【精選】2020中考數(shù)學(xué)難點突破：動點問題專題訓(xùn)練(含答案)

1、2020中考數(shù)學(xué)動點問題專題訓(xùn)練例題1.拋物線y x2 2x 3與x軸相交于A、B兩點(點A在B的左側(cè))，與y軸相交 于點C,頂點為D.(1)直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸； 連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點，過點P作 PF II DE交拋物線于點F ,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為； 用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平 行四邊形？設(shè)BCF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式.【答案】A 1,0, B3,0, 0 0,3.拋物線的對稱軸是：x 1 .設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y kx b.把B 3, 0 ,00,3分別代入得：3k

2、b 0'解得：kb 3.所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y x 3.當(dāng) x 1 時，y 1 3 2,E 1 , 2 .當(dāng) x m 時，y m 3 , .Pm, m3.在 yx2 2x 3 中，當(dāng) x 1 時，y 4. D 1, 4當(dāng) x m 時，y m2 2m 3 . . F m, m2 2m 3 .線段 DE 4 2 2 ,線段 PF m2 2m 3 m 3 m2 3m . : PF II DE 當(dāng)PF ED時，四邊形PEDF為平行四邊形.由 m2 3m 2解得：mi 2, m2 1 .(不合題意，舍去)因此，當(dāng)m 2時，四邊形PEDF為平行四邊形.設(shè)直線PF與x軸交于點M,由B3, 0

3、 , 00,0,可得：OB OM MB 3., SS BPFS CPE 1 111即 S-PFBM-PF OM -PF BM OM -PF OB.2 222c 12 S 3 m2 3m 2例題2.如圖，已知拋物線y a(x 1)2 3s/3(a0)經(jīng)過點A( 2, 0),拋物線的頂點為D ,過O作射線OM / AD .過頂點D平行于x軸的直線交射線OM于點C , B在x軸373(a0)經(jīng)過點A2，0 ， 二次函數(shù)的解析式為:3 2238.3y x x 333正半軸上，連結(jié)BC.(1)求該拋物線的解析式；(2)若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)點P 運動的時間為t(s

4、) .問當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直 角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB ,動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個 長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當(dāng)其中一個點停止運動時 另一個點也隨之停止運動.設(shè)它們的運動的時間為 t (s),連接PQ ,當(dāng)t為何 值時，四邊形BCPQ的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭r PQ的長.【答案】(1)二.拋物線y a(x 1)1J3"：/3363- Sbcpq6 3 3(6 2t) -1 = t -3 222280 9a 3第a 旦3(2) V D為拋物線的頂點. D 1 ,3底過D作DN貝 1 DN 3氫

5、,AN 3 , AD ,32 343 2 6DAO 60OM II AD當(dāng)AD OP時，四邊形DAOP是平行四邊形 OP 6 . . t 6 s當(dāng)DP OM時，四邊形DAOP是直角梯形過 O作 OH AD 于 H, AO 2,貝(J AH 1(如果沒求出 DAO 60° 可由 RtzXOHAs Rt/XDNA 求 AH 1) OP DH 5 , t 5 s當(dāng)PD OA時，四邊形DAOP是等腰梯形 OP AD 2AH 6 2 4 . . t 4 s綜上所述：當(dāng)t 6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰 梯形.(3)由(2)及已知， COB 60°, OC O

6、BAOCB是等邊三角形則 OB OC AD 6 ,OP t, BQ 2t ,OQ 6 2t 0 t 3過P作PE OQ于E,則PE立t2當(dāng)t 3時， SBCPQ 的面積最小值為63 3 28. .此時 OQ 3 ,OP=3 ,OE 3. .QE 3 3 9PE 33244 44pq麻F" I述屋空442經(jīng)過點A的直線與。O、。P例題3.已知。的半徑為3, OP與。相切于點A,分別交于點B、C, cos/ BAO= 1 .設(shè)。P的半徑為x,線段OC的長為y.3(1)求AB的長；(2)如圖1,當(dāng)。P與。O外切時，求y 與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)/OCA= /OPC

7、時，求。P的半 徑.圖1【答案】(1)如圖2,作OEXAB,垂足為 在 RtzXAOE 中，cos/ BAO=JAE(2)如圖 2,作 CHXAP,AO垂足為由 AOABs APAC,7日AOWAB在 RtAACH 中,所 AH gACP-E,由垂徑定理，得 AB=2AE.1 3， H.會所以cos/ CAH = L 得 32 2:,CH AC3AO=3,所以 AE=1.所以 AB = 2.所以ACAC32.2AH AC CH4.2 x .9在 RtAOCH 中,(3“OPC.2、29X) .由 oc2=oh2+ch2,得y2(詈x)2因此 OA OC.所以 OC2 OA OP .OC OP解

