指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)

1、第8講-指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)和募函數(shù)第8講指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和募函數(shù)競(jìng)賽熱點(diǎn)1.指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)yax（a0且a1）叫做指數(shù)函暇。（1）自變量x出現(xiàn)在指數(shù)位置上，函數(shù)定義域是R;（2）常數(shù)a滿足a0且a1；（3）函數(shù)y2?3x,y曰（0.2x1都不是正整數(shù)3指數(shù)函數(shù)2.圖象y logax（a 0且a 1）叫 ax（a 0且a1）的反函對(duì)數(shù)函數(shù)y log、x（a 0且a 1）的定義域?yàn)椋?,）,值值域：（0,）生質(zhì)圖象過(guò)點(diǎn)（0,1）,即當(dāng)x0時(shí)，y1在R士護(hù)增盲在R上減函數(shù)（1）函數(shù)yax和yax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）右圖為四個(gè)指數(shù)函數(shù)yax,ybx,ycx,ydx的圖象,則ab1cd0.3

2、.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)做對(duì)數(shù)函數(shù)；它是相數(shù)函數(shù)y數(shù)。域?yàn)?,).4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義域：(0,)值域：R過(guò)點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)x(0,1)時(shí))y-0當(dāng)x(1,)時(shí)，y0在(0,)上是增函數(shù)當(dāng)x(0,1)時(shí))yo當(dāng)x(1,)時(shí)，y0在(0,)上是減函數(shù)(1)函數(shù)ylogax和ylogx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；a(2)右圖為四個(gè)指數(shù)函數(shù)yloga)象，D解題示范ylogbx,ylogcx,ylogdx的圖ba1dc0.非空,1.若集合AxR|4則實(shí)數(shù)a蔚取植范圍為x(a3)2x50，1x2oA.V,325BV,32J544C.33,32向D.以上答案均不對(duì)思路分析：設(shè)2xy一程在限

3、定區(qū)間有根的問(wèn)題則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方Oy2解令2xy(a3)y5。在區(qū)間從反而考醫(yī)方程在則問(wèn)題轉(zhuǎn)化淡關(guān)于y的方程2,4p2,4:艮勺情花。,考慮至小空5/不四能有咫根均小于2或者大于4的情形，則必有一根大于4,根/J于2,又因?yàn)閒(0)50.故可得f(4)0a33地是方程在2,4內(nèi)有實(shí)根等價(jià)于33 a43 2.5.033a4a30點(diǎn)評(píng)：此題也可以考慮運(yùn)用分離參數(shù)法求解。y2(a3)y50a3于是題設(shè)等價(jià)于a3Z,其中Z為函數(shù)g(y)(2y4)的值域。例2：不等式|xlog2X|x|110g2x|的解集是一思路分析：此題屬于含有絕對(duì)值號(hào)的不等式可以借助于區(qū)間討論的方法求解。若抓住題自的特點(diǎn)，運(yùn)用絕

4、對(duì)值不等式中取到不等式的條代，則可大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。解：當(dāng)x與1og2x異號(hào)時(shí)有|x10g2X|x|110g2X|則必有X0,從而1og2x0,解出0x1.所以不等式的解集為x10x1,xR.尸、弓I申：不等式|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0.例3：已知函數(shù)f(x)2、5,將yf(x)的圖象向右平移兩個(gè)單位得到函數(shù)yg(x)而函數(shù)y h(x)與函數(shù)y g(x)的圖象關(guān)于直線y 1對(duì)稱)求函數(shù)yh(x)的解析式。設(shè)F(x)1f(x)h(x)若已知F(x)的a/最小值是m,且m2,求實(shí)數(shù)a的取值范解：顯然g(x)f(x 2)2x 22*

5、22x 4a42x設(shè)點(diǎn)P(x,h(x)是函數(shù)y h(x)上任意一點(diǎn))點(diǎn) P(x,h(x)關(guān)于y 1的對(duì)稱點(diǎn)是P(x,2 h(x).由于函數(shù) y h(x歷典教y g叱帆整換于直線y 1對(duì)稱，所以 點(diǎn)P在函數(shù)y g(x)的圖象上)也即2 h(x) g(x).所以h(x)2g(x)22-442x于是F(x)-f(x)h(x)(11)2x(4a1)2-aa42x要求m的取值范圍，可以通過(guò)構(gòu)造關(guān)于m的不等式來(lái)獲得解答。若先求出F(x)的最小值，再令其大于2即可。為求F(x)的最小值，注意到F(x)的表達(dá)式形同mt所以可以考慮從m,n(即11和4a1)的正負(fù)入手。a411八(i)當(dāng)a40,即a。，由2x3

