三年高考(2016-2018)高考數(shù)學試題分項版解析專題28離散性隨機變量與期望理(含解析)

1、專題 28 離散性隨機變量與期望考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求咼考示例?？碱}型預測熱度1.離散型隨機變 量及其分布列1理解取有限個值的離散型隨機變量及其 分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn) 象的重要性；2理解超幾何分布及其導出過程，并能進行 簡單的應用理解2017 課標全國川，18;2016 課標全國I，19;2015 天津，16;2013 課標全國I，19解答題2.離散型隨機變 量的均值與方差理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均 值、方差，并能解決一些實際問題掌握2017 浙江，8;2014 湖南，17;2015 福建，16選擇題解答題分析解讀1.

2、會求簡單的離散型隨機變量的分布列，理解超幾何分布.2.理解數(shù)學期望與方差的概念，熟練掌握期望與方差的求解方法3 分布列、期望及方差均為高考的必考內(nèi)容本節(jié)在高考中一般以解答題形式出現(xiàn)，分值約為 12 分,屬中高檔題.1.條件概率、相互 獨立事件及二項 分布了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解 n 次獨立重復試驗的模型及二項分布，考綱解讀掌握2017 課標全國n，13;2015 課標 I，4;2014 課標 n，5選擇題解答題考點內(nèi)容解讀要求咼考示例?？碱}型預測熱八、 、度并能解決一些簡單的實際問題2.正態(tài)分布及其 應用利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義了解201

3、7 課標全國I，19;2015 湖南，7;2015 湖北，4選擇題解答題分析解讀1. 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，掌握求條件概率的步驟，會求條件概率.2.掌握獨立事件的概率求法，能用二項分布解決實際問題3 了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)曲線的性質(zhì).4.獨立事件的概率及正態(tài)分布均為近幾年高考的熱點.本節(jié)在高考中一般以選擇題、解答題形式出現(xiàn)，難度為易或中等，分值約為 5 分或 12 分.2018 年咼考全景展示1.【2018 年浙江卷】設 0p1，隨機變量 E的分布列是E0122【答案】D【解析】分析：先求數(shù)學期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性1 -P1P1- EQ) =

4、 0 x- - + 1 x- + 2x- = p + -詳解：22 2 2：二八 可；，先增后減，因此選D.E =$洛D二(咕= 丫旺2PL陀).點睛：2 .【2018 年全國卷川理】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為為該群體的 10 位成員中使用移動支付的人數(shù)，用S,廠山一一小,貝 UA. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3【答案】B【解折】分折:刊斷出為二項分布利用公式DOO p(lp)進行計算即可。v D(X) = np(l - p),Ap = 0.4或p = 0.6, / P(X = 4) = C?op4(l一p嚴 PX = 6) = Cfop*(l - p) (1

5、-p)2 05故答秦選B.點睛：本題主要考查二項分布相關知識，屬于中檔題。3 .【2018 年理數(shù)天津卷】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24, 16, 16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進行睡眠時間的調(diào)查.(I )應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(II)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現(xiàn)從這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身體檢查(i )用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；(ii )設A為事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率6【答案】(I)從甲

6、、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3 人，2 人，2 人.(n) (i)答案見解析；(ii)【解析】分析：(【)由分層抽樣的概念可知應從甲、乙丙三個訓1的員工中分別抽取3人亠 4(II) 隨機孌量懇的所有可能取值為L 2. 3.且分布剔優(yōu)超幾何分布，gP P (A=W再二(7J.，各成員的支付方式相互獨立，設A.D(E )減小 B.D(E )增大 C.D (E )先減小后增大D. D ( E )先增大后減小31, 3).據(jù)此求解分布列即可，計算相應的數(shù)學期望為無(足I二學 5 由題意結合題意和互斥事件抵率 公式可得事件益發(fā)生的擬率為詳解：(I)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3 : 2

7、： 2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7 人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3 人，2 人，2 人.C,習(H) (i)隨機變量X的所有可能取值為 0, 1, 2, 3.P(X=k) =：(k=0, 1, 2, 3).所以，隨機變量X的分布列為X0123112184P112W 412E(Jf)=0 x + 1 x + 2 x + 3 x = = 隨機變量 X 的數(shù)學期望.(ii)設事件B為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有1 人，睡眠不足的員工有 2 人”；事件C為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有2 人，睡眠不足的員工有1 人”，則A=BUC且B與C互斥，由(i)知，RD=R

