八年級數(shù)學下冊 第1章 單元綜合測試卷（北師版 2025年春）

八年級數(shù)學下冊第1章單元綜合測試卷（北師版2025年春）一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1．若一個等腰三角形的頂角為30°，則這個等腰三角形的底角為()A．30°B．50°C．65°D．75°2．下列長度的線段中，能構成直角三角形的是()A．1，2，3B．1，eq\r(3)，eq\r(2)C．eq\r(3)，2，eq\r(5)D．5，6，73．某房屋示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則點A到地面的距離為()A．5.5mB．6mC．6.5mD．7m4．蘇州素有“園林之城”的美譽，以拙政園、留園為代表的蘇州園林被譽為“咫尺之內再造乾坤”，是中華園林文化的翹楚和驕傲．如圖，某園林中一亭子的頂端可看作等腰三角形ABC，其中AB＝AC，若D是BC邊上的一點，則下列條件不能說明AD是△ABC的角平分線的是()A．點D到AB，AC的距離相等B．∠ADB＝∠ADCC．BD＝CDD．AD＝eq\f(1,2)BC5．下列命題的逆命題是真命題的是()A．對頂角相等B．等邊三角形是軸對稱圖形C．全等三角形的對應角相等D．全等三角形的對應邊相等6．如圖，在等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的高，DE⊥AB于點E，若BE＝3，則△ABC的邊長為()A．3B．4C．5D．無法確定7．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線BF，CG分別交ED于點F，G，若FG＝2，ED＝6，則DB＋EC的值為()A．3B．4C．5D．88．把兩個大小相同的含30°角的三角尺如圖放置，D，B，C三點共線，若AD＝6eq\r(6)，則BC的長為()A．6B．6eq\r(3)C．2eq\r(3)D．29．在△ABC中，它的三邊分別為a，b，c，下列條件：①∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C；②∠A＝∠B－∠C；③∠A：∠B：∠C＝3:4:5；④a：b：c＝2：3：eq\r(5).其中，能確定△ABC是直角三角形的條件為()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③10．如圖，∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形．若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長為()A．8B．16C．24D．32二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)11．用反證法證明“直角三角形中至少有一個銳角小于或等于45°”，應先假設__________________________________________________________________．12．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點A處往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當固定點B，C到桿腳E的距離相等，且B，E，C在同一條直線上時，電線桿DE就垂直于地面BC，工程人員這種操作方法的依據(jù)是____________________．13．如圖，在△ABC中，F(xiàn)是邊AB，AC的垂直平分線的交點，連接BF，CF，若∠BFC＝110°，則∠A＝________．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝15cm，P是到△ABC三邊距離都相等的點，則點P到△ABC三邊的距離為________．15．如圖，已知AD∥BC，點E為CD上一點，AE，BE分別平分∠DAB，∠CBA.若AE＝3cm，BE＝4cm，則四邊形ABCD的面積是________．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AB的垂直平分線EF分別交AC，AB于點E，F(xiàn)，若點D為BC的中點，點M為EF上一動點，則BM＋DM的最小值為________．三、解答題(本大題共6小題，共66分．解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.(1)求證：△ACE≌△BDF；(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的長．18．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm.(1)作AB的垂直平分線，交AC于點M，交AB于點N；(2)在(1)的條件下，連接MB，若△MBC的周長是14cm，求BC的長．19．(10分)如圖，已知BC＝CD＝4，CD⊥BC，垂足為點C，AD＝eq\r(17)，AB＝7，求∠ADC的度數(shù)．20．(10分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速運動，點P的運動速度為2cm/s，點Q的運動速度為1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts.(1)當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？(2)當t為何值時，△PBQ為直角三角形？21．(14分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．(1)如圖①，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF.若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；(2)連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關系，并證明．(注：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)22．(16分)【問題情境】如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在直線BC上運動，以AD為邊作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝90°，連接CE.當點D在BC邊上時，試判斷線段CE，CD及BC之間的數(shù)量關系．【探究展示】勤奮小組發(fā)現(xiàn)，BC＝CE＋CD，并展示了如下證明過程：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△DAB和△EAC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△DAB≌△EAC(依據(jù)1)．∴BD＝CE(依據(jù)2)．∵BC＝BD＋DC，∴BC＝CE＋CD.【反思交流】(1)上面的證明過程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？(2)如圖②，縝密小組在勤奮小組的基礎上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)當點D在CB的延長線上時，線段CE，CD及BC之間的數(shù)量關系是BC＝CD－CE，且CE與BD的位置關系是CE⊥BD.請判斷縝密小組的發(fā)現(xiàn)是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請把你發(fā)現(xiàn)的結果寫出并說明理由．(3)如圖③，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，(2)中BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關系是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關系，并證明．

答案一、1.D2.B3.B4.D5.D6.B7.B8.A9.C10.D二、11.直角三角形中沒有一個銳角小于或等于45°12．等腰三角形的三線合一13.55°14.3cm15．12cm216.eq\r(21)三、17.(1)證明：在△ACE和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠BDF，,∠A＝∠B，,AE＝BF，))∴△ACE≌△BDF(AAS)．(2)解：∵△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，又∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4.18．解：(1)如圖，直線MN即為所求．(2)如圖．∵MN是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∵△MBC的周長是14cm，∴MB＋MC＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC＝14cm，又∵AC＝8cm，∴BC＝6cm.19．解：連接BD.∵BC＝CD＝4，CD⊥BC，∴∠BDC＝45°，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)，又∵AD＝eq\r(17)，AB＝7，∴AD2＋BD2＝17＋32＝49＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝45°＋90°＝135°.20．解：(1)在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，∴∠B＝60°，BC＝30cm.∵60÷2＝30(s)，∴0≤t≤30.由題意得BP＝(60－2t)cm，BQ＝tcm.易知當BP＝BQ時，△PBQ為等邊三角形，即60－2t＝t，解得t＝20，∴當t＝20時，△PBQ為等邊三角形．(2)①當∠BQP＝90°時，易得BP＝2BQ，即60－2t＝2t，解得t＝15.②當∠BPQ＝90°時，易得BQ＝2BP，即t＝2(60－2t)，解得t＝24.∴當t＝15或t＝24時，△PBQ為直角三角形．21．(1)證明：在△BCD和△FCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CF，,∠BCD＝∠FCE，,CD＝CE，))∴△BCD≌△FCE(SAS)．∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.(2)解：由題意補全圖形如圖所示．CD＝CH.證明：如圖，延長BC到點G，使CG＝BC，連接AG，EG.∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BG.又∵BC＝CG，∴AB＝AG.由(1)可得△BCD≌△GCE，BD∥EG，∴BD＝EG.∵AB2＝AE2＋BD2，∴AG2＝AE2＋EG2.∴∠AEG＝90°，即AE⊥EG.∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.22．解：(1)依據(jù)1是SAS；依據(jù)2是全等三角形的對應邊相等．(2)正確．理由如下：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.在△DAB和△EAC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△DAB≌△EAC(SAS)．∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CE.∵∠ACE＝∠ABD＝18