MINITAB統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1、distribution ,如果X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,S2服從個(gè)自由度的卡方分布，且MINITAB統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1 .正態(tài)總體的抽樣分布1) 樣本均值X的分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及T分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：T分布的定義：Student t 它們相互獨(dú)立，那么隨機(jī)量t分布。其分布密度函數(shù)為:ZN(0 , 1),求Z=1.98時(shí)的概率密度。計(jì)算-概率分布-正態(tài)分布-概率密度-輸入常數(shù)1.98-確定所服從的分布稱為丫個(gè)自由度的當(dāng)Y 0c時(shí)的極限分布即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,當(dāng)y =1時(shí)就是Cauchy分布。T分布只包含1個(gè)參數(shù)口。數(shù)學(xué)期望和方差分別為0, y -2 ( y w 1時(shí)期望不存在， 2方差不存在)。我們常常用

2、tv表示u個(gè)自由度的t分布。MINITAB對(duì)于更一般的t分布還增加了一個(gè) “非中心參數(shù)”，當(dāng) 非中心參數(shù)為0時(shí)，就得到了我們現(xiàn)在所說的t分布。在用MINITAB計(jì)算時(shí)，只要注意這一點(diǎn)就行了。自由度：可以簡(jiǎn)單理解為在研究問題中，可以自由獨(dú)立取值的數(shù)據(jù)或變量的個(gè)數(shù)。范例：概率密度函數(shù)正態(tài)分布，均值 =0 和標(biāo)準(zhǔn)差=1x f( x )1.98 0.0561831Z-N0 , 1 ,求 PZ2.4。計(jì)算-概率分布-正態(tài)分布-累積I率-輸入常數(shù)2.4-確定累積分布函數(shù)正態(tài)分布，均值 =0 和標(biāo)準(zhǔn)差=1x P( X = x )2.40.991802Z-N(0 , 1),求使得 P(Zx)=0.95 成立的

3、x值，即Z的0.95分位數(shù)。計(jì)算-概率分布-正態(tài)分布-逆累積概率-輸入常數(shù)0.95-確定逆累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 =0 和標(biāo)準(zhǔn)差=1 P( X = x ) x0.95 1.64485自由度二12,求使得 PZx=0.95 成立的x值。確定計(jì)算-概率分布-t分布-逆累積概率-輸入自由度12-輸入常數(shù)0.95逆累積分布函數(shù)學(xué)生t分布，12自由度P( X = x ) x 0.95 1.7822自由度二12,求使得Pt W3。計(jì)算-概率分布-t分布-累積I率-輸入自由度12-輸入常數(shù)3-確定2)3)累積分布函數(shù)學(xué)生t分布，12自由度x P( X = x )30.994467雙樣本均值差的分布正態(tài)

4、樣本正態(tài)樣本方差 S2的分布卡房卡方分布若X1, X2, ,Xn是從正態(tài)總體 Ng b2中抽出的一組樣本量為 n的獨(dú)立隨機(jī)樣本，記則當(dāng)科已知時(shí)：X ZfX 00i=i當(dāng)口未知時(shí)，用X替科后可以得到（口 一空U2V（Xi-X）2 “1、=2 必5-1）其概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布?？ǚ椒植嫉亩x：把 n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和稱為自由度為n的卡方分布。它的密度表達(dá)式為：參數(shù)Y >1稱為自由度?？ǚ椒植加邢蛴业钠?，特別在較小自由度情況下（Y越小，分布越偏斜）。我們常用x 2 丫表達(dá)自由度為Y的卡方分布?？ǚ椒植加泻芏嘤猛?，其中一項(xiàng)就是用來分析單個(gè)正態(tài)總體樣本方差的狀況；

5、還可以用來進(jìn)行分布的擬合 優(yōu)度檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)資料是否符合某種特定分布；對(duì)于離散數(shù)據(jù)構(gòu)成的列聯(lián)表，也可以用來分析兩個(gè)離散型 因子間是否獨(dú)立等?？ǚ椒植嫉男再|(zhì)a）卡方分布的加法性：設(shè) X和丫彼此獨(dú)立，且都服從卡方分布，其自由度分別為n1, n2o若令Z=X+Y則Z服從自由度為n1+n2的卡方分布。b） 若 Xx 2n 貝U EX=n , VX=2n 。計(jì)算下列各卡方分布的相關(guān)數(shù)值：自由度二10,求使得 P x2<x=0.95 成立的x值。計(jì)算-> 概率分布-> 卡方分布-> 逆累積概率 -> 自由度=10 ->常數(shù)=0.95 ->確定逆累積分布函數(shù)卡方分布，

