中考數(shù)學二次函數(shù)的綜合題試題及答案

1、中考數(shù)學二次函數(shù)的綜合題試題及答案一、二次函數(shù)1.已知，拋物線 y= ax2+ax+b (a工0與直線y = 2x+m有一個公共點 M (1, 0)，且avb.11血i 審P1ndi111fl1flp1i-r八.廣Ji N "1 1 = 4 k111s T m 431ii b *i.*3B| r 盧|*r:1141 1卜1|.廠<甲r11 r 1111i1ii 描 441I r iiA屮i屯q 1u011:!丄"1TJn4 :卜1i L K111 T 911iL " aI"H41i i H 一 L i>ErI-r 1二k:1'1 L

2、131iiiiP -s11f=-ft SIi1V*111pI111111"I F * m 露I1"F *il1NIR «4I A41'= * n * q *-|i iiiI'b1il 141JI4*i9(1 )求b與a的關系式和拋物線的頂點D坐標(用a的代數(shù)式表示)；(2) 直線與拋物線的另外一個交點記為”，求厶DMN的面積與a的關系式；(3) a =- 1時，直線y=- 2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關于原點對稱，現(xiàn) 將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t >0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點， 試求t的取值范圍.1 927

3、 3 27【答案】(1) b=- 2a,頂點D的坐標為(-，-一 a ) ；( 2)a ； ( 3)2 44a 892<v -.4【解析】【分析】(1 )把M點坐標代入拋物線解析式可得到b與a的關系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點 D的坐標；(2) 把點M (1, 0)代入直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y,可得到關于X的一元二次方程，可求得另一交點N的坐標，根據av b，判斷av 0,確定D、M、N的位置，畫圖1，根據面積和可得 DMN的面積即可；(3) 先根據a的值確定拋物線的解析式，畫出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當GH與拋物線只有一個公共點時，

4、t的值，再確定當線段一個端點在拋物線上時，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個不同的公共點時t的取值范圍.【詳解】解：(1) 拋物線y=aX+ax+b有一個公共點 M (1, 0),-a+a+b=0,即 b=-2a,1 9a/ y=ax2+ax+b=ax+ax-2a=a (x+ ) 2-二2 419a拋物線頂點D的坐標為（-2，盲）；(2) 直線 y=2x+m 經過點 M (1, 0),0=2 x 1+m解得 m=-2, y=2x-2,y=2x 2則2，y= axax 2a得 ax2+ (a-2) x-2a+2=0, (x-1)( ax+2a-2) =0,2解得x=1或x= -2,a一 24

5、N點坐標為（一-2,-6）,a aTav b，即 av-2a, a v 0,如圖1,設拋物線對稱軸交直線于點E,拋物線對稱軸為X石2，E(-2,-3) M (1, 0),24N ( -2, - -6), aa設厶DMN的面積為S,129a27327 S=S den+Sa dem=|(-2)-1|?|-A-(-3)|= -a,2a44a8(3 )當 a=-1 時，拋物線的解析式為：y=-x2-x+2=- (x+ )2 9+ ,24由 y X X 2 , y 2x-x2-x+2=-2x,解得：X1=2, x2=-1,-G （-1 , 2）,點G、H關于原點對稱，-H （1 , -2）,設直線GH平

6、移后的解析式為：y=-2x+t,-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0， =1-4 （ t-2） =0，9t=，4當點H平移后落在拋物線上時，坐標為（1，0），把（ 1，0）代入 y=-2x+t，t=2 ,當線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，t的取值范圍是2 « - 4【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質、根的判別式、三角形的面積等知識.在（1）中由M的坐標得到b與a的關系是解題的關鍵，在（2）中聯(lián)立 兩函數(shù)解析式，得到關于 x的一元二次方程是解題的關鍵，在（ 3）中求得GH與拋物線一 個交點和兩個交點的分界點是解題的關鍵，本題考查知識點較