6、的值域均為4a102(。，)可得F(x)2.這與F(x)m2行矛盾；.11c,(ii)當(dāng)a7。，即0a時(shí)，F(xiàn)(x)是R上的44a104增函數(shù)，此時(shí)F(x)無(wú)最小值，與題設(shè)矛盾;11八(iii)當(dāng)a40,即a4時(shí)，F(xiàn)(x)是R上的減4a10函數(shù)，此時(shí)F(x)也無(wú)最小值，與題設(shè)矛盾。0,即011所以由(i)(ii)(iii)可得，當(dāng)az4a14時(shí),F(x) 2(av -1x?(4a 1)2x 2(4 a)(4a 1)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1(一a(4a心，即 2x 4aT時(shí)成立.(4力及144可得14a)(4a 1) 7 aa 4解得2a 2.引申：視函數(shù)的解析式為方程，則函數(shù)的圖象即為方程的曲線，于是函數(shù)

7、和解析幾何取得了聯(lián)系。從這個(gè)角度來(lái)講，解析幾何中研究曲線與方程的許多方法可以移植到函數(shù)中，反過(guò)來(lái)，在許多時(shí)候，函數(shù)的知識(shí)也可以指導(dǎo)解析幾何問(wèn)題的解決。涉及函數(shù)f(x)axb(a,bR)的x問(wèn)題曾在高考和競(jìng)賽中多次出現(xiàn)，望能熟練掌握其下述性質(zhì)：當(dāng)a0，b0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(Q總和他0),單調(diào)遞增區(qū)間為a.a(,Jb和出)；當(dāng)a0,b0時(shí))函數(shù)f(x)在(，0)和:a.a(0，)上單調(diào)遞增。本題的第(2)小題也可以從另一個(gè)角度考慮：“F(x-年至小值是m且m2行也就是說(shuō)F(x)2.7恒成立。例4：已知a0且a1,試求使方程loga(xak)log沁2a2)有解的k的取值范圍。解：由

8、對(duì)數(shù)函數(shù)的性弱可如，原方程的解x應(yīng)滿足(xak)2x2a2,xak0,Jx2a20.(T)當(dāng)、同時(shí)成立時(shí)，顯然成立，因此只需聯(lián)立解、即可。由得2kxa(1k2).當(dāng)k0時(shí)，由a0可知無(wú)解，因而原方程無(wú)解。當(dāng)k0時(shí)，的解為x”，2k將代入得汽戶ak.2k當(dāng)k0時(shí)得k21k21綜合可町得.、，一得k(,1)(0：點(diǎn)評(píng)：原方程等價(jià)于k1.0k1.,1)時(shí)原方程有解。xak,x2a2(x2a2)記y2a2在yxak,y2Jx2a2(xa)o則y2是雙曲線,雙曲線上方的部分上其漸近線發(fā)yx,y1是一條在x軸上截距為ak的直線，且平行于雙曲騏的一條選返券，上當(dāng)em北營(yíng)公共點(diǎn)時(shí)愿方程有札力是可以彳曰助于圖象

9、侍知,aka或0aka.由a0待k1或0k1.即當(dāng)k(,1)(Q1)時(shí)原2例5：已知f(x)loga(xx21),學(xué)(1)求出f(x)的反函數(shù)f1(x)；(2)若實(shí)數(shù)滿足f1(1m)f1(1m2)0求m的取值范囹。思路分析：欲求f1(x)需先求出f(x)的定義域和值域；求解不等式f1(1m)f1(1m2)0時(shí)。若能論證出f1(x)為奇函數(shù))并探討由f1(x)的單調(diào)性，則可以擺脫符號(hào)一的束縛。解：(1)由手=7|x|所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽o取值范X2解。1.令u(x)xn則u(x)在(0,)上單調(diào)遞增此時(shí)u(x)的取值范圍為(1,).當(dāng)x(,0)時(shí),x(0,),因此若令tx，則u(x)由t

10、(0,),則t(1,值范圍為(0,1).tt21tJ21.)可知，此時(shí)u(x)的取又X0時(shí),u(x)1,所以函數(shù)u(x)xJx21的值域?yàn)?0,).所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽o再設(shè)yf(x),則ayxvx21kx互為倒數(shù)，可得ayx,所以xl(ayay).所以fYx)-(axax),xR.2(2)首先考察f)的奇偶性與單調(diào)性。任取x如1(x)1(axax)f1(x),所以函數(shù)f1(x)為奇函數(shù)。2任取x1，x2R，且x1x2,則由a1及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知ax1ax2,a國(guó)ax2)所以ax1ax1ax2ax2即f(x1)f%)所以f1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。于是由f1(1m)f1(1m2)。得

