2017-2018中考壓軸題匯編5因動點產(chǎn)生的梯形問題

1、2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)1 / 151.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題例12018年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24題如圖 1,在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x 軸交于點 A( 1,0)和點 B(3, 0),D 為拋物線的頂點，直線 AC 與拋物線交于點 C(5, 6).(1) 求拋物線的解析式；(2) 點 E 在 x 軸上，且 AEC 和厶 AED 相似，求點 E 的坐標；(3)若直角坐標系平面中的點F 和點 A、 C、 D 構(gòu)成直角梯形，且面積為 16,試求點 F 的坐標.2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題

2、(含答案)2 / 15例 2 2018 年上海市金山區(qū)中考模擬第24 題如圖 1,在平面直角坐標系中，直線 y= x+ 2 與 x 軸交于點 A，點 B 是這條直線上第一象限內(nèi)的一個點，過點 B 作 x 軸的垂線，垂足為 D，已知 ABD 的面積為 18.(1) 求點 B 的坐標；1(2) 如果拋物線y x2bX C經(jīng)過點 A 和點 B，求拋物線的解析式；(3)已知(2)中的拋物線與 y 軸相交于點 C,該拋物線對稱軸與 x 軸交于點 H, P 是 拋物線對稱軸上的一點，過點 P 作 PQ/AC 交 x 軸于點 Q,如果點 Q 在線段 AH 上，且 AQ =CP，求點 P 的坐標.2017-2

3、018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)3 / 15例 32018 年上海市松江區(qū)中考模擬第24 題已知直線 y= 3x 3 分別與 x 軸、y 軸交于點 A, B,拋物線 y= ax2+ 2x+ c 經(jīng)過點 A, B.(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)記該拋物線的對稱軸為直線I，點 B 關(guān)于直線 I 的對稱點為C,若點 D 在 y 軸的正半軸上，且四邊形 ABCD 為梯形.1求點 D 的坐標；2將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P,其對稱軸與直線.才；y= 3x 3 交于點 E,若tan NDPE =3，求四邊形 BDEP 的面

4、積.7圖 12017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)4 / 15例 42017 年衢州市中考第 24 題Rt AOB 和 Rt COD 方別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD 在 x 軸上.已知點 A(1 , 2)，過 A、C 兩點的直線分別交 x 軸、y 軸于點 E、F.拋 物線 y= ax2+ bx+ c 經(jīng)過 O、A、C 三點.(1) 求該拋物線的函數(shù)解析式；(2) 點 P 為線段 OC 上的一個動點，過點 P 作 y 軸的平行線交拋物線于 點 M，交 x軸于點 N,問是否存在這樣的點 P,使得四邊形 ABPM 為等腰 梯形？若存在，求出此時點

5、 P 的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(點 A 始終在線段 AC 上，且不與點 C 重合)，AOB 在平移的過程中與 COD 重疊部分的面積記為 S.試探究 S 是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.如圖 1，把兩個全等的2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題（含答案）5 / 152017 年義烏市中考第 24 題已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 點 P,與 x 軸的另一交點為點求二次函數(shù)的解析式及頂點 P 的坐標；如圖 1，在直線 y= 2x 上是否存在點 D，使四邊形 OPBD 為等腰梯形？若存在，的坐標；若

6、不存在，請說明理由；如圖 2,點 M 是線段 OP 上的一個動點（O、P 兩點除外），以每秒 2 個單位長度 的速度由點 P 向點 O 運動，過點 M 作直線 MN/X 軸，交 PB 于點 N.將厶 PMN 沿直線 MN 對折，得到 P1MN .在動點 M 的運動過程中，設(shè) P1MN 與梯形 OMNB 的重疊部分的面 積為 S,運動時間為 t 秒，求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式.A （2, 0）、C（0, 12）兩點，且對稱軸為直線 x= 4，設(shè)頂點為B.（1）（2）求出點 D（3）2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)圖 2圖 36 / 151.5 因

7、動點產(chǎn)生的梯形問題例12018年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24題如圖 1,在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x 軸交于點 A( 1,0)和點 B(3, 0),D 為拋物線的頂點，直線 AC 與拋物線交于點 C(5, 6).(1) 求拋物線的解析式；(2) 點 E 在 x 軸上，且 AEC 和厶 AED 相似，求點 E 的坐標；(3)若直角坐標系平面中的點F 和點 A、C、D 構(gòu)成直角梯形，且面積為 16,試求點 F 的坐標.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 15 徐匯 24”，拖動點 E 在 x 軸上運動，可以體驗到，直線CA和直線 DA 與 x 軸的夾角都是 45,ACAEEAD 存在兩種情況