7、多，綜合性較強，難度較大.2.如圖，直線 AB和拋物線的交點是 A （ 0, - 3）, B （ 5, 9），已知拋物線的頂點 D的 橫坐標是2 .（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；(2) 在x軸上是否存在一點 C,與A, B組成等腰三角形？若存在，求出點 C的坐標，若 不在，請說明理由；(3) 在直線AB的下方拋物線上找一點 P,連接PA PB使得 PAB的面積最大，并求出這或(10，0)；( 3)號(5 2 22，0)【解析】【分析】b2a2，拋物線過A (0, - 3)，則：函數(shù)的表達式為：y-ax2+bx- 3,把B點坐標代入函數(shù)表達式，即可求解;(1)拋物線的頂點 D的橫坐標是2,貝

8、U x(2)分AB=AC、AB=BC AC=BC,三種情況求解即可;1(3 )由 PAB?PH?XB，即可求解.2【詳解】(1)拋物線的頂點 D的橫坐標是數(shù)的表達式為:y=ax2+bx- 3,把485c= 3,當x=2時，y(2) A (0,b 22aB點坐標代入上式得：2,則x拋物線的解析式為:，拋物線過A (0,- 3),則：函9=25a+5b 3，聯(lián)立、解12 2一 X5635 63)3), B ( 5, 9)，貝U AB=13，設點 C坐標(魚，即頂點D的坐標為(2,48:3.5m, 0)當 AB=AC時，9:( m) 2+ ( 3) 2=132，解得：m=±4 10，即點

9、C坐標為:,分三種情況討論:(4 帀,0)或(-4 ,10 , 0); 當AB=BC時,(5 m) 2+92=132，解得：m=5 2. 22，即：點C坐標為(5 2 22，0)或(5 - 2 22，°)；97當 AC=BC 時，則：5 - m) 2+92= ( m) 2+ (- 3) 2,解得：m=一 ,1°則點C坐標為綜上所述：存在，點 C的坐標為：(±4.10 , 0)或(5 2 22， °)(3)過點P作y軸的平行線交AB于點H.設直線97或(97 , °)；1°AB的表達式為y=kx- 3,把點B坐標代入上式,129=5k

10、- 3，則k，故函數(shù)的表達式為:512 x-3，設點P坐標為(m ,548 m - 3)，則點 H 坐標為(m, m - 3),551 5S PAB?PH?XB2 2125 2 755m2+12m) = 6m2+3°m= 6(m)，當 m=時，pab取得最大值為:5222125 275752答:75 PAB的面積最大值為亠從而求出線段之間的關系.本題是二次函數(shù)綜合題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能 力的培養(yǎng)要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表 示線段的長度，3已知，m, n是一元二次方程 x2+4x+3=°的兩個實數(shù)根

11、，且|m| v | n|，拋物線y=x2+bx+c 的圖象經過點A ( m, °), B (°, n),如圖所示.(1) 求這個拋物線的解析式；(2) 設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D,求出點C, D的坐標， 并判斷 BCD的形狀；(3) 點P是直線BC上的一個動點(點 P不與點B和點C重合)，過點 P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為2個單位長度，設點 P的橫坐標為t, PMQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關系式.-4), BCD是直角三角形;(3) S1t221t223t(OV t<3)23t(t< 0或 t&

12、gt;3)【解析】試題分析：(2 )先解方程求出拋物線與2先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；x軸的交點，再判斷出 BOC和厶BED都是等腰直角三角形,從而得到結論;(3)先求出QF=1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可.試題解析：解(1)T x2+4x 30, 1 , X23，:m , n 是-兀二次方程x2 +4x 30的兩個實數(shù)根，且|m| < |n|1 , m= - 1, n= - 3,/拋物線2y x 2x 3的圖象經過點A ( m, 0), B (0, n), 1b c 0b, 2拋物線解析式為c3c32y x 2x3 ；(2 )令 y=0,