8、X=2) ,P(C)=P(X=1),6 6故 RA)=RBUC)=P(X=2)+P(X=1)=.所以，事件A發(fā)生的概率為 .點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：考查對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)樣本容雖貳=雪抽取的土體邃：-1，；1 -W; (2)總體中某兩層的個體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.4.【2018 年理北京卷】

9、電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.(I)從電影公司收集的電影中隨機選取1 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(n)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1 部，估計恰有 1 部獲得好評的概率；4(川)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“表示第k類電影得到人們喜歡，“條”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1, 2,

10、 3, 4, 5, 6).寫出方差D認，嚴3,-的大小關系.【答案】概率為 0.025(2) 概率估計為 0.35(3) = -【解析】分析：(1)先根據(jù)頻數(shù)計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率，(2)恰有1 部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事件的概率，再相加得結果，(3) 服從0-1 分布，因此即得 = -.詳解：解：(I)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,50-0.025第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是20

11、0X 0.25=50 故所求概率為(II )設事件衛(wèi)為從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評疥，事件B為“從第五類電影中隨機選岀的 電影茯得好評” 故所求概率為P (AB+AB) =P(歷)-P (3B) =P UX1-P-(7 U P.宙題青知：P 3估計為0.25,P(月)估計為0.2.故所求概率估計為0.25x0.8-075x0.2=0.35(III)產(chǎn)昇Df詁叭點睛：互斥事件概率加法公式：若A,B 互斥，則 P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式：若 A,B 相互獨立，則 P(AB)=P(A)P(B).5.【2018 年理新課標 I 卷】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱20

12、0 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20 件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1 )記 20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為,求；.的最大值點 .(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20 件，結果恰有 2 件不合格品，以(1 中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為 2 元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25 元的賠償費用.(i )若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求-；(ii )以檢驗

13、費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？5【答案】.(2)(i ) 490. (ii )應該對余下的產(chǎn)品作檢驗 .【解析】分析：Ji利用獨立重復實臉咸功次數(shù)對應的概率，求=之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點這里要注opi的條件；先根1S第一問的條件，確定出卩在解(：)的時候，先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關 系，求得賠償費用的期望*在解(io的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.詳解：(1) 20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為.因此fp = CPXl-pJ-ll-p)17 = 2Cp(l-p/7(l-1

14、0p).令得,：1.當時，：廠；當UH】!時，二.所以；的最大值點為(2)由(1)知，:.(i )令表示余下的 180 件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知？IV 門+2，即X = 40-h 25Y所以EX = E(40 + 25V) =40 + 25EY = 490.(ii )如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400 元.由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗 點睛：該題考查的是有關隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復試驗成功次數(shù)對應的 概率公式，再者就是對其用函數(shù)的思想來研究，應用導數(shù)求得其最小值點，在做第二問的時候，需要明確 離散型隨機變量的可取值以及對應的概率，應

15、用期望公式求得結果，再有就是通過期望的大小關系得到結 論2017 年咼考全景展示11.【2017 浙江，8】已知隨機變量j滿足P(i=1) =pi,P(i=0) =1 p,i=1, 2.若 0p1p2，則2AE(1)E(2),D(1)D(2)B. E(1)D(2)6【答案】A【解析】試題分析：E(1)= p,E(2)= P2,. E(1)：E(2)?D(1)=PI(1-PI),D(2)= P2(1-P2),. D(1)-D(2)=(Pl-P2)(1-Pl-P2)：0,選A【考點】兩點分布【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出X

16、取各個值時的概率.對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).由已知本題隨機變量 服從兩點分布，由兩點分布均值與方差公式可得A正確.2. 【2017 課標 II ,理 13】一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，工表示抽到的二等品件數(shù)，則D_。【答案】1.96【解析】試題分析：由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即X B 100,002，由二項分布的期望公式可得DX二np1-p =100 0.02 0.98 =1.96?！究键c】二項分布的期望與方差【名師點睛】

17、判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：一是是否為n次獨立重復試驗。在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p。二是隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)。 且p X =k二C：pk1-p表示在獨 立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率。3. 【2017 山東，理 18】(本小題滿分 12 分)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6 名男志愿者A1,A A3,A As,A和 4 名女志愿者B,

