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1、第1頁(yè)共 16 頁(yè)竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)文檔 /雙擊可除數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)心得篇一:數(shù)學(xué)物理方程的感想數(shù)學(xué)物理方程的感想通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)物理方程一學(xué)期的學(xué)習(xí),我深深的感受到數(shù) 學(xué)的偉大與博大精深。當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展到一定高度時(shí),就會(huì)變得越來(lái)越難懂, 越來(lái)越抽象,沒(méi)有多少實(shí)際的例子來(lái)說(shuō)明;物理正好也要利 用數(shù)學(xué)來(lái)進(jìn)行解釋和公式推導(dǎo),所以就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)物理方法。 剛開(kāi)始到結(jié)束這門(mén)課程都成了我的一大問(wèn)題。很難理解它的 真正意義(含義) ,做題不致從何入手,學(xué)起來(lái)越來(lái)越費(fèi)勁 讓我很是絞盡腦汁。后來(lái)由于老師耐心的指導(dǎo)與幫助下我開(kāi)始有了點(diǎn)理解。 用數(shù)學(xué)物理方法來(lái)解釋一些物理現(xiàn)象,列出微分方程,當(dāng)然 這些微分方程是以物理的理論
2、列出來(lái)的,如果不借助于物理 方法,數(shù)學(xué)也沒(méi)有什么好辦法來(lái)用于教學(xué)和實(shí)踐,而物理的 理論也借助于數(shù)學(xué)方法來(lái)列出方程,解出未知的參數(shù)。這就 是數(shù)學(xué)物理方法的根本實(shí)質(zhì)所在。真正要學(xué)好數(shù)學(xué)物理方程不僅要數(shù)學(xué)好物理也不能夠太差第2頁(yè)共 16 頁(yè)接下來(lái)我想先對(duì)數(shù)學(xué)物理方程做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹與解 釋說(shuō)明。數(shù)學(xué)物理方程一一描述許多自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)形式都 可以是偏微分方程式特別是很多重要的物理力學(xué)及工程過(guò)程的基本規(guī)律的數(shù)學(xué)描述都是偏微分方程,例如流體力學(xué)、電磁學(xué)的基本定 律都是如此。這些反映物理及工程過(guò)程的規(guī)律的偏微分方程 人們對(duì)偏微分方程的研究,從微分學(xué)產(chǎn)生后不久就開(kāi)始 了。例如,18 世紀(jì)初期及對(duì)弦線的橫向振動(dòng)
3、研究,其后,對(duì) 熱傳導(dǎo)理論的研究,以及和對(duì)流體力學(xué)、對(duì)位函數(shù)的研究, 都獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程信其有效的解法。到19 世紀(jì)中葉,進(jìn)一步從個(gè)別方程的深入研究逐漸形成了偏微分的一般 理論,如方程的分類(lèi)、特征理論等,這便是經(jīng)典的偏微分方 程理論的范疇。然而到了 20 世紀(jì)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,在科學(xué)實(shí) 踐中提出了數(shù)學(xué)物理方程的新問(wèn)題,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為數(shù) 學(xué)物理方程的研究成果提供了強(qiáng)有力的實(shí)現(xiàn)手段。又因?yàn)閿?shù) 學(xué)的其他分支(如泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、群論、微分幾何等等) 也有了迅速發(fā)展,為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20 世紀(jì)關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的研究有了前所未有的發(fā)展,這些發(fā)展呈如下特點(diǎn)和趨勢(shì)
4、:一、 在許多自然科學(xué)及工程技術(shù)中提出的問(wèn)題的數(shù)學(xué)描 述大第3頁(yè)共 16 頁(yè)多是非線性偏微分方程,即使一些線性偏微分方程作近 似處理的問(wèn)題,由于研究的深入,也必須重新考慮非線性效 應(yīng)。對(duì)非線性偏微分方程研究,難度大得多,然而對(duì)線性偏微分方程的 已有結(jié)果,將提供很多有益的啟示。二、 實(shí)踐中的是由很多因素聯(lián)合作用和相互影響的。所 以其數(shù)學(xué)模型多是非線性偏微分方程組。如反應(yīng)擴(kuò)散方程組, 流體力學(xué)方程組電磁流體力學(xué)方程組,輻射流體方程組等, 在數(shù)學(xué)上稱(chēng)雙曲拋物方程組。三、 數(shù)學(xué)物理方程不再只是描述物理學(xué)、力學(xué)等工程過(guò) 程的數(shù)學(xué)形式。而目前在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、環(huán)保 領(lǐng)域,甚至在經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)住房