13、則 x2 2x 30, 人1X23 , . c (3 ,0),2 2 y x 2x 3 = (x 1)4，二頂點坐標 D (1,- 4),過點 D作 DE丄y 軸, 0B=0C=3, BE=DE=1, / BOC和 BED都是等腰直角三角形，/ / OBC=Z DBE=45 ,°/ CBD=90 ,°BCD是直角三角形；(3)如圖，/ B (0,- 3), C (3, 0), 直線BC解析式為y=x-3 , 點P的橫坐標為t, PM丄x軸，點M的橫坐標為t, 點P在直線BC上，點M在拋物線上， P (t, t -3), M (t, t2 2t 3 )，過點Q作QF丄PM ,

14、 PQF是等腰直角三角形，/ PQ=、. 2 , QF=1.2 2 當點P在點M上方時，即0< t< 3時，PM=t - 3 -( t 2t 3 ) = t 3t,1121 23 s=2pmk QF=1(t3t)= 1t /，如圖3,當點P在點M下方時，即t<0或t>3 時，PM=t2 2t3 -(t - 3) =t23t ,11-S= PMX QF=22(t2 3t )3t(0 t 3)2-t22綜上所述，S=224.拋物線 y x bx c (b,c為常數(shù)）與x軸交于點Xi ,0和 X2,0，與y軸交于點A,點E為拋物線頂點。(I)當Xi若頂點1,X23時，求點x上

15、,e在直線yA,點E的坐標；當點A位置最高時，求拋物線的解析式;（川）若X11, b 0當P（1,0）滿足PA PE值最小時，求b的值?！敬鸢浮浚↖A 0,3 ,E(i,4) ； ( n) yx21x 1 ;(m) b【解析】【分析】（I ）將（-1,0),( 3,0）代入拋物線的解析式求得b、c的值，確定解析式，從而求E的坐標即可；出拋物線與y軸交于點A的坐標，運用配方求出頂點（n）先運用配方求出頂點 E的坐標，再根據頂點 E在直線y x上得出吧b與c的關 系，利用二次函數(shù)的性質得出當b=1時，點A位置最高，從而確定拋物線的解析式；（川）根據拋物線經過（-1, 0）得出c=b+1，再根據（n

16、 ）中頂點E的坐標得出E點關于 x軸的對稱點E的坐標，然后根據 A、P兩點坐標求出直線 AP的解析式，再根據點在直線 AP上，此時PA PE值最小，從而求出 b【詳解】的值.解：（I ）把點（-1,0）和（3,0）代入函數(shù)yx2 bx c,b c 0。解得b 2, c 33b c 02 2x 2x 3 (x 1)4A(0,3), E(1,4)x2bx2bx 24c b2 得點E在直線x上,4c b22b2(b 1)4c b2_40, 2(b41)21時，點A是最咼點此時，（川）:拋物線經過點（1,0），有qe2宇，A(0,c)4e2,A(0,b 1)4x軸的對稱點(b :42)2設過點A，P的

17、直線為kxt .把 A(0, b1),P(1,O)代入 ykx t，得y (b 1)(x 1)把點E -2(b 2)24代入y(b 1)(x1).2得(b 2)得 4(b 1)即 b2 6b解得,0,.17。b 3,17舍去.3.17b【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次的解析 式、最短距離，數(shù)形結合思想及待定系數(shù)法的應用是解題的關鍵，屬于中考壓軸題.5.若三個非零實數(shù)x, y, z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則 稱這三個實數(shù)X, y, z構成和諧三組數(shù)”.（1）實數(shù)1 , 2, 3可以構成 和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；k若M(

18、t,yi),N(t+1 ,y2),R(t+3,y3)三點均在函數(shù)y= (k為常數(shù),2(的圖象上，且這x三點的縱坐標yi, y2, y3構成 和諧三組數(shù)”，求實數(shù)t的值；若直線y = 2bx+2c(bc工與D)x軸交于點 A(xi, 0)，與拋物線 y= ax2+3bx+3c(a工交于B(x2, y2), C(xj, y3)兩點. 求證：A, B, C三點的橫坐標xi, X2, X3構成 和諧三組數(shù)”；c b 若a>2b >3c, X2= 1,求點P(,)與原點O的距離OP的取值范圍.a a【答案】 不能，理由見解析；(2)t的值為-4、- 2或2 ； (3)證明見解析；丄<