8、方程36x2 4x 9 3(3 x),得x 15.此時。P的半徑為15 . 81344如圖4,圖5,當(dāng)OP與。內(nèi)切時，同樣的 OABs/XPAC, ac如圖 5,圖 6,如果/ OCA=/OPC,那么 ACOs/XAPC.所以JAO處.因此AC 2 AO AP .AC AP解方程(2x)2 3x ,得x 巴.此時。P的半徑為 巴. 344圖4圖5圖6例題4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(0,4),點B的 坐標(biāo)為(4,0),點C的坐標(biāo)為( 4,0),點P在射線AB上運動，連結(jié)CP與y軸交 于點D,連結(jié)BD.過P、D、B三點作。Q,與y軸的另一個交點為 E,延長DQ 交。

9、Q于F,連結(jié)EF、BF.(1)求直線AB的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)點P在線段AB (不包括A B兩點)上時.求證：/ BDE=/ADP;設(shè)DE = x, DF =y,請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B、D、F為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1?如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理 由【答案】(1)直線AB的函數(shù)解析式為y= x+ 4.(2)如圖 2, / BDE=/CDE = /ADP;如圖 3, / ADP = /DEP+/DPE,如圖 4, / BDE= / DBP + / A, 因為/ DEP=/DBP,所以/ DPE=/A=

10、45° .所以/ DFE = / DPE=45° .因此 DEF是等腰直角三角形.于是得到 y V2x.圖2圖3圖4(3)如圖5,當(dāng)BD ： BF = 2 ： 1時，P(2,2).思路如下：由DMBs/XBNF,知 bn -DM 2 .2設(shè) OD=2m,FN=m,由 DE=EF,可得 2m+2 = 4m.解得 m再由直線CD與直線AB求得交點P(2,2).因此 D(0,4) .P(8,4).思路同上.例題 5.在 RtzXABC 中，/C = 90° , AC = 6, sin b 3,。B 的半徑長為 1, OB 交 5邊CB于點P,點。是邊AB上的動點.(1)

11、如圖1,將。B繞點P旋轉(zhuǎn)180°得到。M ,請判斷。M與直線AB的 位置關(guān)系；(2)如圖2,在(1)的條件下，當(dāng) OMP是等腰三角形時，求OA的長；(1)(3)如圖3,點N是邊BC上的動點，如果以NB為半徑的。N和以O(shè)A為 半徑的。外切，設(shè)NB = y, OA=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.圖1圖2圖3【答案】在 RtzXABC 中，AC = 6, sin b -, 5所以 AB=10, BC=8.過點M作MD LAB,垂足為D.在 RtBMD 中，BM=2, sin b 理 3 ,所以 MD £.BM 55因止匕 MD > MP , O M 與直線 AB離.圖

12、4(2)如圖4, MO>MD>MP,因此不存在MO = MP的情況.如圖5,當(dāng)PM = P。時，又因為PB=PO,因此 BOM是直角三角形.在 RtBOM 中，BM=2, cosb 空 4 ,所以 BO -.此時 OA BM 555如圖6,當(dāng)OM = OP時，設(shè)底邊MP對應(yīng)的高為OE.在RDBOE中，BE=3, cosb 空 4 ,所以bo竺.此時OA絲. 2BO 588圖5圖6(3)如圖7,過點N作NFXAB,垂足為F.聯(lián)結(jié)ON.當(dāng)兩圓外切時，半徑和等于圓心距，所以O(shè)N = x+y.在 RtBNF 中，BN=y, sinB 3, cosB ,所以 NF 3y , BF 豈. 55

13、55在 RtzXONF 中，OF AB AO BF 10 x 4y ,由勾股定理得 ON2=OF2+NF2.5于是得到(x y)2 (10 x y)2 (3y)2 .55例題6.如圖1,甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，點O為坐標(biāo)原點.甲沿AO 方向、乙沿BO方向均以每小時4千米的速度行走，t小時后，甲到達(dá)M點，乙到達(dá)N點.(1)請說明甲、乙兩人到達(dá)點 。前，MN與AB不可 能平行；(2)當(dāng) t 為何值時，OMNs/XOBA?(3)甲、乙兩人之間的距離為 MN的長.& s=MN2, 求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最 小化【答案】當(dāng)M、N都在0右側(cè)時，黑2/12J黑

14、V/，所以0M ON.因此MN與AB不平行.0A 0B(2)如圖2,當(dāng)M、N都在。右側(cè)時，/ 0MN>/B,不可能 OMNs oba.如圖3,當(dāng)M在0左側(cè)、N在0右側(cè)時，/M0N>/ BOA,不可能 0MN“OBA.如圖4,當(dāng)M、N都在0左側(cè)時，如果OMNsOBA,那么 受 O0M 0B所以4L_6 2,解得t=2.4t 2 6圖3圖42(1(3)0H 1MH2t).圖2如圖2, 0M2 4t,2t ,NH ON OH (6 4t) (1 2t) 5 2t.如圖 3, 0M 4t 2, OH 2t 1, MHV3(2t 1).NH ON OH (6 4t) (2t 1) 5 2t.

