分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用李煥煥（合肥市永和學(xué)校 398179292 ）摘 要：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題 得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答關(guān)鍵詞 ：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；正確分類；解題；應(yīng)用Abstract : In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification,can makes complex ofproblem get clear, full, closely o

2、f answers.引 言 :數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)， 是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂， 因此 在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透是極其重要的。初中數(shù)學(xué)中常見的思想方法 有函數(shù)與方程的思想方法，化歸轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，分類討論的思想方法，數(shù) 形結(jié)合的思想方法，整體的思想方法等。、分類討論思想1. 含義及意義 在研究和解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)遇到許多種不同的情況，有些問題無法用同 一種形式解決，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的。因此，我們需要把所要研究的問 題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將其劃分成幾個(gè)能用不同形式解決的小 問題，然后再將這些小問題一一解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問

3、題的答案。這 就是我們常說的分類討論法，而運(yùn)用這種方法的思想就是分類討論思想。分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重 要的解題策略分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生 對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中 占有重要的位置2. 分類討論的要求、原則及其意義 分類討論的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)應(yīng)用分類討論 思想解決問題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此基礎(chǔ)上減少分類，簡化分類討論過程 為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則進(jìn)行，在 初中階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則 :

4、（1）同一性原則 分類應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行， 即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不 同的分類根據(jù)（2）互斥性原則 分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排 斥，分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)（3）相稱性原則 分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與 母項(xiàng)的外延相等（4）層次性原則 分類有一次分類和多次分類之分， 一次分類是對(duì)被討論對(duì)象 只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類，直到滿 足需要為止分類討論的意義：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素 無法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分 為若干類或

5、若干個(gè)局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，可 以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答。3. 優(yōu)勢(shì)及劣勢(shì) 運(yùn)用分類討論思想解題的優(yōu)勢(shì)是可將復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡單的問題，便 于解答；恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摽杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，養(yǎng)成周 密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。運(yùn)用分類討論思想解題的劣勢(shì)是容易將一些問題的解答變得繁瑣，耗費(fèi)大量的 時(shí)間；容易形成一種思維定勢(shì)，不易于培養(yǎng)創(chuàng)新、有效的解題能力。 二、運(yùn)用分類討論思想解題正確運(yùn)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)。但運(yùn)用分類討論思想解決問題， 必須遵循一定的原則，明確如何進(jìn)行分類，知道引起分類討論的原因，明白解題的 一般步驟，才能

6、保證解答的正確性。運(yùn)用分類討論思想解題的原則主要體現(xiàn)在如何進(jìn)行分類上。在對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行 劃分時(shí)，我們應(yīng)該遵循以下四個(gè)原則：劃分應(yīng)是相稱的，劃分后子項(xiàng)的總和應(yīng)與母 項(xiàng)相等；劃分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，對(duì)分類的對(duì)象應(yīng)按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不能同時(shí)用幾種 依據(jù)去劃分；劃分的子項(xiàng)必須相互排斥，進(jìn)行分類后，有些元素不能既屬于這個(gè)子 項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)；劃分不能越級(jí)，要按層次一級(jí)一級(jí)進(jìn)行分類。運(yùn)用分類討論思想解題， 必須明白解題的一般步驟。 首先，明確是否需要分類； 然后確定分類討論的對(duì)象；接著，進(jìn)行合理的分類；逐步逐級(jí)分類討論，得到階段性成果；最后，歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。3 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

7、1. 分類討論思想在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定義題中的應(yīng)用 有些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)概念是分類給出的，如絕對(duì)值、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念 等。例1、若 a 2016, b 2，求 a b的值。 4 分析：這道題考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值定義的掌握、運(yùn)用情況。由于絕對(duì)值的定義是 分類給出的，a a 0a 0 a 0a a 0所以a,b 分別有兩個(gè)值，這個(gè)時(shí)候，求a+b的值就需要進(jìn)行分類討論解：因?yàn)閍a 2016,2所以a 2016,b 2 當(dāng)a2016, b2時(shí)，ab 2018 ；當(dāng)a2016,b2 時(shí)， ab 2014 ；當(dāng)a2016,b2 時(shí)， a b 2018 ；當(dāng)a2016,b2 時(shí)， ab 2014 2. 分類討