19、OP2V 且 OPM.2【解析】【分析】(1 )由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；(2) 把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3,再由和諧三組數(shù)的定義可得到關于t的方程，可求得t的值；(3由直線解析式可求得cX1=,聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y ,利用一元二次bbc方程根與系數(shù)的關系可求得X2+X3=-匕,X2X3=-，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；aa 由條件可得到a+b+c= 0，可得c=- (a+b),由a>2b >3c可求得b的取值范圍，令 m =aOP2b，利用兩點間距離公式可得到OP2關于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質可求

20、得a的取值范圍，從而可求得 OP的取值范圍.【詳解】(1)不能,理由如下： 1、2、3的倒數(shù)分別為1、1、123111111.+工11 + 豐一,1 + -5232 332實數(shù)1 , 2, 3不可以構成 和諧三組數(shù)k(2) / M(t, y1), N(t+1, y2), R(t+3, y3)三點均在函數(shù)一(k 為常數(shù),x y1、y2、y3均不為0，且y1 =y2=y3=1 =上丄=口 丄=t 3 % k' y2k ' y3k4；1y11y21+ y3時,則t = kt 1 t + k3，即kt = t+1+t+3,解得t =-111t 1t t3 口=+ 時,則+，即t+1 =

21、 t+t+3,解得t =-y2yy3kkk111t 3t t1=+ 時,則=+ -，即t+3 = t+t+1 ,解得2 ；y3y1y2kkkt的值為-4、-2 或 2;當當當2；(3)/ a、b、c均不為0,X1, X2, X3 都不為 0,直線y = 2bx+2c(bc與 X0)由交于點 y1, y2, y3構成 和諧三組數(shù)”,有以下三種情況：A(x1, 0),c 0 = 2bxi+2c，解得 xi=,b a>2b>3(- a- b),且 a>0，整理可得a5b2b3a，解得-聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c= ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c= 0,

22、直線與拋物線交與B(x2, y2), C(x3, y3)兩點, X2、x3是方程ax2+bx+c= 0的兩根，bcX2+X3,X2X3 aab1+1X2 X3a =-b _1X2X3X2X3ccX1a xi, X2, x3構成 和諧三組數(shù) T X2= 1 , a+b+c= 0, c=- a- b,/ a > 2b> 3c,c bT PL ,),a a2/c2b2.ab2b2 b 2 b b 1 2 1 OP2= (_)2+( )2= ()2+( )2= 2( )2+2 +1 = 2( + )2+ ,a aa a a a a 22b3111令 m =，則-v mv 且 m0,且 0嚴

23、=2(m+ )2+ ,a5222t 2 > 0,13253 13當-一< m v -時，OP2隨m的增大而減小，當 m =- -時，OF2有最大臨界值52511當m 時，OF2有最小臨界值-,2211 11當-一vmv 一時，OF2隨m的增大而增大，當 m=- 一時，OP2有最小臨界值，當m2 2 2 21 5=-時，OF2有最大臨界值5 ,2 21 5 < oF<5 且 0嚴工12 2P到原點的距離為非負數(shù)， _? < OIP且 OPM.2 2【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系數(shù)的關系、勾股定理、二次函數(shù)的性質、分類

24、討論思想及轉化思想等知識在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關于t的方程是解題的關鍵，在 (3)中用a、b、c分別表示出X1, X2, X3是解題的關鍵，在(3)中把OF2表示成二次函數(shù)的形式是解題 的關鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大.6已知：如圖，拋物線 y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點 A (0, 6), B (6, 0), C (2, 0)，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.(1) 求拋物線的解析式；(2) 當點P運動到什么位置時， PAB的面積有最大值？(3) 過點P作x軸的垂線，交線段 AB于點D,再過點P做PE/ x軸