11、f1(1m)f1(1m2),即f1(1m)f1(1m2).結(jié)合f1(x)的單調(diào)性可知，上式等價(jià)于1m1m2解得m1或m2.點(diǎn)評(píng)：定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā)。從定義域出發(fā)？利用函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域的常用方法。例6：已知函數(shù)f(x)logaSL(a0,a1),對(duì)定x37義域內(nèi)的任意x都有f(2x)f(2x)0成立。(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若當(dāng)x(b,a)時(shí)，f(x)的取值范圍恰為(1，),求實(shí)數(shù)a，b的值。思路拶析：按照方程的觀點(diǎn)分析，根據(jù)已知條件即可建立關(guān)于m的一元方程，從而求得m.第(2)問(wèn)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)值域的問(wèn)題，可以通過(guò)研究函數(shù)

12、的性質(zhì)來(lái)解決。解：(1)由f(x)loga1m(x2)及f(2x)f(2x)0可得)log a1 m(2 x) 2(2 x) 310g a1 m(2 x) 2(2 x) 3解得m 1)當(dāng) 只有m 1.m 1時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)意義，所以(2)當(dāng)m1時(shí)，f(x)loga一，其定義域?yàn)閤3(,1)(3)。所以(b,a)(,1)或(b,a)(3,).若(b,a)(3,)則3ba.任取X1,X2(3,),且X1X2X11X213(X2X1)0,又因?yàn)閍1,x13x23(X13)(x23)loga-Xlloga*-1,即f(x1)fg.所以當(dāng)(b,a)(3,)f(x)X13X23在(3,)上單調(diào)遞減。由題

13、可知，當(dāng)x(b,a)時(shí)，f(x)的取值范圍恰為(1,)所以必互b3且f(a)1,解得a2石(因?yàn)閍3所以a2Q舍去)。若(b,a)(,1),則ba1.又由于,a0,a1所以0a1.此時(shí)，同上可證f(x)在(，1)上一單調(diào)遞增(證明過(guò)程略)二1所以f(x)在(b,a)上的取值范圍應(yīng)為(f(b),f(a),而f(a)為常約故f(x)的取值范圍不可能恰為(1,).所以在這種情況下a,b”上所述，符號(hào)題意的實(shí)數(shù)a,b的值為a23,b3.點(diǎn)評(píng)：本題(2)中，充分地運(yùn)用了已知條件，從而減少了分類討論的次數(shù)。例7：設(shè)f(x)lg)一皿3其中a是實(shí)n7數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)，且n2.(1)如果值范圍；(2)

14、如果立。f(x)當(dāng)x(,1時(shí)有意義)求a的取a(0,1)求證：2f(x)f(2x)當(dāng)x。時(shí)成12x解:3x即a(1)f(x)當(dāng)(n1)x1x()xnnxa02xxnx(xn(-n(,1時(shí)有意義的條件是1,n2).-)x(x1).數(shù),(1)n12xnxa2因?yàn)樗詋(與x(k1,2,3,n1x2(一)x(-)nn從而它在(2)x(U)Xnn，n1)在(，1上都是增函數(shù),(U)x在(，1上也都是增函n時(shí)取得最大值，1因此式等價(jià)于a-.2也就是a的取值范圍為a|a*.(2)證法一因?yàn)?f(x)f(2x)(0a3x(n1)xn122x32x(n1)2xn2xa(0a1,x0).現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明該不

15、等式:1,x(i)當(dāng)(12xa)212?2xa22xa5jz=fa1,x0n2時(shí))若0a1,22(122xa2)2(122xa)(12x)212?2x22x2(122x)2(122x).因而當(dāng)n2時(shí)，原不等式成立。(ii)假設(shè)12x3x(k1)xk122x32x(k1)Jk(k2)時(shí)，不等式成立，即有kxa22f(x)12x32x那么當(dāng)a12x3x(12xk(122xk(122x2?k2(k3x32x2xk2xa(0a1.x0)(0,1kx32x1)xa時(shí),(k1)xa2kx)22(12x(kk2x)2(12k2x)2?1(k1)2xa23xx3x1)xakx)(k1)xa(k1)2xa2kx

