不等式知識點總結

1、不等式知識點總結知識點：1. (1)假設 a,b“=2. (1)R,貝a2 b22ab (2)假設a,bR,那么 ab當且僅當a b時取假設a,bR,那么寫面假設a,b R,那么a b2屆當且僅當a假設a,b2嚇當且僅當23.假設x1x1x1x x2 當且僅當x 1時取"=2當且僅當-2 當且僅當a0,那么2 當且僅當當且僅當a b時取"=5.假設 a, b R,22那么史上2當且僅當22注息: 當兩個正數的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數的和為定植時,可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積 最大.2求最值的條件“一正,二定,三取等3均值定理在求最

2、值、比擬大小、求變量的取值范圍、證實不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例：求以下函數的值域(1) y = 3x 2 +2x 21解：(1)y = 3x 2+ 一2x 21當x V 0時,-2 U 2 , +8)技巧一：湊項1當x>0時,y = x+ x解題技巧例x 4,求函數y 4x解：因4x 5°,1 的最大值.4x 5所以首先要“調整符號,又(4x行拆、湊項,4x0,1y 4x 2 4x 515 4x 5 4x當且僅當5 4x土即x 1時,技巧二：湊系數x = 2 值域為(00,x2)C 不是常數,所以對4x 2要進上式等號成立,故當x 1時,ymax 1.

3、例：當時,解析：由為兩個式子積的形式,但其和不是定值.注意到2x (8 湊上一個系數即可.求y x(8 2x)的最大值.s*知,8-如邪|,利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題2x) 8為定值,故只需將y x(8 2x)尹"忒8一眼)=:由.(8 -由) <+2" . S當= ,即x = 2時取等號當x= 2時,y x(82x)的最大值為8.變式：設0 x2,求函數y 4x(3 2x)的最大值.解：.x4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2c2x32x92 -22當且僅當2x 3 2x,即0修時等號成立.技巧三：別離換元例：求y x2 7x 10 (x

4、 1)的值域. x 1解析一：此題看似無法運用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有 x + 1的項,再將 其別離.J3 -H7J + 10 了十1尸十5五十n十44 qV = =O 十 1 +* 5x 十 1x 十 1x 1當燈-1,即"1.時,y 2x 15 9 當且僅當x = 1時取"=號.解析二：此題看似無法運用均值不等式,可先換元,令t=X + 1,化簡原式在別離求最值.t 12 7t 1+10 t2 5t 4 , 4 ly = t - 5ttt當燈T,即t=x+l邪時,y 2擴 5 9 當t=2即X= 1時取"=號.技巧五：在應用最值定理求最值時,假設遇等

5、號取不到的情況,結合函數fx x三的單調x性.例：求函數y 5的值域.解：令 Jx2 4 tt 2,貝J y x2 5 x2 4t 1t 2x2 4 t因t 0,t ； 1,但t ；解得t 1不在區(qū)間2,故等號不成立,考慮單調性.由于y t 1在區(qū)間1,單調遞增,所以在其子區(qū)間2, 為單調遞增函數,故y 5.所以,所求函數的值域為 5,. 2技巧六：整體代換“1的應用屢次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否那么就會出錯.例：x 0, y 0 ,且x9 1, y求x y的最小值.錯解:Q x 0, y 0 ,且-. .xx y 2巨2習12 故 xyX ¥ min12

6、.錯因：解法中兩次連用均值不等式,在x y 2jxy等號成立條件是x y ,在-2但等 x y' . xy號成立條件是19即y 9x,取等號的條件的不一致,產生錯誤.因此,在利用均值不等 x y式處理問題時,列出等號成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法.6 10 16正解：Qx 0,y 0,1 x當且僅當絲時,y上式等號成立,又1,可得X4, y 12 時,x y min 16.技巧七例：X,2 y為正實數,且x 2 + y2分析：因條件和結論分別是二次和一次,故采用公式ab<ox1 + y 2同時還應化簡勺1 + y 2中y2前面的系數為34技巧八:即 1

7、 + y 2 =* x1a, b為正頭規(guī)2b+ab+ a= 3.,求函數v= ab的取小值.是通過消元,轉化為一元函分析：這是一個二元函數的最值問題,通常有兩個途徑, 數問題,再用單調性或根本不等式求解,對此題來說,這種途徑是可行的；二是直接用 根本不等式,對此題來說,因條件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位 求出最值,考慮用根本不等式放縮后,再通過解不等式的途徑進行.30 2b法 ': a=.,b + 130 2b ab =b +1-2 b 2 + 30b2(t + E )+34 t + / tt16L t由 a>0 得,0 v b v 152t 2 + 34t 31令

8、 t = b+1 , 1 v t v 16 , ab = =81 ab<18y>私 當且僅當t = 4,即b = 3, a = 6時,等號成立.法二：由得：30 ab = a+ 2b . a+ 2b >2.2 ab . . 30 ab >/2 ab 令 u = yfib那么 u2 + 22 u 30<0, 5毒 <u<2./aT <3* , ab < 18, . .y = 18點評：此題考查不等式 號 施(a,b R)的應用、不等式的解法及運算水平；如何 由不等式ab a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍,關鍵是尋找到a b與a

9、b之間的關 系,由此想到不等式 甘(a,b R ),這樣將條件轉換為含ab的不等式,進而解得ab的范圍.例：求函數y V2x 1 J5 2x(1 x 5)的最大值. 22解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值.y2 (J2x 1 J5 2x)2 4 2j(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8 又 y 0,所以 0 y 242 當且僅當2x 1= 5 2x,即x 3時取等號. 故ymax 2血.22 例： a、b、c R,且 a b c 1.求證：1 1 1 1 - 18a b c分析：不等式右邊數字8,使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2連乘,又1 1 W J遠,可由此變形入手. a a a a解：Qa、b、c R , a b c 1.1 1族卜些.同理1 1匹,1 1痊.a a a ab b c c上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得1 1 1 1 1 1 迪瘁淳 8.當且僅當a b c 1時取等號.a b c a b c33例：x 0, y 0且1 - 1 ,求使不等式x y m恒成立的實數m的取值范圍 x y解：令 x y k,x 0,y 0,191 , 口次旦1. 10業(yè)絲1xykx kykkx ky,10 c 31 2 -kk4例：假設a. k 16 , m,16