北京理工大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、實(shí)驗(yàn)5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.掌握拉普拉斯變換及其反變換的定義，并掌握MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。2.學(xué)習(xí)和掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的定義及復(fù)頻域分析方法。3.掌握系統(tǒng)零極點(diǎn)的定義，加深理解系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。1、實(shí)驗(yàn)原理與方法1.拉普拉斯變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換定義為X(s)二i-x(t)eAtdt.(1)在MATLAB中，可以采用符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱的laplace函數(shù)和ilaplace函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反拉氏變換。L=laplace(F)符號(hào)表達(dá)式F的拉氏變換，F(xiàn)中時(shí)間變量為t，返回變量為s的結(jié)果表達(dá)式。L=laplace(F,t)用t替換結(jié)果中的變量s。F

2、=ilaplace(L)以s為變量的符號(hào)表達(dá)式L的拉氏反變換，返回時(shí)間變量為t的結(jié)果表達(dá)式。F=ilaplace(L,x)用x替換結(jié)果中的變量t。除了上述ilaplace函數(shù)，還可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆變換，具體原理如下:當(dāng)X (s)為有理分式時(shí)，它可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比：x(s)罟小 :皿汀飛D(s) aNS七心+a . (3)式(3)可以用部分分式法展成一下形式S-p1SP2SPN通過(guò)查常用拉普拉斯變換對(duì)，可以由式(1-2 )求得拉普拉斯逆變換。禾U用MATLAB的residue函數(shù)可以將X (s)展成式(1-2 )所示的部分分式展開(kāi)式，該函 數(shù)的 調(diào)用格式為：拉普拉斯反變換定

3、義為x(t)1st.X(s)e ds2加0aX(s)旦r2rNr,p,k = residue(b,a)其中b、a為分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，r、p、k分別為上述展開(kāi)式中的部分分式系數(shù)、極點(diǎn)和直項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)。2.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換H (s)二：h(t)edt. (5)此外，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換之比得到H (s) = (s)/X(s). (6)單位沖激響應(yīng)h(t)反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)，而H(s)從復(fù)頻域反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。由式(6)描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為s的有理函數(shù)bMsMH(s)二aN3.

4、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的零點(diǎn)是指式(7 )的分子多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，極點(diǎn)指使分母多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，零點(diǎn)使系統(tǒng)的值為零，極點(diǎn)使系統(tǒng)函數(shù)的值無(wú)窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)繪在s平面上，零點(diǎn)用門(mén)表示，極點(diǎn)用表示，這樣得到的圖形稱(chēng)為零極點(diǎn)的分布圖。由零極點(diǎn)的定義可知，零點(diǎn)和極點(diǎn)分別指式(7)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的根。利用MATLAB求多項(xiàng)式的根可以通過(guò)函數(shù)roots來(lái)實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r二roots(c) c為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值r為多項(xiàng)式的根向量。分別對(duì)式(7 )的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式求根即可得到零極點(diǎn)。此外，在MATLAB中還提供了更簡(jiǎn)便的方法來(lái)求取零極點(diǎn)和繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分

5、布圖，即利用pzmap函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。p,z=pzmap(sys)這種調(diào)用方法返回極點(diǎn)和零點(diǎn)，而不繪出零極點(diǎn)分布圖。其中sys為系統(tǒng)傳函模型，由t命令sys=tf(b,a)實(shí)現(xiàn)，b、a為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。MATLAB ?為用戶(hù)提供了兩個(gè)專(zhuān)用函數(shù)tf2zp和zp2tf來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換，其調(diào)用格式為:其中b、a為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值z(mì)為零點(diǎn)列向量，p為極點(diǎn)列向量，k為系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)形式的增益。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1)已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t) =