18、B2,B, B,從中隨機抽取 5 人接受甲種心理暗示，另 5 人接受 乙種心理暗示.(I )求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B,的頻率。CE(1)E(2),D(1)E(2),D(i)D(2)7(II )用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX5【答案】(I)一 .(ll)X 的分布列為18X01234P1510514221212142X 的數(shù)學期望是EX=2.【解析】試題分析：(I )記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A,但不包含B1的事件為 M 計算即得(II)由題意知 X 可取的值為：0,1,2,3,4利用超幾何分布概率計算公式 得 X 的分布列為X012

19、34P1510514221212142(II)由題意知 X 可取的值為：0,1,2,3,4則進一步計算 X 的數(shù)學期望試題解析：(I )記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B1的事件為M,則P(M) = C5C10518P(X =0)P(X =1)P(X =2)P(X =3)P(X =4)_C_1-G50 -42c；c：_5_CT-21c；c：10C50_21_c6C35G5021c：c：丄428因此 X 的分布列為489X01234P1510514221212142X 的數(shù)學期望是EX =0 P(X =0) 1 P(X =1) 2 P(X =2)3 P(X = 3) 4 P(X = 4

20、)151051=0乂 +1漢 +2江 一+ 3江+ 4疋 =24221212142【考點】1.古典概型.2.隨機變量的分布列與數(shù)學期望3 超幾何分布【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等4.【2017 北京，理 17】為了研究一種新藥的療效，選 100 名患者隨機分成兩組，每組各 50 名，一組服藥, 另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理 指標x和y的數(shù)據(jù)

21、，并制成下圖，其中“ *”表示服藥 者，+”表示未服藥者.L7指桶(I)從服藥的 50 名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于 60 的概率；(n)從圖中 A, B, C, D 四人中隨機.選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于 1.7 的人數(shù)，求的 分布列和數(shù)學期望E();(川)試判斷這 100 名患者中服藥者指標 y 數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標 y 數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結論) 【答案】(I)0.3 ; (n )詳見解析；(川)在這 100 名患者中，服藥者指標 y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指 標 y數(shù)據(jù)的方差.【解析】10【答(1)衣(2)11試題分析：(I)根據(jù)所給數(shù)據(jù)數(shù)出的個數(shù)

22、，再除臥W就是概率3 (II)由團可知凡C兩人x1.7 ,根據(jù)超幾何分布寫出分布列， = o：l;2戶疋=町二竺 J 住=0丄2)，并求數(shù)學期望;(III)方差表C；示數(shù)擔的離歆程度波動越大，方差越犬，波動小方差小.試題解析：解：(I )由團知，在服藥的劉名患者中指標F的值小于60的有巧人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標F的值小于60的概率為=03 .50(n)由圖知，A,B,C,D 四人中，指標x的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.所以的所有可能取值為 0,1,2.所以的分布列為012P121636故的期望E( ) =011 - 21=1636(川)在這 100 名患

23、者中，服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差【考點】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義【名師點睛】求分布列的三種方法1 由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；2 .由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；3由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n 次獨立重復試驗有 k 次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列.5.【2017 天津，理 16】從甲地到乙地要經(jīng)過 3 個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇1 1 1到紅燈的概率分別為，一，.2 3 4(I)設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(n)若有 2 輛車獨立地從甲

24、地到乙地，求這2 輛車共遇到 1 個紅燈的概率P()呂冷,p(=1)=CCC46C4=-p(=2)=C3, ()C24811【解析】試題分析：X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，X的所有可能取值為0,1,23 分別求出相應的概率值，列出隨機變量X的分布列并計算數(shù)學期望，Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，這2 輛車共遇到 1 個紅燈就是包括第一輛遇到1 次紅燈且第 2 輛沒遇上和第一輛沒遇上紅燈且第 2 輛遇上 1 次紅燈兩個事件的概率的和 .1 1 1 1二）（匕）（1-4匸，1 1 1 1= 一2 3 424所以，隨機變量X的分布列為X0123P11111424