8、論思想在運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算要求限制下的應(yīng)用在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)式子來進(jìn)行解題和運(yùn)算，很 多變形和運(yùn)算是受條件限制的 例 2、已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的 3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為 8，求這兩個(gè)數(shù)； 若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？2分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息， “數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè) 意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用 分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為 x，乙數(shù)為 y 由題意得： ， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)， y在原點(diǎn)右側(cè)，即

9、x<0 ，y>0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原點(diǎn)右側(cè)， y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x>0 ，y<0，則 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6（2數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x<0 ，y<0，則 -2y=8 ，所以 y=-4,x=-12 若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x>0 ，y>0，則 2y=8 ，所以 y=4,x=123. 分類討論思想在數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式限制下的應(yīng)用有些定理或公式本身具有限制條件。 如，有些函數(shù)的單調(diào)性具有增減兩種可能， 遇到時(shí)就要進(jìn)行分類討論。例3. 已知函救 y（m-1）x2（m-2

10、）x1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和 x軸只有 一個(gè)交點(diǎn)，求 m的值。 4分析：這里從函數(shù)分類的角度討論， 分 m1=0 和 m 1 0 兩種情況來研究解 決問題。解：當(dāng)ml 時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù) y x1，它與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（ -1， 0）。當(dāng) m-1 0時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù) y（ m1）x2（m2）x1當(dāng)（ m2）2+4（m1）=0，得 m=0。拋物線 y= x22x1，的頂點(diǎn)（ 1， 0）在x軸上。4. 分類討論思想在參數(shù)不確定的題中的應(yīng)用 有時(shí)方程、不等式、函數(shù)式中所含參數(shù)取不同的值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不同，因此 需要進(jìn)行分類討論。例4、解關(guān)于x的不等式：ax 2 （a 1）x 1

11、 0。7分析：這是一個(gè)含參數(shù) a的不等式， 它不一定是一個(gè)二次不等式， 故首先對(duì)二次 項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a0，（2）a=0，對(duì)于（ 2），不等式易解；對(duì)于（ 1），又需再次 分類： a>0或 a<0，因?yàn)樵谶@兩種情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式的解 集可能是在兩根之外， 也可能是在兩根之間。 當(dāng)確定這一點(diǎn)后， 又會(huì)遇到 1與-1 誰大 誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故解題時(shí)，需要作三級(jí)分類。解：（1）當(dāng) a 0時(shí)，原不等式化為 x 1 0 x 112）當(dāng) a 0時(shí)，原不等式化為 a（x 1）（x ） 0 a若a0，則原不等式化為(x 1)(x1a) 01011不等式

12、解為 x1 或x 1aaa若 a0，則原不等式化為(x 1)(x1a) 0i ）當(dāng) a 1時(shí)， 1 1，不等式解為 1 x 1 aa1（ii ）當(dāng)a 1時(shí)， 1，不等式解為 xa1(iii )當(dāng) 0 a 1時(shí)，1，不等式解為1x1aa綜上所述，得原不等式的解集為當(dāng) a 0時(shí)，解集為 xx1或x1a當(dāng)a 0時(shí) ，解 集 為 x|x 1當(dāng) 0 a 1時(shí)，解集為x1x1a；當(dāng)a 1時(shí)， 解集為 ；當(dāng) a 1時(shí)，解集為 x1x1a2例5、已知關(guān)于 x的函數(shù) y （m 4）x （2m 1）x m 的圖像與 x軸總有交點(diǎn)，求 m的 取值范圍。 8分析：函數(shù)中最高項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，所以它的取值

13、有多種可 能性，這時(shí)我們就需要進(jìn)行分類討論。題目說函數(shù)圖象與 x 軸總有交點(diǎn)，并沒有說 明有幾個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有可能是一次函數(shù)，有可能是二次函數(shù)。所以未知數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)要分類討論。解：（1）當(dāng) m 40 ，即 m4 時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng) m 40時(shí)，此時(shí)函數(shù)為二次函數(shù)，2(2m 1)4(m 4)m 0 ，解得m112 ，所以當(dāng)m4m10且12 時(shí)，函數(shù)圖像與 x 軸有交點(diǎn)m1綜合（ 1）（2），當(dāng)12 時(shí)，圖像與 x 軸總有交點(diǎn)。5. 分類討論思想在圖形不確定的題中的應(yīng)用 由于題目未明確給出圖形的所有元素， 所以會(huì)導(dǎo)致圖形不確定， 引起分類討論 例 6、如果三