6、u(t) -u(t -2)，輸入信號(hào)x(t)二u(t)，是采用復(fù)頻域的方法求解系統(tǒng)的響應(yīng)，編寫(xiě)MATLAE程序?qū)崿F(xiàn)。使用卷積定理求解，先分別求h(t)和X(t)的拉氏變換H(S)和X(s)然后根據(jù)式(6)求出輸出Y(s) =H(s)X(s)，最后對(duì)Y(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。MATLAB程序如下：syms t;h=heaviside(t)-heaviside(t-2);x=heaviside(t);H=laplace(h);X=laplace(x);F=X.*H;f=ilaplace(F); f=ilaplace(F) t - heaviside(t - 2)*(t - 2)

7、故系統(tǒng)響應(yīng)為y(t)=t-(t-2)u(t-2)(2)已知因果連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下，試采用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)分布圖求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)和頻率響應(yīng)H (),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。H(s)_ s32s22s 1MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下a = 1 2 2 1;b = 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = residue(b,a);syms sH = 1/(sA3+2*sA2+2*S+1);h = ilaplace(H); impulse(sys);b = 1;a = 1 2 2 1;H,w = freqs(b,a); subplot(2,1,

8、1); plot(w,abs(H); xlabel(omega(rad/s); ylabel(Mag nitude);title(|H(jomega)|);grid on;subplot(2,1,2); plot(w,a ngle(H); xlabel(omega(rad/s); ylabel(Phase);title(phi(omega);grid on;p=-1.0000-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660iEmpty matrix: O-by-1r =1.0000 + 0.0000i-0.5000 - 0.2887i-0.5000 + 0.2887iP =-

9、1.0000 + 0.0000i-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i k =由此得到/、1丄一0.50.2887j丄一0.5+0.2887jH (s)=s+1 s+0.5-0.866 js + 0.5+0.866 j依據(jù)基本拉式變換對(duì)可以得到系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，極點(diǎn)為系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖p=-1,-0.50.866iPole-Zero Maph(t)=e4(_0.5_ 0.2887 jje5 0.866(-0.5 0.2887了冷心亠866頻響曲線為：nuphlimp頻率響應(yīng)：b=1；a=1 2 2 1;H w=freqs(b,a); subplot(211); plot(

10、w,abs(H); xlabel(omega(rad/s); ylabel(Mag nitude);title(|X(jomega)|);grid on; subplot(212);plot(w,a ngle(H); xlabel(omega(rad/s); ylable(Phase);title(phi(omgea);IHQoiInripiJsE Response諾Zmhli7 B 9 1J城3兇對(duì)機(jī)5432s 2s -3s 3s 3s 2MATLA醉序及運(yùn)行結(jié)果如下a = 5 2 -3 3 3 2;b = 1 0 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = res

11、idue(b,a) r =0.1277 + O.OOOOi-0.0341 - 0.0492i-0.0341 + 0.0492i-0.0298 - 0.1226i-0.0298 + 0.1226i p =-1.1803 + 0.0000i0.7391 + 0.6886i0.7391 - 0.6886i-0.3489 + 0.4586i-0.3489 - 0.4586i k =10.SPoltj-Zera MapTk卜kA卜T丄*丄1L0.60.40.2002-U.406 -flRI 2 -1 -D.B 643 4 -0.22).21Real Axis (seconds )0 4 0.60.6由此

12、得到、0.0769-0.03-0.0881j*- 0.03+0.0881iX(s)=s 3.1704 s -(0.9669 0.9540j)s-(09669-09540j)+0.00850.1436j卜-0.0085十0.1436js-(-0.3817 0.4430j)s-(-0.3817-0.4430j)b = 1 0 1;a = 5 2 -3 3 3 2; H,w = freqs(b,a); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H); xlabel(omega(rad/s);ylabel(Mag nitude); title(|H(jomega)|); grid on;

13、subplot(2,1,2);plot(w,a ngle(H); xlabel(omega(rad/s); ylabel(Phase); title(phi(omega); grid on;1G203040EO 70 TUTime sec onds)c(rdfs)由于該因果系統(tǒng)的所有極點(diǎn)不全位于S平面的左半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)已知連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位置分別如下所示(設(shè)系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn))，試用繪制6中不同情況下，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，并繪制相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并 函數(shù)極點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下:syms t;b=1；a=1 0；sys=t