8、.思路點撥1.由 A、C、D 三點的坐標，可以得到直線 CA、直線 DA 與 x 軸的夾角都是 45，因 此點 E不論在點 A 的左側(cè)還是右側(cè)， 都有/ CAE =ZDAE .因此討論厶 AEC 和厶 AED 相似, 要分兩種情況每種情況又要討論對應(yīng)邊的關(guān)系.2 因為/ CAD 是直角，所以直角梯形存在兩種情況.滿分解答(1)如圖 1，因為拋物線與 x 軸交于點 A( 1,0)和點 B(3, 0)，設(shè) y= a(x+ 1)(x 3). 將點 C(5,6)代入 y = a(x+ 1)(x 3),得 12a = 6.1113解得a.所以拋物線的解析式為y (x，1)(x-3) x -x-222 2

9、131(2)由yx2-x(X -1)2-2，得頂點 D 的坐標為(1, 2).2222017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)圖 6圖77 / 15因此不論點 E 在點 A 的左側(cè)還是右側(cè)，都有/CAE=ZDAE.由 A(1,0)、C(5, 6)、D(1, 2)，得/ CAO = 45, / DAO = 45, AC=62, AD =22.2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)圖 6圖87 / 15如果 CAEDAE,那么它們?nèi)?，這是不可能的.如圖 2,圖 3，如果 CAEEAD，那么 AE2= AC AD =6.

10、22 . 2=24.所以 AE =26所以點 E 的坐標為(一2.6 -1,0)，或(2.6 -1,0).(3) 因為/ CAD = 90 ，因此直角梯形存在兩種情況.11如圖 4，當(dāng) DF/AC 時，由S (DF AC) AD =16，得一(DF 6.2) 2、2 =16.22解得 DF =2 J2.此時 F、D 兩點間的水平距離、豎直距離都是2,所以 F(3,0).如圖 5，當(dāng) CF/AD 時，由S=(CF AD) AC =16，得-(CF 2、2) 6 . 2=16.2 2考點伸展17 16(齊)2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)圖 6圖97

11、/ 15如果第(3)題改為：點 那么就要分三種情況討論了.4, 當(dāng) DF/AC 時,如圖如圖解得如圖解得F 在拋物線上，點 F 和點 A、C、D 構(gòu)成梯形,點 F 就是點 B(3, 0).FH = CH .設(shè) F(xx2-x2x= 5 .此時點 F 的坐標為(5,16).6,當(dāng) CF/AD 時,7, 當(dāng) AF/CD 時，-FMAMx= 7.此時點 F 的坐標為= -CN.所以DN(7,16).1；(x恥-3)84求點 F 的坐標,2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)10 / 15例 2 2018 年上海市金山區(qū)中考模擬第24 題如圖 1,在平面直角坐標

12、系中，直線 y= x+ 2 與 x 軸交于點 A，點 B 是這條直線上第一 象限內(nèi)的一個點，過點 B 作 x 軸的垂線，垂足為 D，已知 ABD 的面積為 18.(1) 求點 B 的坐標；1(2) 如果拋物線y x2bX C經(jīng)過點 A 和點 B，求拋物線的解析式；(3)已知(2)中的拋物線與 y 軸相交于點 C,該拋物線對稱軸與 x 軸交于點 H, P 是 拋物線對稱軸上的一點，過點 P 作 PQ/AC 交 x 軸于點 Q,如果點 Q 在線段 AH 上，且 AQ =CP，求點 P 的坐標.動感體驗況，四邊形 CAQP 為平行四邊形或等腰梯形.思路點撥ABD 是等腰直角三角形，根據(jù)面積可以求得直

13、角邊長，得到點B 的坐標.2. AQ = CP 有兩種情況，四邊形 CAQP 為平行四邊形或等腰梯形.平行四邊形的情況很簡單，等腰梯形求點P 比較復(fù)雜，于是我們要想起這樣一個經(jīng)驗:平行于等腰三角形底邊的直線截兩腰，得到一個等腰梯形和一個等腰三角形.滿分解答(1) 直線 y= x+ 2 與 x 軸的夾角為 45,點 A 的坐標為(一 2, 0). 因為 ABD 是等腰直角三角形，面積為 18,所以直角邊長為 6. 因此 OD = 4 .所以點 B 的坐標為(4, 6).(2) 將 A(-2, 0)、B (4, 6)代入y =-x2bx c,2 - 2b c = 0,得解得 b = 2,-8 4b

