鉛球投擲模型

1、西北農(nóng)林科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院名稱：理學(xué)院 專業(yè)年級(jí)：2011級(jí)信計(jì)1班姓 名： 學(xué) 號(hào)：2011014816課 程：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 報(bào)告日期：2013年11月7日1 實(shí)驗(yàn)題目:鉛球投擲模型2 實(shí)驗(yàn)問題陳述:眾所周知，鉛球運(yùn)動(dòng)是指運(yùn)動(dòng)員單手托住鉛球在投擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使千秋在有效區(qū)域中，以鉛球的落地點(diǎn)與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠(yuǎn)度，并以鉛球投擲遠(yuǎn)度的大小評(píng)定運(yùn)動(dòng)員的成績。在鉛球的訓(xùn)練和比賽中，鉛球投擲的距離的遠(yuǎn)近使人們最關(guān)心的問題，而對(duì)于教練和運(yùn)動(dòng)員最為關(guān)心的問題是如何使鉛球投擲得最遠(yuǎn)？由普通的投擲常識(shí)我們知道，在投擲鉛球的過程中，有兩個(gè)重要的因素：投擲角和初速度。對(duì)于教練來說，平時(shí)

2、的訓(xùn)練中，應(yīng)更注意哪方面的訓(xùn)練呢？3 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?建立模型進(jìn)行分析如何能使鉛球投擲的最遠(yuǎn)，在投擲角和初速度兩個(gè)重要因素上運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練時(shí)應(yīng)該更加注重哪一項(xiàng)的訓(xùn)練。選擇一個(gè)最優(yōu)的方法使得訓(xùn)練更加具有針對(duì)性，使運(yùn)動(dòng)員提高起來更加容易。4 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容拋射模型:在這個(gè)模型中，我們不考慮投擲者在投擲圓內(nèi)用力階段的力學(xué)過程，只考慮前球脫手使得初速度和投擲的角度對(duì)鉛球投擲遠(yuǎn)度的影響。為此，我們不妨把鉛球視為一個(gè)拋射體，關(guān)于它的運(yùn)動(dòng)可以在如下三個(gè)家設(shè)置下來分析。鉛球被看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其初速度為，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖一。鉛球運(yùn)動(dòng)中忽略空氣的阻力。投擲角和初速度是相互獨(dú)立的，并且衡量成績的遠(yuǎn)度記為。 運(yùn)動(dòng)員具有身高。 以鉛球出

3、手點(diǎn)的鉛垂方向?yàn)閥軸（向上為正），以y軸與地面的交點(diǎn)到鉛球落地點(diǎn)方向?yàn)閤軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。在此坐標(biāo)系內(nèi)考慮鉛球的運(yùn)動(dòng)，由物理學(xué)的知識(shí)可以得到鉛球運(yùn)動(dòng)方程：解這個(gè)方程，得 圖中顯示鉛球落在地面A點(diǎn)，此時(shí)的遠(yuǎn)度是，也即軌跡與軸相交于點(diǎn)（,0）處。代入解出，得 這個(gè)公式中已經(jīng)體現(xiàn)了初速度、投擲角度和遠(yuǎn)度之間的簡單關(guān)系。也指明了鉛球投擲的遠(yuǎn)度是如何依賴于前兩者的。這就是我們需要的鉛球投擲模型I投射模型。模型II投擲模型在實(shí)際中我們從奧運(yùn)會(huì)的女子鉛球比賽中獲得這樣一組數(shù)據(jù)實(shí)際成績1.90m37.60°13.75m/s20.68m20.95m2.00m39.69°13.52m/s2

4、0.22m20.30m可以看到第二組數(shù)據(jù)與都提高了，但與卻降低了。也就是說隨著的提高，即使是更接近于最佳出手角度，成績反而降低了，主要原因在于降低了，因此我們可以得出結(jié)論，與之間一定有某種關(guān)系。因此模型I中假設(shè)3是不恰當(dāng)?shù)摹?shí)際上模型I只是刻畫了鉛球出手時(shí)與出手后的情形，而要刻畫出手速度與出手角度之間的依賴關(guān)系，我們必須對(duì)鉛球出手前的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行研究。也就是分析在投擲圓中的運(yùn)動(dòng)過程。我們將投擲過程大致分為滑步和用力階段。假設(shè)：滑步運(yùn)動(dòng)為水平運(yùn)動(dòng)，鉛球隨人的身體產(chǎn)生一個(gè)水平的初速度。在用力階段，運(yùn)動(dòng)員從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時(shí)間，記為0到。在運(yùn)動(dòng)員用力的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員作用在鉛球上的推力大