25、交拋物線于點 E,連 結DE,請問是否存在點 P使厶PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在,1【答案】(1 )拋物線解析式為 =-? x2+2x+6；( 2)當t=3時， PAB的面積有最大值;(3)點 P (4, 6).【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得；(2)作PM丄OB與點M，交AB于點N,作AG丄PM，先求出直線 AB解析式為y=-x+6,1設 P (t，- t2+2t+6 )，貝U N (t, - t+6 )，由2111Sapab=Sapan+Sapbn= PN?AG+ PN?BM= PN?OB列出關于t的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)222的性質求解可得

26、；(3)由 PH丄 OB 知 DH/ AO,據此由 OA=OB=6 得/BDH=Z BAO=45，結合/ DPE=90 知若 PDE為等腰直角三角形，則 / EDP=45，從而得出點E與點A重合，求出y=6時x的值即 可得出答案.【詳解】(1) T拋物線過點B (6, 0 )、C (- 2, 0),(X- 6)( x+2),-12a=6,設拋物線解析式為 y=a 將點A (0, 6)代入，得:解得：a=-,2所以拋物線解析式為(2)如圖1,過點P2MU設直線AB解析式為將點 A (0, 6)、B6k解得:則直線AB解析式為1 丄(x-6)( x+2)=2-x2+2x+6;2P作PM丄OB與點M

27、，交AB于點N,作AG丄PM于點G,y=-y=kx+b,(6, 0)代入，得:y= - x+6,設 P (t, - - t2+2t+6 )其中 0v t v 6 ,則 N (t, - t+6), PN=PM- MN= - 1t2+2t+6-( - t+6) =- 1 t2+2t+6+t - 6= - 1 t2+3t,2 2 2. Sa pab=Sa pan+S pbn11=PN?AG+PN?BM221=PN? (AG+BM)1=PN?OB2=1 X(- 1t2+3t )X62 2=-3t2+9t227(t - 3) 2+2當t=3時， PAB的面積有最大值;(3) 如圖2,A/c2H圖2/ P

28、H丄 OB 于 H, / DHB=Z AOB=90 ； DH / AO,.OA=OB=6, / BDH=Z BAO=45 ；/ PE/ x 軸、PD丄x 軸， / DPE=90 ,°若厶PDE為等腰直角三角形，則 / EDP=45 , /EDP與/BDH互為對頂角，即點 E與點A重合,則當y=6時，-1x2+2x+6=6,2解得：x=0 (舍)或x=4,即點 P (4, 6).【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直 角三角形的判定與性質等，熟練掌握和靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性 質、等腰直角三角形的判定與性質等是解題的關鍵7.在

29、平面直角坐標系 xOy中(如圖).已知拋物線 y= - x2+bx+c經過點A (- 1, 0)和2點B ( 0, 5 )，頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點 C下方，將線段 DC繞點D按順時2針方向旋轉90°點C落在拋物線上的點 P處.(1) 求這條拋物線的表達式；(2) 求線段CD的長；(3) 將拋物線平移，使其頂點 C移到原點0的位置，這時點 P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以0、D、E、M為頂點的四邊形面積為 8,求點M的坐標.cJA1 5【答案】(1 )拋物線解析式為 y=- /+2x+ ; ( 2)線段CD的長為2； ( 3) M點的坐2 2標為(0, 7 )或(0

30、，- 7 ).2 2【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；1 9(2)利用配方法得到 y= - - (x-2) 2+ ，則根據二次函數(shù)的性質得到C點坐標和拋物2 29線的對稱軸為直線 x=2,如圖，設CD=t,則D (2,- t)，根據旋轉性質得 / PDC=90 ,29915DP=DC=,則 P (2+t,- t)，然后把 P (2+t,- t)代入 y=- x2+2x+ 得到關于 t222 2的方程，從而解方程可得到CD的長；95(3) P點坐標為(4,), D點坐標為(2,)，利用拋物線的平移規(guī)律確定E點坐標221 5為(2,- 2)，設M (0, m),當m> 0時

