(shè)求矩陣A的QR分解(要求R的對角元全為正數(shù)，方法不限)五(10 分)設(shè) A T(0,Rn,n 2)(1)證明A的最小多項式是 m( )2 tr(A)；(2)求A的Jordan形(需要討論)。 / 13六(10分)設(shè)A Rm n,(1)證明 rank( In A A) n r ； Ax 0的通解是 x (In AA)y, y Rn o七（10分）證明矩陣1222n2323n 14n(n1)2(n 1)32n（1）能與對角矩陣相似；（2）特征值全為實數(shù)。5 / 13

3、八（15分）設(shè)A是可逆矩陣,A1（這里矩陣范數(shù)都是算子范數(shù)）如果 ，證明（1） B 是可逆矩陣；（2） b1|-（3） | B 1 A 1| - 6 / 13(15分)計算1已知A可逆，求eAtdt (用矩陣A或其逆矩陣表示)；0(2)a (a1，a2,a3,a4)T是給定的常向量，X(Xj” 4是矩陣變量,求d(Xa)T .dX(3)3階方陣A的特征多項式為I A 2(6),且A可對角化，求kimkA(A)(1)At .e dtA1At1 dedt0 dtA 1(eA I)(2)X1jaj,(XX2jaj)T(X )T(X)T(3)kimXijaj(XX2jaj 得)T(X )Td(X dX

4、)TA的特征根為X11(X )TX12(X )TX13(X )TX14(X )TX21X22X23X246,a20a2a30a3a40a40,(A)6.由于A可對角化，即存在可逆矩陣 C ,使A(A)C 1.故kA(A)CkimC16A.7 / 13(15分)設(shè)微分方程組dxAx，Ax(0)X0(1)求A的最小多項式 mA( ) ;(3)求eAt ；(3)求該方程組的解。解(1)| I A (1)3, mA( ) (1)2 ;1 4t 0 8t r( ) a bet(t1 t), eAtr(A) et3t 1 6t2t 0 1 4t1 12tAtt(3) x(t) e X0e 1 9t1 6t

5、三(15分)對下面矛盾方程組 Ax bx3x1x2x3x1x2(1)求A的滿秩分解A FG ;(2)由滿秩分解計算 A ；(3)求該方程組的最小2范數(shù)最小二乘解xLS 。001FG (不唯一)(1) A1111108 / 131 12“、1- A 1 1264221/、1(3) xLS A b 132四（10分）設(shè)求矩陣A的QR分解（要求R的對角元全為正數(shù)，方法不限）解1 2 410 2五（10分）設(shè)A T（0Rn,n 2)(1)證明A的最小多項式是 m( )2 tr(A)(2)求A的Jordan形(需要討論)。證(1)易知 rank( A) 1 , tr( A) T ，故m(A) A2 tr

6、(A)A ( T )A ( T )A O又對任意的一次多項式 g（）c, g( A) A cI O。反證，如果 A cI O當c 0時，A O ,矛盾。當c 0 時，rank(A) rank(cI) n 2 ,矛盾。由 m( )( tr( A)0根知，A的特征值只能是0或tr（A） Ttr( A)0時，m()無重根，A可對角化，再由rank(A) 1知AJtr( A)0 時， A 的特征值全是0 ，由n rank(0IA) n知 00 對應(yīng)的特征向量只有1的線性無關(guān)的，從而從而AJ01六( 10 分) 設(shè) A Rrm n所以1)證明2)1)2)由證明AxInrank( I n A A)0的通解

7、是xAA Inrank( I nA A)r；(InA A)y,nR。A(I nA A)其中又有n rUTUVTInIrOVTr。IrOVTOVIn rAA AA O ，知InA的列都是Ax 0 的解，個線性無關(guān)的，故其線性組合( I nA A) y,y Rn就是Ax 0通解。10 / 13七（10分）證明矩陣（1）能與對角矩陣相似;證：（1） Rk2334 M122_232(2)n 1 11 ki 1 (k 1)i342M1*2歹34nMn(n 1)2n(n 1)32n特征值全為實數(shù)。(k 1)n1 1Gk互不交，說明 A有n個不同的特征值，從而可對角化。Gk中只有一個特征值，所以必（2） Gk關(guān)于實軸對稱，如果 A有復(fù)特征值必成對共軻出現(xiàn)，而為實數(shù)。八（15分）設(shè)A是可逆矩陣,A1（這里矩陣范數(shù)都是算子范數(shù)）如果（1） B是可逆矩陣;證（方法一）(3) B 1 A 1(1) xA 1AxA11Ax| (A B)x Bx*)因此，x 0 Bx 0,說明B可逆。由式（*）,取xB 1yB 1yBB 1y1y由算子范數(shù)的定義得B1(AB)A1b1A（方法二）引理：設(shè)A Cn1,則I A可逆,并有（IA)1(1) I A 1B1 _A (BA1 B A(*由