25、4241111113隨機變量X的數(shù)學期望E(X) =0 - 1一2 - 3一二一.424424 12P（Y - Z =1） = P（Y =0,Z =1） P（Y =1,Z =0） = P（Y = 0）P（Z = 1） P（Y =1）P（Z二0）1 1111 111=x + x = 4 24 24 4 48 11所以，這 2 輛車共遇到 1 個紅燈的概率為48【考點】離散型隨機變量概率分布列及數(shù)學期望【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些？當隨機變量 取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照 數(shù)學期望公

26、式計算出數(shù)學期望；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題6.【2017 課標 3,理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4 元，售價每瓶試題解析：（I）隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.p(x=1) J (1 _) (1_丄)(1_丄)23421 1 1（1蔦）（二）（匕）1124P(X1 (1231(1-1)34P(X=3)（n）設 丫表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為126 元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2 元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：C）有

27、關.如果最高氣溫不低于 25,需求量為 500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20, 25）, 需求量為 300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為 200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六 月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,氣溫15)20)25)30)35)40)天213274數(shù)665以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（1） 求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2） 設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位:瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？

28、【答案】（1）分布列略；（2）n=300 時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520 元.【解析】試題分析：（1）X所有的可能取值為 200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列；由題中所給條件分類討論可得n=300 時，Y的數(shù)學期望達到最大值 520 元.試題解析：（1）由題意知，X 所有的可能取值為 200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知2+163625+7+4P X =2000.2， P X =3000.4， P X =5000.4 .909090因此 X 的分布列為X200300500P0.20.40. 4由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為 200，因

29、此只需考慮 200 n 500當 300 n 0(i= 1,2 ,)；二是pi+p2+pn= 1 檢驗分布列的正誤7.【2017 江蘇，23】已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m,nN*,n2),這些球除顏色外全部相同現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3,(|,m 的抽屜內(nèi)，其中第 k 次取出的球放入編號為 k 的抽屜(k =1,2, 3 川 I, m n) 123m +n(1)試求編號為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學期望，證【答明：E(X):(1)n(m - n)(n 1)(2)見解析m

30、 n【解析】解：(1) 編號為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率Cn ACm nXPm F1E(X)=nCk 4Cm71m n1 (k -1)! Cm n kznk (n-1)!(k n)!所以E(X):Cmnm nzk =n(k -2)!(n -1)!(k -n)!1(n _1)Cm nm“nzk -n(k-2)!(n _2)!(k _ n)!1(n -1)Cm nin cm爲)1c: c: c川cmiu(n T)cm n(2) 隨機變量X的概率分布為15Cm n1_n(n -1)cm n(m n)(n -1)E(X)(m + n)( n 1)【考點】古典概型概率、隨機變量及其分布、數(shù)學期望【名

31、師點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XL|B( n, p)，

32、則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期 望公式(E(X)二np)求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度2016 年高考全景展示1.【2016 高考新課標 1 卷】(本小題滿分 12 分)某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰 . 機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元.在機器使用期間，如果備件 不足再購買，則每個 500 元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：(n -1)Cm n(cn1cn2 cm爲)ini(n-1)Cm

33、 n(Cn 1 mn 2. m216以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，門表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)（I ）求X的分布列；（II ）若要求P（X _n） _0.5,確定n的最小值；（III ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n = 19與n = 20之中選其一，應選用哪個？【答案】（I ）見解析（II）19（ III ）n =19【解析】試題分析：（I ）先確定X的取值分別為 16,17,18,18,20,21,22”再用相互獨立事件概率模型求概率，然后寫出分布列； （I

34、I ） 通過頻率大小進行比較； （III ）分別求出n=9,n=20 的期望，根據(jù) n =19時所需費用的期望 值小于n =20時所需費用的期望值，應選n =19.試題解析：（I）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11 的概率分別為 0.2,0.4,0.2,02 從而P（X=16）=0.2 0.2=0.04；P（X=17）=2 0.2 0.4 =0.16；P（X =18）=20.2 0.2 0.4 0.4 =0.24；P（X =192 0.2 0.2 2 0.4 0.2 =0.24；P（X =20） =2 0.2 0.4 0.2 0.2 =0.2；