31、，利用梯形面積公式得到？(m+-+2) ?2=82 2當mv0時，利用梯形面積公式得到寸？( - m+|+2) ?2=8,然后分別解方程求出m即可得到對應的M點坐標.【詳解】(把A (-1, 0)和點51(。,-)代入 y=- 2x2+bx+c得1 b25c -20，解得拋物線解析式為y=-S+2X+-2 29 c(2, 2)，拋物線的對稱軸為直線x=2,9如圖，設 CD=t，貝U D (2,- t),2線段DC繞點D按順時針方向旋轉 90 °點C落在拋物線上的點 P處, / PDC=90 ,° DP=DC=t,9、 P (2+t, - - t),2915159把 P （2

32、+t,- t）代入 y= -x2+2x+ 得-（2+t） 2+2 （2+t） + = - t,222222整理得t2 - 2t=0，解得ti=0 （舍去），t2=2,線段CD的長為2;95（3）P點坐標為（4,）, D點坐標為（2,229拋物線平移，使其頂點C （2,）移到原點0的位置，2拋物線向左平移2個單位，向下平移9個單位，299而P點（4，-）向左平移2個單位，向下平移 -個單位得到點E，22- E點坐標為（2，- 2），設 M （0，m ），1 577當m > 0時，一 ？（ m+ +2） ?2=8，解得 m= -，此時M點坐標為（0，;2 222當m v 0時,1 57一7-

33、? (- m+ +2) ?2=8，解得 m=-,此時 M 點坐標為(0，-；2 2 2 2(0,2）或（0，- 2）【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、拋物線上點的坐標、旋轉的 性質、拋物線的平移等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、運用數(shù)形結合思想熟練相關 知識是解題的關鍵.8.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2, 0），且經過點（4, 1）,、 1如圖，直線y= x與拋物線交于 A、B兩點，直線I為y= - 1.4(1) 求拋物線的解析式；(2) 在I上是否存在一點 P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存 在，請說明理由.(3)知F (

34、Xo, yo)為平面內一定點， M (m, n)為拋物線上一動點，且點 距離與點M到點F的距離總是相等，求定點 F的坐標.M到直線I的128y= x2- x+1.( 2)點P的坐標為(一413-1 )( 3)定點F的坐標為(2, 1).【解析】分析：(1)由拋物線的頂點坐標為(2, 0)，可設拋物線的解析式為y=a物線過點(4, 1),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；(2 )聯(lián)立直線 AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(X-2) 2,由拋A、B的坐標，作點B關于直線I的對稱點B',連接AB'交直線I于點P,此時PA+PB取得最小值，根據點 B的 坐標可得出點

35、B'的坐標，根據點 A、B'的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線 AB'的解析式，再 利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點 P的坐標；(3)由點M到直線I的距離與點 M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可得出(1 11- yo)2 22m + (2-2xo+2yo)2 2m+xo +yo -2yo-3=o,由m的任意性可得出關于X。、yo的方程組，解之即可求出頂點F的坐標.詳解：(1) 拋物線的頂點坐標為(2, o), 設拋物線的解析式為y=a (x-2) 2.該拋物線經過點(4, 1),1仁 4a，解得：a=,4拋物線的解析式為 y= (x-2) 2

36、= x2-x+1.4 4(2 )聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：1 y= x4，解得:1 2y= x x 14x-i=1y1x2=4y211 一點A的坐標為（1,），點B的坐標為（4, 1）.4作點B關于直線I的對稱點B',連接AB'交直線I于點P,此時PA+PB取得最小值（如圖1 所示）.點 B （4, 1），直線 I 為 y=-1,點B的坐標為（4, -3）.設直線AB'的解析式為y=kx+b （k0 ,1(1, )、B (4,4-3)代入 y=kx+b，得:4kb= 1,解得:b=3.13k=12b=3直線AB的解析式為134y=-12x+3，134當 y