16、)(k1)xa(k2?2x(k1)xa1)2xa2k(1k222x(k32x1)2xa2k2x)1(k(k1)2xa21)2xa222x(k1)2xa2(k(k1)11)12x2x2x2x2x2x(k(k1)2xa21)2xa.時(shí)，原不等式也成立。綜合(可知，對(duì)任何n2(nN),即是說(shuō)nk1f(2x)(0a1,x0).證法二證明當(dāng)n2都有3x(n1)：因?yàn)?a12(a12(a2n(a2(n1)xnxa22x(a1a2n2xa(0a2a2)a2)a2)a2n11,x22x0).an)22(a1a2a2a3(ala2)國(guó)a2)(a2a2).(ai2a2)aa32)n1an)(a1an)(a21a2

17、)式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)利用上面結(jié)果可知,所以若12若x3xa1(n1)xnx212x3x(n1)2xa(01)(n1)xnxa2n2xa2n122xa1a2當(dāng)n122x則即有2f(x)f(2x)(0a1,x0).an時(shí)成立。a(0,1,x0時(shí))因?yàn)?2x(n1)2xn2x.a2a,所以n122x32x32x(n1)2xn2xa.思路分析:借 口.日先脫掉對(duì)數(shù)符號(hào)；轉(zhuǎn)化為整式不等黃7而 于高次不等式則可以借助于分解因式進(jìn)行降洌8：解不等式：log2（x123x105x83x61）1log2（x41）.次。、解法一由1log2（x41）log2（2x42）且log2y在（。，）上為增函數(shù)，故原不等式等

18、價(jià)一地x123x1。5x83x612x42.即x123x1。5x83x62x410分組分解x12x10x82x1。2x64x84x64x4x6x4x2x4x21。）即（x82x64x4x21）（x4x21）。所以x，x21。，即3）收3）。22,所以x2號(hào)，即xJ二三或x口塞.故原不等式解集為,521:521,.解法一.由1log2（x41）log2（2x42）且log2y在（。，）上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于x123x105x83x612x42.即與4x63x43x212x22（x21）32（x21）xx即（g22（；）（x21）32（x21）.xx令g（t）t32t則不等式變?yōu)間（三）g（

19、x21）x顯然g(t)t32t在R上為增函數(shù))因此上面不等式等價(jià)于二x21,x即(x2)2 x2 1 0,解得. 5 1, /x號(hào)舍去）,故原不等式解集為（_5_12).能力測(cè)試能力測(cè)試1. 2005年1月6日凌晨零時(shí)02分中國(guó) 第13億名公民一一張亦馳茬北京市婦產(chǎn)醫(yī)院誕生。就在10年前的1995年年初，中國(guó)第12 億名公民一一趙旭也在北京市婦產(chǎn)醫(yī)院誕生 如果中國(guó)人口繼續(xù)按照此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么 等張亦馳30歲時(shí)中國(guó)人口數(shù)將最接近于（A. 16.05 億 B. 14.97 億 C. 16.23 億D. 17.32 彳乙112 設(shè) x 2006.2006 .(“E x)n的值為()A . 200

20、6 1 B ,2006 1為正整數(shù)），那么C. ( 1)n2006D . ( 1)n2006 13 . 給定A k N | aa2 ak k,1 k和為()A. 2026D. 1003anlogn 1(n2006 )2）,定義集合 集合a中的所有元素之B. 1013 C. 40524 .當(dāng)0 a 1時(shí)）方程logax ax的實(shí)數(shù)解（）A.有且只有一個(gè)B,可能無(wú)解C.、可能有3個(gè) D. 一定有3個(gè)5,設(shè) x 1,y 1,S minlog x2,log2 y,logy8x2,則 S 的最大 值為（）A.2B3C4D.56.若(log23)x(log53)x(log23)y(log53)y,貝U()A.xy0B.xy0C.xy0D.xy07.不等式Jlog2x1Jlogix320的解集為22O8 .已知函數(shù)f(x)ax3a(a0,a1)的反函數(shù)是yf、1(x)且函數(shù)yg(x)電gB象與函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱。右函數(shù)F(x)f1(x)g(x)在xa2，a3上有意義,則a的取值范圍為o9 .設(shè)P:函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，Q:不等式x|x2c|1的罐車為Ro如果P和Q有且僅有一個(gè)正題，則正數(shù)c的取值范圍為、一。10 .方程log5(3x4x)log4(5x3x)的解集為O11.方程(lgx)lgxx的解集為。12.若關(guān)于x的方程令鼠有