14、f(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s);ht=ilaplace(hs); subplot(212);ezplot(ht);aJMATLAB分析系統(tǒng)1JFFlPole-zero M isp0.5F1IowCI 5卜j*060.2 Q 0-2D-&DReal AMk (tttcandfi+1)i1弓- -h-BtP-0.5-oLIliI.LI-i-42D- 2- - 4-SMATLAE程序及運(yùn)行結(jié)果如下:syms t;b=1；a=1 2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s+2);ht

15、=ilaplace(hs);subplot(212);Pole-Zero Map_5opiriiilu.5rIII.1sJ 4-Oi(secordsr1)10MATLAB八序及運(yùn)行結(jié)果如下syms t;b=1；a=1 -2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s-2);ht=ilaplace(hs); subplot(212);ezplot(ht);PoleAZero M apO- 5 oFEESpA2j, P2二-2jMATLA醉序及運(yùn)行結(jié)果如下syms t;b=1；a=1 0 4;sys=tf(b,a);subplot(211);pz

16、map(sys);hs=sym(1/(sA2+4);ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);Pole-Zero MapT一!ri1E111X-1i*LL?0,8 -0.6Rea，lMords擊”4bPI - -1 4j, P2- -1 -4jMATLA醉序及運(yùn)行結(jié)果如下：b=1;a=1 2 17;sys=tf(b,a); subplot(211); pzmap(sys);f=sym(1/(sA2+2*S+17)F=ilaplace (f) subplot(212); syms t;ezplot(F)axis(-7 5 -50 100)x 10*OB 11

17、.21.4 L6 181Real Aiis (sec on dse?p(2 I)圖像如下：P1=1 4j, P2=1 -4jMATLAE程序及運(yùn)行結(jié)果如下b=1；a=1 -2 17;sys=tf(b,a);subplot(211); pzmap(sys);f=sym(1/(sA2-2*s+17)F=ilaplace (f) subplot(212); syms t;ezplot(F)axis(-5 7 -100 50)由以上六例，可以總結(jié)出，在無(wú)零點(diǎn)的情況下：當(dāng)極點(diǎn)唯且在原點(diǎn)時(shí)，h(t)為常數(shù)；當(dāng)極點(diǎn)唯一且是負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，h(t)為遞減的指數(shù)函數(shù);當(dāng)極點(diǎn)唯一且是正實(shí)數(shù)時(shí)，h(t)為遞增的指數(shù)函數(shù)；

18、當(dāng)H( s)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)時(shí)，h(t)有一因子;當(dāng)H( s)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)且他們位于右半平面時(shí)，H( s)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)且他們位于左半平面時(shí)，(4)已知3個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)nlnooa-200-4Pole -ZeroMap-0.8 -0.6Real Axis (sec onds-1)sin(4 t)/(4 exp(t)-0.4-0.2-2當(dāng)h(t)還有一因子;h(t)有一因子；(1)H(s)s2s 17H(s)二s 8s2s 17H (s)s-82二s s 17上述三個(gè)系統(tǒng)具有相同的極點(diǎn)，只是零點(diǎn)不同，試用MATLA盼別繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖及相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。CD MATLAE程序及運(yùn)行結(jié)果如下:syms t ;b=1；a=1 2 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(121);pzmap(sys);title(零極點(diǎn)圖；hs=sym( 1/(sA2+2*s+17);ht=ilaplace(hs);subplot(122);ezplot(ht);title(沖激響應(yīng)h(t);d-34畀OP匸F?g| A)(ic (cocondc-1)口麵Tlrrit怎BCjrd對(duì)inPLI口D巧 三J? n5 u-MATLAE程序及運(yùn)行結(jié)果如下syms t