15、如圖 4, 0M 4t 2, OH 2t 1 ,MHV3(2t 1).NH OH ON (2t 1) (4t 6) 5 2t.綜合、，s MN2 MH 2 NH2 3(2t 1) 2 (5 2t)216t2 32t 28 16(t 1)2 12 .所以當(dāng)t=1時，甲、乙兩人的最小距離為12千米.例題7.已知點(1, 3)在函數(shù)y -(x 0)的圖像上，矩形ABCD的邊BC在x軸上，E xk是對角線BD的中點，函數(shù)y - (x 0)的圖像經(jīng)過A、E兩點，若 ABD 45 , x求E點的坐標(biāo).【解析】點(1, 3)在函數(shù)y k的圖像上，kx3.又E也在函數(shù)y k的圖像上，故設(shè)x3E點的坐標(biāo)為(m,

16、) m過E點作EFX軸于F ,則EF m又E是對角線BD的中點，AB CD2EF -故A點的縱坐標(biāo)為6,代入y 3中，得A點坐標(biāo)為（m, -6）. mx2 m因止匕 BF OF OB m m m.由 ABD 45 ,得 EBF 45 , BF EF .22即有m 3.解得m 76 .而m 0,故m灰.則E點坐標(biāo)為（加，豆）. 2 m2【答案】（旗,苴）2例題8.如圖，POA、 PAA2都是等腰直角三角形，點R、P2在函數(shù)y -（x 0）的圖 x像上，斜邊OA、AA2、都在x軸上，求點A2的坐標(biāo).【解析】分別過點P、B做x軸的垂線，根據(jù)題意易得 RC OC , BD AD ,PC OC 4, P

17、，D OD 4,得 OA 4J2 ,所以 A2(4V2, 0).【答案】A2(4 2, 0).例題9.如圖所小，Pi,y1,P2x2,y2, ,Pnxn, yn在函數(shù)y - x 0的圖象上,xOPA , SAA ,PAA,，pAiA,都是等 腰直角 三角形，斜邊OA , AA2，A A都在x軸上,則y1 V2【解析】由已知易得Pi 3, 3，則H3,點巳橫坐標(biāo)為6 V2,那么可得6 y2 y2 9,解得y2 3<2 3,同理點P3橫坐標(biāo)為6&y3,那么可得672 y3 y3 9,解得 y3 3 3 3 .2,依此類推，Pn的縱坐標(biāo)為yn 3而3"!. yi y2 Vn

18、3 3夜 3 3褥 3J2 3而 3/nl 3亦.【答案】3 n1例題10.如圖，P是函數(shù)y (x 0)圖象上一點，直線y x 1父x軸于點A,父y軸 2x于點B, PM Ox軸于M,交AB于E, PN Oy軸于N ,交AB于F .求AF BE的 值.yiO M ax【解析】設(shè)點P(x, y),過點E、F分別作x軸的垂線，易得AF 2y , BE 72x ,AF BE 2xy 1 .【答案】1例題11.已知：在矩形AOBC中，OB 4, OA 3.分別以O(shè)B, OA所在直線為x軸和y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.F是邊BC上的一個動點(不與B, C重合)，過F點的反比例函數(shù)y k(k 0

19、)的圖象與AC邊交于點E. x(1)求證：4AOE與BOF的面積相等；(2)記S Sa oef Sa ecf,求當(dāng)k為何值時，S有最大值，最大值為多少？(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F ,使得將4CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明：設(shè)E(。y1) , F(x2, y2), AAOEAFOB的面積分別為S , & ,XiX2 c11 , ci1 , , S二 Xiyi k, S2 x2y2二 k-2222S S2,即AOE與FOB的面積相等.(2)E, F兩點坐標(biāo)分別為SA AOESA BOFSA ECF12k,3 3

20、1 k24k4，SA ECF 12 kSA ECF二 S1 .2,k k . 1212 6時，S有最大值.12 1 "T12(3)解：設(shè)存在這樣的點F ,將沿EF對折后,C點恰好落在OB邊上的M點,ENMB3MBMB _ _ 2 Q MB 解得kBF過點E作EN OB,垂足為N .1由題意得：EN AO 3, EM EC 4 -k , MF 3EMN FMB FMB MFB 90o EMN MFB .又; ENM MBF 900, AENM smbf .EMMF1143k41酋31k31k412942_ 2BF MF ,21*8k 2j4 32存在符合條件的點F,它的坐標(biāo)為4,短例題12.如圖，點Am,m 1 , B m 3,m 1都在反比例函數(shù)y k的圖象上. x（1）求m,k的值;（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，