6、10自由度P( X <= x )0.95 18.307自由度=10,求Px 2W 2&計(jì)算-> 概率分布-> 卡方分布-> 累積I率-> 自由度=10 ->常數(shù)=28 ->確定累積分布函數(shù)卡方分布，10自由度x P( X <= x )280.9981954) 兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布F分布兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布是F分布。設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體N(履，b?和N(科2, b?,它們的方差相等。又設(shè) Xi, X2,，Xn是來自N(l,b2的一個(gè)樣本 Yi, Y2,，Yn是來自N(科2, 的一個(gè)樣本，這兩樣相互獨(dú)立。它們的樣本方

7、差之比是自 由度為n-1和m-1的F分布：F = zz- =F(n 1, m 1)FIX即L=1n-1稱為分子自由度；m-1為分母自由度；F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。實(shí)際上，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量就是由兩個(gè)卡方隨機(jī)變量相除所構(gòu)成的，如果Xx 2 丫,1 Yx 2 y 2且二者相互獨(dú)立,則稱二者比值的分布為 F分布，即其密度函數(shù)是:F分布的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在判斷兩正態(tài)總體方差是否相等以及方差分析(ANOVA)等問題上面。計(jì)算F0.95 (8, ,18)的數(shù)值。計(jì)算->概率分布->F分布->逆累積概率->分子自由度=8 ->分母自由度=18 ->常數(shù)=0.

8、95>確定逆累積分布函數(shù)F分布，8分子自由度和18分母自由度P( X <= x )0.95 2.510162.參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1)點(diǎn)估計(jì)的概念用單個(gè)數(shù)值對(duì)于總體參數(shù)給出估計(jì)的方法稱為點(diǎn)估計(jì)。設(shè)？是總體的一個(gè)未知參數(shù)，Xi, X2,，Xn是從總體中抽取的樣本量為n的一個(gè)隨機(jī)樣本，那么用來估計(jì)未知參數(shù)？的統(tǒng)計(jì)量 © (Xi, X2, -Xn)稱為？的估計(jì)量，或稱為 ？的點(diǎn)估計(jì)。我們總是在參數(shù)上方畫一個(gè)帽子"常表示該參數(shù)的估計(jì)量。在工程中經(jīng)常出現(xiàn)的點(diǎn)估計(jì)問題之最好結(jié)果是：? 對(duì)于總體均值 , w=X ;? 對(duì)于總體方差 (t2 ,(t2=S2 ;?對(duì)于比率p , p=Xn

9、 , X是樣本量為n的隨機(jī)樣本中我們感興趣的那類出現(xiàn)的次數(shù)；? 對(duì)于 國-/，晨-科2= X1-X2 (兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本均值之差)；?對(duì)于P1 - p2,估計(jì)為 P1 -P2 (兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本比率之差)；2)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)3.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)？是總體的一個(gè)待估參數(shù)，從總體中獲得樣本量為n的樣本是X1,X2,，Xn,對(duì)給定的顯著性水平a(0< a < 1),有統(tǒng)計(jì)量：？L= ?L(X1,X2,，Xn)與？U= ?U(X1,X2,，Xn),若對(duì)于任意？有 P (?L<?<?U)=1 - a,則稱隨機(jī)區(qū)間?l, ?u是？的置信水平為1-a的置信區(qū)間，？1與？u分別稱為置信

10、下限和置信上限。置信區(qū)間的大小表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的精確性，置信水平表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的可靠性，1- a是區(qū)間估計(jì)的可靠程度，而 a表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的不可靠程度。在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，必須同時(shí)考慮置信水平與置信區(qū)間兩個(gè)方面。對(duì)于置信區(qū)間的選取，一定要注意，決 不能認(rèn)為置信水平越大的置信區(qū)間就越好。實(shí)際上，置信水平定的越大，則置信區(qū)間相應(yīng)也一定越寬，當(dāng)置信 水平太大時(shí)，則置信區(qū)間會(huì)寬得沒有實(shí)際意義了。這兩者要結(jié)合在一起考慮，才更為實(shí)際。通常我們?nèi)≈眯潘?平為0.95,極個(gè)別情況下可取 0.99或0.90, 一般不取其他的置信水平。1) 單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間當(dāng)X N(, b2時(shí)，正態(tài)總體均值的置信區(qū)間有以下三