35、P（X=21）=2 0.2 0.2 =0.08；P（X =22） =0.2 0.2=0.04.所以X的分布列為17X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04()由(I)知P(X _ 18) = 0.44,P(X _ 19) = 0.68,故n的最小值為 19.(川)記Y表示 2 臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)當n=19時，EY=19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08(19 200 3 500) 0.04 =4040.當n -20時，EY =20 200 0.88 (20 200

36、500) 0.08 (20 200 2 500) 0.04= 4080.可知當n =19時所需費用的期望值小于n =20時所需費用的期望值，故應選n =19.考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結合在一起進行考查，有一定綜合性但難度不是太大大求解關鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學中的閱讀理解問題.2.【2016 高考新課標 2 理數(shù)】某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人， 續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年

37、內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(I) 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(n)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%勺概率；(川)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.【答案】(I) 0.55 ; (n);(川)1.23.【解析】試題分析：(I)根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(n) 續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,由條件概率公式求解；(川)記續(xù)保人本年度的保費為X，求X的分布列，再根據(jù)期望公式求解 .18試題解析：(I)

38、設衛(wèi)表示事件：旅一續(xù)保人本年度的保費高于基本保碧匕則事件擋發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出瞼次數(shù)犬于b故= 0.2 -02 - 0.1 - 0.05 = 0.55.(II )設左表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出旳3則事件喪發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險 次數(shù)大于 4 故(5)-0.1-0.05-0.15.又玫AB)=P,故=.P(X) P(A) 0.5511因此所求概率為11(川)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX = 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20

39、 1.75a 0.10 2a 0.05=1.23a因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23考點：條件概率，隨機變量的分布列、期望【名師點睛】條件概率的求法：P AB(1) 定義法：先求RA)和P(AE)，再由RB|A)=p A，求P(B|A);(2) 基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB，得P(B|A)=門AB.n求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出

40、E(X) 3.【2016 年高考北京理數(shù)】(本小題 13 分)A、B、C 三個班共有 100 名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)；A 班66.577.58B 班6789101112C 班3 4.567.5910.5 1213.5(1)試估計C班的學生人數(shù)；(2)從 A 班和 C 班抽出的學生中，各隨機選取一人，A 班選出的人記為甲， C 班選出的人記為乙，假設所19有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率;（3）再從AB C 三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是這 3 個新數(shù)據(jù)與表格中的

41、數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記叫，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0， 試判斷和 的大小，（結論不要求證明）3【答案】（1）40；（2）；（3）叫：:：.8【解析】試題分析：（I）根據(jù)圖表判斷 C 班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計算C 班的學生人數(shù)；（n）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件，由獨立事件概率公式求概率.（川）根據(jù)平均數(shù)公式進行判斷即可試題解析：（1由題意知，抽出的劄名學生中，來自班的學生有$名，根擔分層抽樣方法，Q 班的學生= 40 （2設事件A為甲是現(xiàn)有樣本中衛(wèi)班的第f個人3心隅6事件為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第/個人”，八夂b由題意可虬F斗2宀$5珂,2 皿P(A.C.)

42、 = P(A)P(C ) 1 x 1 = ?f = L2 .5./ = 12. -.8.設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，E rACA,C2A2C1A2C2AC3A3C1A3C2AC3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4因此P(E)二P(AG) P(AC2)P(A2&) PS2C2) PS2C3) P(A3G)卩(2)卩(2)13P(AtG) P(A4C2) P(A4C3) P(AG) P(AC2)P(AC3)P(AC4)=15 -408(3)根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知,叫0.考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù)【名師點睛】求復雜

43、的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件7, 9，8.25 （單位：小時），20概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式3.21P(A) J -P(A)，即運用逆向思維的方法(正難則反)求解，應用此公式時，一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復或遺漏 .特別是對于含“至多”“至少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便4.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得 3 分；如果只有一個

44、人猜對，則“星隊”得1 分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0(I)“星隊”至少猜對 3 個成語的概率;(n) “星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX223【答案】(I)-(n)分布列見解析，EX二2336【解析】試題分析：(I)找出“星隊”至少猜對3 個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；(n)由題意，隨機變量X的可能取值為 0,123,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解試題解析:(I )記事件 A: “甲第一輪猜對”，記事件 B: “乙第一輪猜對”記事件 C: “甲第二輪猜對”，記事件 D: “乙第二輪猜對”，記事件 E: 星隊至少猜對 3 個成語”.由題意