2010清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

1、2010年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 3 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.21.設(shè)復(fù)數(shù) w-_i，其中 a 為實數(shù).若 w 的實部為 2，則 w 的虛部為（）1 i的體積之比為（）Q 的切線交 x 軸于點 R,則PQR 的面積的最小值是（2.設(shè)向量 a， b 滿足 a b1，a b m，貝 U a tb (tR）的最小值為（3.如果平面，直線 m, n,點 A, B 滿足:A, B ，且 AB 與4.所成的角為，m4AB, n 與 AB 所成的角為在四棱錐 V-ABCD 中,B1, D1分別為側(cè)棱_，那么 m 與 n 所成角的大小為（

2、3VB, VD 的中點，則四面體AB1CD1的體積與四棱錐V-ABCD5.A、1:6B、1:5C、1:4D、1:3在厶ABC中，三邊長 a, b, c 滿足a c3b，則噸tan2 的值為（6.如圖，ABC的兩條高線 AD , BE 交于 H,其外接圓圓心為 O, 過 O 作 OF垂直 BC 于 F ,OH 與 AF 相交于 G .則AOFG與AGAH面積之比為（ ）A、1:4B、1:3C、2:5D、1:27.eax（a0） f x 的交點為 Q,曲線 C 過點2 2 22210.設(shè)定點 A、B、C、D 是以 0 點為中心的正四面體的頂點， 用 的旋轉(zhuǎn)，用 表示空間關(guān)于 OCD 所在平面的鏡面

3、反射，設(shè)示空間以 I 為軸的 180旋轉(zhuǎn).設(shè)o 表示變換的復(fù)合，先作B、 o o o o o C、 o o o o二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.11.(本題滿分 14 分)在厶ABC中，已知 2sin2_A B cos2C 1，外接圓半徑R 2.2(1)求角 C 的大?。?2 )求厶ABC面積的最大值.12.(本小題滿分 14 分)設(shè) A, B, C, D 為拋物線 x24y 上不同的四點，A, D 關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，BC 平行于該拋物線在點 D 處的切線 I 設(shè) D 到直線 AB,直線 AC 的距離分別為 d1, d2，已知 4 d22 AD .(1) 判斷AB

4、C是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由：(2 )若厶ABC的面積為 240,求點 A 的坐標及直線 BC 的方程.13.(本小題滿分 14 分)(1 )正四棱錐的體積 V-，求正四棱錐的表面積的最小值；3(2)一般地，設(shè)正 n 棱錐的體積 V 為定值，試給出不依賴于n 的一個充分必要條件，使得正n 棱錐的表面積取得最小值.14.(本小題滿分 14 分)假定親本總體中三種基因型式：AA , Aa, aa 的比例為u:2v:w(u 0,v 0,w 0,u 2v w 1)且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機的兩個.(1)求子一代中，三種基因型式的比例；(2 )子二代

5、的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由.8.設(shè)雙曲線 Ci:孚 L k(a 2，k 0)，橢圓 C2:篤a 4a1 .若 C2的短軸長與 Cl的實軸長的比值等于 C2的離心率，則 Ci在 C2的一條準線上截得線段的長為A、2 2 一 k9.欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為n 種顏色之一，使得以正六邊形的任何3 個頂點作為頂點的三角形有 3 種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3 色組合，則 n 的最小值為()D、9表示空間以直線 0A，再作 則可以表示為()2 2 2215.(本小題滿分 14 分)設(shè)函數(shù) f(x) -_m，且存在函數(shù) s (t) at b ( t- , a 0),滿足 f( 一_) 口x 12ts(1 )證明