5、小F是不變的，力的方向與鉛球的出手角度相同?，F(xiàn)在用這三個(gè)假設(shè)代替模型I的假設(shè)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖二，進(jìn)一步建立模型II投擲模型。記為開始用力后鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡的水平和鉛垂方向坐標(biāo)，則根據(jù)牛頓第二定律。 m為鉛球質(zhì)量，F(xiàn)是推力，為力的方向（出手角度）。根據(jù)整個(gè)運(yùn)動(dòng)方式，我們知道時(shí)開始用力，時(shí)鉛球出手。于是可將在上積分得分別是時(shí)鉛球的水平與垂直的初速度。由假設(shè)知，代入上式：上式表明了在F作用下，鉛球在水平與垂直方向上的運(yùn)動(dòng)速度，可由此得到合速度，可以看到它是一個(gè)與有關(guān)系的量。 將與合并就得到模型II鉛球的投擲模型 至此我們已經(jīng)將投鉛球的整個(gè)過程完整地轉(zhuǎn)換為一組公式，我們可以通過這個(gè)公式對(duì)投鉛球運(yùn)動(dòng)的各項(xiàng)關(guān)鍵

6、因素進(jìn)行深入分析，以幫助運(yùn)動(dòng)員得到最好的成績。1建立擲遠(yuǎn)距離隨出手速度和出手角度變化的函數(shù)文件function f=fun_s(a,v)f=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./19.6).2).0.5+v.*v.*sin(2*a)./19.6;2運(yùn)行程序一，在matlab中繪出函數(shù)圖像結(jié)果如下圖所示：圖3.不同出手速度和角度對(duì)應(yīng)的拋擲距離圖像Matlab命令：1.在給定出手速度v下要達(dá)到最大射程時(shí)對(duì)應(yīng)的角度，運(yùn)行程序二結(jié)果如下圖所示：圖4.出手速度不同時(shí)得到最大投擲距離對(duì)應(yīng)的角度曲線3.2比較擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈

7、敏性。1對(duì)角度求導(dǎo)運(yùn)行程序三結(jié)果如下圖：2.s對(duì)速度v求導(dǎo)運(yùn)行程序四結(jié)果如下圖：5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與討論可以看出，與越大，遠(yuǎn)度越大。也就是說當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)員具有較優(yōu)秀的身高和力量能使成績更好，但另一方面這兩個(gè)因素又是非常有限的。因此選擇一個(gè)最佳的出手角度是一個(gè)更實(shí)用的提高成績的方式。針對(duì)模型I就是求一個(gè)值可以使最大，這是一個(gè)求函數(shù)極值的問題。即利用算法解出。得上式表明：給定，當(dāng)變小，則相應(yīng)的最佳角度隨之變大；當(dāng)變大，則相應(yīng)的最佳角度隨之減小。由于，當(dāng)=0時(shí)，最佳出手角度=45°。這個(gè)結(jié)論是符合物理學(xué)規(guī)律的，但運(yùn)動(dòng)員是有身高的即>0，那么實(shí)際情況中會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況呢？這就需要對(duì)模型I

8、I進(jìn)行分析。給定，當(dāng)變大，相應(yīng)的最佳角度也變大。6 實(shí)驗(yàn)程序（Matlab或者其它軟件語言陳述）程序一：v=linspace(0,30,100);a=linspace(0,pi/2.100);A,V=meshgrid(a,v);S=fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel('速度V m/s');xlabel('角度');zlabel('投擲距離 m');title('不同出手速度和角度對(duì)應(yīng)的拋擲距離圖像');axis(0 pi/2 0 30 0 100);程序二： function f=fun_sv(v)f=0.5

9、*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v)/pi*180;繪出圖像：fplot('fun_sv',0,100);xlabel('速度V m/s');ylabel('角度');title('v不同得到最大投擲距離時(shí)對(duì)應(yīng)的角度曲線 ');axis(0 50 0 60);程序三：函數(shù)文件：function f=fun_da(a,v)h=1.8f=(v.4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a

10、).2+v.4.*sin(2*a).2)+v.2.*cos(2*a)./9.8;繪出圖像：da=fun_da(A,V);surf(A/3.14*180,V,da)ylabel('速度V m/s');xlabel('角度');zlabel('不同角度對(duì)應(yīng)的da');title('不同速度和角度下S對(duì)求導(dǎo)圖像');axis(0 90 0 30 -100 100);程序四：函數(shù)文件：function f=fun_dv(v,a)w=4.*1.8.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*sin(2.*a).*sin(2.*a)./9.8./9.8;q=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./19.6).2).0.5;f=1/2.*w./q+v.*sin(2.*a)./19.6;繪出圖像：dv=fun_dv(V,