37、=-1 時，有- x+ =-1,123解得:x=13 ,2g點P的坐標為( ，-1).13(3) 點M到直線I的距離與點 M到點F的距離總是相等, ( m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2,2 2 2 m -2xom+xo -2yon+yo =2n+1. M ( m, n)為拋物線上一動點，1 2 n= _ m2-m+1 ,4(1 m2-m+1) +1,412 2 1 2 2 m -2xom+xo -2yo ( m -m+1) +yo =24整理得：(1- - yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+yo2-2yo-3=O.2 2/ m為任意值，11 1 yo=o2

38、 2 22xo 2yo=o,2 2xo yo 2yo 3=0x°=2yo=1 '定點F的坐標為（2, 1）.點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標,利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2 ）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據點M到直線I的距離與點 M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐 標特征，找出關于 Xo、yo的方程組.2.八9.我們知道，經過原點的拋物線解析式可以是y=ax bx a O。（1）對于這樣的拋物線：當頂點坐標為（1, 1

39、）時，a=;當頂點坐標為（m, m）, m0時，a與m之間的關系式是 ;（2）繼續(xù)探究，如果 bMQ且過原點的拋物線頂點在直線y=kx k O上，請用含k的代A1, A2,，An在直線y=X上，橫坐標依次為 1, x軸的垂線，垂足記為 B1, B2, 若這組拋物線中有一條經過點Dn,數(shù)式表示b ；（3）現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點2,，n （n為正整數(shù)，且n < 12，分別過每個頂點作B3,，Bn,以線段AnBn為邊向右作正方形 AnBnCnDn, 求所有滿足條件的正方形邊長。【答案】（1）- 1;1a= 一 mb2=k 4a2a(3) 3, 6, 9【解析】解：（1）- 1 ； a=（

40、2） ：過原點的拋物線頂點b2ab2一在直線y=kx k 0 上, 4ab4a2a/ bmq b= 2k。(3)由(2)知，頂點在直線 y=x上，橫坐標依次為1, 2,，n (n為正整數(shù)，且1 2 1 2 n k 12的拋物線為：y二x n n，即y二xnn對于頂點在在直線 y=x上的一點 Am ( m , m) ( m為正整數(shù)，且 mKn) 方形2x。，依題意，作的正若點AmBmCmDm 邊長為 m，Dm在某一拋物線y二點Dm坐標為(2 m, m),x2 2x上，則n1 2-2m 2 2m , n/ m , n為正整數(shù)，且 mKm=化簡，得m=£ n。4二所有滿足條件的正方形邊長為

41、nw,12. n=4, 8, 12, m=3,3, 6, 9。6,9。(1)當頂點坐標為(1，1 )時，由拋物線頂點坐標公式,衛(wèi)=1 2a 24ac b4a，即=1 2a b2=14aa= 1。b =m 2a 當頂點坐標為（m, m）, m0時，2b =m 4a22am=m4aa=4a代入m)代入拋物線y二x2n2x求出m, n的關系，即可求解。(2 )根據點在直線上，點的坐標滿足方程的關系，將拋物線頂點坐標y=kx ,化簡即可用含k的代數(shù)式表示b。由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判 別式等于0,由此可求出 m的值和D點坐標。(3 )將依題意，作的正

42、方形 AmBmCm Dm邊長為 m,點Dm坐標為(2 m, 口)，將(2 m,10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=-x2+bx+c經過點A (- 1, 0)和點C (0,4)，交x軸正半軸于點B,連接AC,點E是線段OB上一動點(不與點 O, B重合)，以 OE為邊在x軸上方作正方形 OEFG連接FB,將線段FB繞點F逆時針旋轉90。，得到線段 FP,過點P作PH/ y軸，PH交拋物線于點 H,設點E (a, 0).(2 )若厶AOC與厶FEB相似，求a的值.(3 )當PH= 2時，求點P的坐標.164【答案】(1) y=- «+3x+4;( 2) a = 或；(3)點P的坐