5、領(lǐng)域都不斷提出一些非常 重要的偏微分方程。四、 一個(gè)實(shí)際模型的數(shù)學(xué)描述, 除了描述過(guò)程的方程(或方程)外,還應(yīng)有定解條件(如初始條件及邊值條件)。傳統(tǒng)的描述,這些條件是線性的,逐點(diǎn)表示的。而現(xiàn)在提出的 很多定解條件是非線性的,特別是非局部的。對(duì)非局部邊值問(wèn)題的研究是一個(gè)新的非常有意義的領(lǐng)域。五、 與數(shù)學(xué)其他分支的關(guān)系。例如幾何學(xué)中提出了很多 重要的非線性偏微分方程, 如極小曲面方程,調(diào)和映照方程, 方程等等。泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)及群論等現(xiàn)代工具在偏微分方第4頁(yè)共 16 頁(yè)程的理論研究中被廣泛應(yīng)用,例如空間為研究線性信非線性 偏微分方程提供了強(qiáng)有力的框架和工具。廣義函數(shù)的應(yīng)用使 得經(jīng)典的線性微分方程
6、理論更系統(tǒng)完善。再就是計(jì)算機(jī)的廣 泛應(yīng)用,計(jì)算方法的快速發(fā)展,特別是有限元廣泛的應(yīng)用, 使得對(duì)偏微分方程的研究得以在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)和檢驗(yàn)。接下來(lái)舉幾個(gè)例子來(lái)更確切的了解數(shù)學(xué)物理方程。(一)檢驗(yàn)下面兩個(gè)函數(shù):u(x,y)?ln都是方程 1u(x,y)?exsinyuxx?uyy?的解。證明:(1) u(x,y)?lnlux??21(x?y)2322x?2x?2x?y2x2?y2?x?2xx2?y2uxx?2222(x?y)(x?y2)211yuy?(?)?2y?232x?y2222因?yàn)?x?y)x2?y2?y?2yy2u?x2 yy?(x2?y2)2?(x2?y2)2x2?y2y2?x2uxx?uy
7、y?(x2?y2)2?(x2?y2)2?0所以 u(x,y)?uxx?uyy?O 的解。(2) u(x,y)?exsiny因?yàn)閡x?siny?ex,uxx?siny?exuy?ex?cosy,uyy?ex?siny所以u(píng)xx?uxxyy?esiny?esiny?0u(x,y)?exsiny 是方程 uxx?uyy?O 的解。(二)求解下述定解問(wèn)題:?uxx?uyy?OO?x?a,O?y?b?u(O,y),u(a,y)?OO?y?b?u(x,O)?g(x),u(x,b)?OO?x?a解:u?u1(x,y)?u2(x,y)其中 u1(x,y)滿(mǎn)足?uxx?uyy?00?x?a,0?y?b?(1)?
8、u(0,y)?0,u(a,y)?00?y?b?u(x,0)?g(x),u(x,b)?00?x?a?u2(x,y)滿(mǎn)足?uxx?uyy?00?x?a,0?y?b? (2)?u(0,y)?f(y),u(a,y)?00?y?b?u(x,0)?0,u(x,b)?00?x?a?第 5 頁(yè)共 16 頁(yè)第7頁(yè)共 16 頁(yè)用分離變量法解得(1)得a2?1n?n?(y?b)n?xu1(x,y)?gsind?shsinan?1sh(n?b/a)?Oaaab2?1n?n?(x?a)n?yu2(x,y)?f(?)sind?shsinbn?1sh(n?a/b)?0bbb(三)求解定解問(wèn)題?utt?a2uxx,0?x?l
9、,t?0?uxx?0?0,ux?l?0,t?0?3u?x,utt?O?O,O?x?l?t?O解:令特解 u(x,t)?x(x)T(t) 滿(mǎn)足齊次方程和齊次邊界條件,則T?(t)x?(x)2?x(x)T(t)?ax(x)T(t)2aT(t)x(x) ?T?(t)?a2T(t)?0?,代入邊界條件得 x?(0)?x(l)?0 從而得到?jīng)Q定??x(x)?x(x)?O?x?(x)?x(x)?0 x(x)的如下常微分方程邊值問(wèn)題??x(O)?x(l)?O?1?0,r?0,r?x(x)?界條件有 2?be 帶入邊?A?b?0?因?yàn)橄禂?shù)行列式?0 所以 A?b?Oe?be?O?第8頁(yè)共 16 頁(yè)即 x(x)
10、?O,無(wú)非零解。2?0,通解 x(x)?Ax?b 帶入邊界條件有?A?O?A?b?O,即 x(x)?0,無(wú)非零解。??AI?b?O3?0, r2?0,r?,通解 x(x)?A?b所以 x?(x)?帶入邊界條件有?1?b?0?(k?)?,k?0,1,2?2?cos?0(k?1/2)?2, k=0,1 , 2?所以?k?l特征函數(shù)為 xk(x)?Akcosu(x,t)?Tk(t)cosk?0?(k?1/2)?xl(:數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)心得)(k?1/2)?xlTk?(t)?(k?1/2)?a2Tk(t)?0l再代入初始條件得:(k?1/2)?xu(x,0)?Tk(0)cos?x3 lk?0?(k?1
11、/2)?xut(x,0)?Tk?(0)cos?0lk?0?2l3(k?1/2)?xTk(0)?x?cosdx?k0ll 由正交性知2l(k?1/2)?xTk?(0)?0?cosdx?00ll篇二:數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)資料匯總數(shù)學(xué)物理方法資料匯總(10.09)第一章分離變量法methodofseparationofVariables第9頁(yè)共 16 頁(yè)ut?kuxx,x?0,l,u(0,t)?u(l,t)?0,u(x,0)?f(x)suppose u(x,t)?x(x)T(t)hencex(x)T(t?)kx(x)T(tx(0)T(t)?0,x(l)T(t)?0 x(x)T(0?)f(x)Asforeq.(1),rearrangingtheequationgivesT(t)kT(t)?x(x)x(x)
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