14、 c=6.c= 6.所以拋物線的解析式為y二12x 2x 6.2請打開幾何畫板文件名“14 金山 24”，拖動點 P 運動，可以體驗到,AQ= CP 有兩種情2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)11 / 15(3) 由-r2 2x 6，得拋物線的對稱軸為直線x=2，點 C 的坐標為(o,6)- 如果 AQ = CP，那么有兩種情況：1如圖 2，當(dāng)四邊形 CAQP 是平行四邊形時，AQ/CP，此時點 P 的坐標為(2, 6).2如圖 3,當(dāng)四邊形 CAQP 是等腰梯形時，作 AC 的垂直平分線交 x 軸于點 F，那么點 P 在 FC上.設(shè)點 F 的坐標為

15、(x, 0),根據(jù) FA2= FC2列方程，得(x+ 2 產(chǎn)=x2+ 62.解得 x= 8.所以 OF = 8, HF = 6.考點伸展第(3)題等腰梯形 CAQP時， 求點P的坐標也可以這樣思考: 過點P作PE/x軸交 AC 于 E,那么 PE= PC.直線 AC 的解析式為 y= 3x+ 6,設(shè) E(m, 3m+ 6),那么 P(2, 3m+ 6).根據(jù) PE2= PC2列方程，得(2 - m)2= 22+ (3m)2.解得m = -1.所以 P(2,9).2 2其實第(3)題還有一個“一石二鳥”的方法：設(shè) QH = n,那么 AQ = 4- n, PH = 3n, P(2, 3n ).根

16、據(jù) AQ2= CP2，列方程，得.(4- n)2= 22+ (3n 6)2.整理，得 2n2- 7n-6 = 0.解得 m= 2, n-.2當(dāng) n1= 2 時，P(2, 6)，對應(yīng)平行四邊形 CAQP (如圖 2);39當(dāng)n2=3時，P(2,9)，對應(yīng)等腰梯形 CAQP (如圖 4).39PH =HF tan. F =6此時點因此圖 32017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)12 / 15例 32018 年上海市松江區(qū)中考模擬第24 題已知直線 y= 3x 3 分別與 x 軸、y 軸交于點 A, B,拋物線 y= ax2+ 2x+ c 經(jīng)過點 A, B.(

17、1) 求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)記該拋物線的對稱軸為直線I，點 B 關(guān)于直線 I 的對稱點為 C, 若點 D 在 y 軸的正半軸上，且四邊形 ABCD 為梯形.1求點 D 的坐標；2將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P,其對稱軸與直線. 才：y= 3x 3 交于點 E,若tan NDPE=3，求四邊形 BDEP 的面積.7圖 1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12 松江 24”，拖動點 P 向右運動，可以體驗到，D、P 間的垂直距離等于 7 保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等.請打開超級畫板文件名“ 12 松江 24”，拖動點 P 向右運動，可

18、以體驗到， D、P 間的 垂直距離等于 7 保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等，tan. DPE 0.43，四邊形 BDEP 的面積為 24.思路點撥1.這道題的最大障礙是畫圖，A、 B、 C、 D 四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出， 畫出對稱軸就可以了.2.拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P 兩點間的垂直距離等于 7.3.已知/DPE 的正切值中的 7 的幾何意義就是 D、P 兩點間的垂直距離等于7,那么點 P 向右平移到直線 x= 3 時，就停止平移.滿分解答(1) 直線 y= 3x 3 與 x 軸的交點為 A(1, 0)，與 y 軸的交點為 B(0, 3)

19、.將 A(1, 0)、B(0, 3)分別代入 y= ax2+ 2x+ c,得a 2 C=0解得心|c二-3.c二3.所以拋物線的表達式為 y = x2+ 2x 3.對稱軸為直線 x= 1,頂點為(一 1, 4).(2) 如圖 2,點 B 關(guān)于直線 l 的對稱點 C 的坐標為(一 2, 3).因為 CD/AB，設(shè)直線 CD 的解析式為 y= 3x+ b, 代入點 C( 2, 3)，可得 b = 3.所以點 D 的坐標為(0, 3).過點 P 作 PH 丄 y 軸，垂足為 H，那么/ PDH = / DPE .由tan DPE，得 tan PDH =-PH 3.7DH 7而 DH = 7,所以 P

20、H = 3 .因此點 E 的坐標為(3, 6).2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)13 / 15考點伸展第（2）用幾何法求點 D 的坐標更簡便: 因為 CD/AB，所以/ CDB=ZABO .因此.所以 BD = 3BC = 6, OD= 3.因此 D (0, 3).BD OB 3所以 S梯形BDEP2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)14 / 15例 42017 年衢州市中考第 24 題Rt AOB 和 Rt COD 方別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD 在 x 軸上.已知點 A(1 , 2)，過