43、標為(25 5或(竺衛(wèi)，4).2【解析】【詳解】(1 )點 C ( 0, 4)，貝U c= 4, 二次函數(shù)表達式為：y =- x2+bx+4,將點A的坐標代入上式得：0 =- 1 - b+4,解得：b = 3, 故拋物線的表達式為：y=- x2+3x+4;4 )或(1 , 4)(2) tan / ACO=AOCO AOC 與厶 FEB相似，貝U / FBE= Z ACO或/ CAO,1即：tan Z FEB=或 4,4四邊形OEFG為正方形，則 FE= OE= a,EB= 4- a,則旦 1或丄4 ,4 a 44 a16 、4解得：a=或一；55(3 )令 y=-x2+3x+4= 0，解得：x

44、= 4 或-1,故點 B (4, 0); 分別延長CF HP交于點N,AA-AlOEB x/ Z PFN+Z BFN= 90 ° Z FPN+Z PFN= 90 ° Z FPN= Z NFB,/ GN / x 軸， Z FPN= Z NFB= Z FBE/ / PNF= / BEF= 90 ° FP= FB, PNFA BEF （ AAS ,FN= FE= a, PN= EB= 4 -a,點 P （ 2a, 4）,點 H （2a,- 4a2+6a+4）,/ PH= 2,即：-4a2+6a+4- 4 = |2| ,解得：a= 1或-或3"7或3"

45、7 （舍去），2 4 4故：點P的坐標為（2, 4）或（1 , 4）或（3+ 17 , 4）.2【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，其中（2）、（ 3）,要注意分類求解，避免遺漏.11.（12分）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12 m，寬是41 2m.按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y - x2+bx+c表示，且拋物線上的點 C到617OB的水平距離為3 m，到地面 0A的距離為 m.2（1 ）求拋物線的函數(shù)關系式，并計算出拱頂D到地面0A的距離；（2） 一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m，如果隧道內設雙向車道，那 么這輛貨車能否安全通過？（3）在

46、拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米？1【答案】（1 ）拋物線的函數(shù)關系式為y=x2+2x+4,拱頂D到地面0A的距離為10 m ;6（2）兩排燈的水平距離最小是 4 3 m.【解析】【詳解】試題分析：根據點 B和點C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出 b和c的值，從而得出函 數(shù)解析式，根據解析式求出頂點坐標，得出最大值；根據題意得出車最外側與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0），然后求出當 x=2或x=10時y的值，與6進行比較大小，比 6大就可以通過，比 6小就不能通過；將 y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后

47、進行做差得出最小值.17試題解析：（1）由題知點B（0,4）,C 32 在拋物線上c 4b 2所以171 c “，解得所以y9 3b cc 426所以，當x6時，卄t-x2 2x 46b2a10答：y-x2 2x 4，拱頂D到地面OA的距離為10米6（2） 由題知車最外側與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0）22當x=2或x=10時，y6，所以可以通過31（3） 令 y 8，即x2 2x 4 8，可得 x2 12x 24 0,解得6為 6 2.3, x26 2.3% x24 3答：兩排燈的水平距離最小是4、3考點：二次函數(shù)的實際應用.13y 才以一刁耳+ 212.拋物線 °?

48、與x軸交于A, B兩點（OAv OB）,與y軸交于點C.（1）求點A, B, C的坐標；（2） 點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點 B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點 C運動，設點P的運動時間為t秒（0 v tv 2）t為何值時, 過點E作x軸的平行線，與 BC相交于點D （如圖所示），當最小，求出這個最小值并寫出此時點E,P的坐標; 在滿足的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點卩，使厶EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點 F的坐標；若不存在，請說明理由.1【答案】(1) A ( 2, 0), B (4, 0), C ( 0, 2);( 2)t=1 時，有最小值1，此時 0P=2, OE=1, E (0, 1), P (2, 0);F (3, 2),( 3, 7).【解析】試題分析：(1)在拋物線的解析式中，令y=0,令x=0,解方程即可得到結果;(2) 由題意得：0P=2t, OE=t，通過 CD0A CBO得到CE EDCO'OB2*t DE，即，求得1 1而