14、角形的兩邊長分別是 23cm和10cm，第三邊的長與其中一邊的長度相等， 那么第三邊的長是多少？ 9分析：由于題中所求的第三邊與其中一邊相等 , 但是不明確具體是與哪條邊相 等，因此需分兩種情況討論。 若不作兩種情況的分類討論， 可能會(huì)出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解。 解：（1）當(dāng)?shù)谌叺拈L為 23cm 時(shí)，其三邊長分別為 23cm、23cm、10cm,它們滿 足三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊。因此，這三邊能構(gòu)成三角形，所以第三 邊的長為 23cm；（2）當(dāng)?shù)谌叺拈L為 10cm時(shí)，其三邊長分別為 10cm、 10cm、 23cm。因?yàn)?0 10 23 ，所以它不能構(gòu)成三角形，故第三邊長不能為 10cm。

15、 綜上所述，第三邊的長為 23cm。例7. 已知兩圓的半徑分別是 5cm和 4cm，公共弦長為 6cm，則這兩圓的圓心距 為。分析：由圓的對(duì)稱性，兩圓的公共弦可在兩圓心之間，也可以在兩圓心同 旁。答案： 4+根號(hào)7和4-根號(hào)76. 分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用也比較常見，尤其是解含有約束條件的 排列組合問題時(shí)，運(yùn)用分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題簡單化。例8、在正方體的 8個(gè)頂點(diǎn)中， 12條棱的中點(diǎn)， 6個(gè)面的中心及正方體的中心共 27個(gè)點(diǎn) 中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？ 9解：依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類：1）兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有8722

16、8（個(gè)）；2）兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組，共有3）兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有61212 323（個(gè)）；18（個(gè)）；所以總共有 28 3 18 49（個(gè)）。7. 分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來，考試命題中出現(xiàn)了大量的實(shí)際應(yīng)用題。這種應(yīng)用題，往往需要運(yùn)用 分類討論思想才能順利解決。例9、某超市春節(jié)期間舉行促銷優(yōu)惠活動(dòng)， 方案一： 憑50元錢購買會(huì)員卡， 憑會(huì)員卡 購買超市內(nèi)商品享受八折優(yōu)惠；方案二：若不購買會(huì)員，則購買超市內(nèi)商品只能享 受九折優(yōu)惠。（ 1）若按照方案一購買商品應(yīng)付款額為 y1（元），若按照方案二購買商品應(yīng)付款額為 y2（元），購買商品的價(jià)格為 x元，請(qǐng)用含有

17、x的代數(shù)式表示 y1和y2；（ 2）購買商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購買方案更劃算？8解：（ 1） y1=50+0.8x ，y2=0.9x 。（2）當(dāng)y1>y2時(shí)，50+0.8x>0.9x ，解得x<500；當(dāng)y1=y2時(shí)，50+0.8x=0.9x ，解得 x=500；當(dāng)當(dāng)y1<y2時(shí)，50+0.8x<0.9x ，解得x>500； 所以當(dāng)購買商品的價(jià)格小于 500元時(shí)，選擇方案二更劃算， 當(dāng)購買商品的價(jià)格等于 500 元時(shí)，選擇兩種方案一樣劃算， 當(dāng)購買商品的價(jià)格大于 500元時(shí)，選擇方案一更劃算。四 、如何簡化分類討論分類討論是一種重要的解題策略，但他

18、不是萬能的，不是唯一的，對(duì)于分類討論 的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢(shì)，要認(rèn)真 審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡 化分類討論過程，從而提高分類討論的效果五、 總結(jié)通過以上的例子，可以發(fā)現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是非常廣泛 的。通過探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中集合，函數(shù)，不等式，排列組合等中的應(yīng) 用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究，使問題化整為零， 各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答它能使 許多看似復(fù)雜的問題簡單化，也能全面地解答一個(gè)問題。在使用分類討論思想解題 時(shí)，首先需要明白為何要進(jìn)行分類討論，再者要遵循