21、A、C 兩點的直線分別交 x 軸、y 軸于點 E、F.拋 物線 y= ax2+ bx+ c 經(jīng)過 O、A、C 三點.(1) 求該拋物線的函數(shù)解析式；(2) 點 P 為線段 OC 上的一個動點，過點 P 作 y 軸的平行線交拋物線于 點 M，交 x軸于點 N,問是否存在這樣的點 P,使得四邊形 ABPM 為等腰 梯形？若存在，求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(點 A 始終在線段 AC 上，且不與點 C 重合)，AOB 在平移的過程中與 COD 重疊部分的面積記為 S.試探究 S 是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.動

22、感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12 衢州 24”，拖動點 P 在線段 OC 上運動，可以體驗到，在 AB 的左側(cè)，存在等腰梯形 ABPM .拖動點 A 在線段 AC 上運動，可以體驗到，Rt AOB、RtACOD、Rt A HG、Rt OEK、Rt OFG 和 Rt EHK 的兩條直角邊的比都為1 : 2 .請打開超級畫板文件名“ 12 衢州 24 ”，拖動點 P 在線段 OC 上運動，可以體驗到，在AB 的左側(cè)，存在 AM = BP .拖動點 A 在線段 AC 上運動，發(fā)現(xiàn) S 最大值為 0.375.思路點撥1.如果四邊形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割

23、為 一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB 邊分成的 3 小段，兩側(cè)的線段長線段.2.AAOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補得到，即 OFG 減去 OEH .3. 求 OEH 的面積時，如果構(gòu)造底邊 OH 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角邊的比為1 : 2.4.設(shè)點 A 移動的水平距離為 m,那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m 表示.滿分解答(1 )將 A(1, 2)、O(0, 0)、C(2, 1)分別代入 y = ax2+ bx + c,Ja b c =2,得gc =0解得 a = ,b =,c=0.所以y = 3 x2x.I 22224a 2b c

24、=1.(2)如圖 2，過點 P、M 分別作梯形 ABPM 的高 PP、MM、如果梯形 ABPM 是等腰 梯形，那如圖 1，把兩個全等的2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)15 / 15么 AM = BP、因此 yA y M = yP yB.直線OC的解析式為y x，設(shè)點 P 的坐標為(x,丄x)，那么 M (x, -3x2x).22 2 22017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)16 / 15解方程2_(_|八討，得心,x-2.(3)如圖 3, AOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，作 EK 丄

25、OD 于 K. 設(shè)點 A移動的水平距離為 m,那么 OG = 1 + m, GB = m.111在RtOFG中，F(xiàn)G = OG = (1 m)所以SOFG= (1 m)2224在 Rt AHG 中，A G= 2 m,所以HG=丄AG=丄(2 -m) =1 m2 2 2所以O(shè)H =OG HG =(1 m) -(1m) =3m2 2OK = 2 EK; 在 RtAEHK4 3 c m =2m.3 213EKm221S=S.OFG_SOEH-4(1 m)i0vmv1,所以當(dāng)m=Z時，S 取得最大值，2在 Rt OEK 中，4OK OH31因此所以因為所以EK中，EK = 2HK ;=-OK=m .2

26、所以 OK = 4HK.SOEH=2OH321m m4232m二4mi2最大值為考點伸展第(3)題也可以這樣來解：設(shè)點A 的橫坐標為 a.由直線 AC: y= x+ 3, 可得 A(a, a+ 3).由直線 OC:y=lx，可得F(a,1a).由直線 OA: y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直線 OA： y= 2x 3a + 3,H(亙弓0) 2由直線 OC 和直線 O A 可求得交點 E(2a 2, a 1).由 E、F、G、H 4 個點的坐標，可得2017-2018 人教版中考壓軸題匯編1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)17 / 152017-2018 人教版中考壓軸題匯編

27、1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題(含答案)18 / 15例 52017 年義烏市中考第 24 題已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 點 P,與 x 軸的另一交點為點A (2, 0)、C(0, 12)兩點，且對稱軸為直線x= 4，設(shè)頂點為B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；(2) 如圖 1，在直線 y= 2x 上是否存在點 D，使四邊形 OPBD 為等腰梯形？若存在， 求出點 D的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 如圖 2,點 M 是線段 OP 上的一個動點(O、P 兩點除外)，以每秒 2 個單位長度 的速度由點P 向點 O 運動，過點 M 作直線 MN/X 軸，交 PB 于點 N.將厶 PMN 沿直線 MN 對折，得到 P1MN .在動點 M 的運動過程中，設(shè) P1MN 與梯形 OMNB 的重疊部分的面 積為 S,運動時間為 t 秒，求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 11 義烏 24” ,拖動點 M 從 P 向 O 運動，可以體驗到，M 在到 達 PO的中點前，重疊部分是三角形；經(jīng)過中點以后，重疊部分是梯形.思路