11、種情況：a)當(dāng)總體方差er 2已知時(shí)，正態(tài)總體均值科的1 - a置信區(qū)間為：式中，Z1- a 2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1- a 2分位數(shù)，也就是雙側(cè) a 分位數(shù)。例如a =0.05時(shí),Z0.975=1.96 。在MINITAB中，我們通過： 統(tǒng)計(jì)-> 基本統(tǒng)計(jì)量-> 單樣本Z來實(shí)現(xiàn)的。由于實(shí)際情況中，已知標(biāo)準(zhǔn)差的情況很少見，因此我們這里重點(diǎn)關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)差位置時(shí)的情況。b）當(dāng)總體方差 b2未知時(shí)，b用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，此時(shí)正態(tài)總體均值科的1 - “置信區(qū)間為:式中，t1-a2n-1表示自由度為n -1的t分布的1- a 2分位數(shù)，也就是t分布的雙側(cè)a分位數(shù)。例如 a =0.05 時(shí)，樣本量

12、 n = 16 時(shí)，t0.97515=2.131 ,其值略大于 Z0.975=1.96 。在MINITAB中，我們通過： 統(tǒng)計(jì)-> 基本統(tǒng)計(jì)量-> 單樣本t來實(shí)現(xiàn)的。某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動(dòng)，下表為 20個(gè)月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：174218271681174216761680179217351687185186117781747167817541799169716641804170假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用均值的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)-> 基本統(tǒng)計(jì)量-> 單樣本t ->樣本所在列=運(yùn)輸費(fèi)用-> 選項(xiàng)-> 置信水平=95 &g

13、t;確定。單樣本T:運(yùn)輸費(fèi)用均值標(biāo)變量 N 均值標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤 95%置信區(qū)間運(yùn)輸費(fèi)用20 1745.261.913.8 (1716.2, 1774.2)c)前兩種情況討論的是當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，科的區(qū)間估計(jì)，然而當(dāng)總體不是正態(tài)分布時(shí)，如果樣本量n超過30,則可根據(jù)中心極限定理知道：X仍近似服從正態(tài)分布，因而仍可用正態(tài)分布總提示的均值 W的區(qū)間估計(jì)方法，而且可以直接用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，即采用公式：在MINITAB中，通常直接采用：統(tǒng)計(jì)-> 基本統(tǒng)計(jì)量-> 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū)間結(jié)果。只不過要注意的是：總體非正態(tài)時(shí)，在小樣本情況下此結(jié)果并不可信，只有當(dāng)樣本量超過3

14、0后，由于中心極限定理的保證，此結(jié)果才是可信的。2)單正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間當(dāng)X N(1, (t2時(shí)，正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是:(n l)Sa (n 1)S2="(n 1) ' X6 a(n - L)式中，x-“22n-1和X" 22n-1分別是 1-a2分位數(shù)與 a 2分位數(shù)。 當(dāng)X N(, b2時(shí)，正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間是：(口-1將3tc某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動(dòng)，下表為20個(gè)月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù):1742182716811742167616801792173516871851861177817471678175417991697166

15、41804170假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量 -> 單方差->樣本所在列=運(yùn)輸費(fèi)用-> 選項(xiàng)->置信水平=95確定。單方差檢驗(yàn)和置信區(qū)間：運(yùn)輸費(fèi)用 方法卡方方法僅適用于正態(tài)分布。Bonett方法適用于任何連續(xù)分布。統(tǒng)計(jì)量變量 N標(biāo)準(zhǔn)差方差運(yùn)輸費(fèi)用2061.9 383095%置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差置信方差置信區(qū)變量 方法區(qū)間間運(yùn)輸費(fèi)用卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170)Bonett (49.0, 86.6) (2401,7507)求總體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-圖形化匯總-變量

16、：運(yùn)輸費(fèi)用 置信水平：95-確定運(yùn)輸費(fèi)用匯總A邛方工比F X0. 8s增罡1745. 2歸洋建.61.9方差Md i+支二4?比1；蜂定96692-3期最小工t6610寫一口丁二奇由.$匕42S總?cè)鼐V的k17n 31%1C裝心境疊孟通區(qū)回171£.2177J.2期=-二蚊面看區(qū)司16H. i工蕭E 79Sft量信區(qū)間潮 W£lfflEn47. I90, i3)單總體比率的置信區(qū)間當(dāng)Xb(1 , p)時(shí)，也就是X取“非0則1”的0-1分布，我們常需要估計(jì)總體中感覺的那類比率的置信區(qū) 間，比如，一批產(chǎn)品中，不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中，有抱怨顧客的比率范圍等。這里我

17、們記總體比率為 p,樣本比率為 p ?？梢宰C明，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)(要求 np>5及np (1-p) >5), 且p值適中(0.1<p<0.9),則可用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布，因而近似有： p N(p , p1-pn)。因此，由p 服從的正態(tài)分布構(gòu)造總體比率 p的置信區(qū)間為：L 7 rpg-p) 3碗-2一電視臺(tái)為了調(diào)查新節(jié)目收視率，在節(jié)目放映時(shí)間內(nèi)進(jìn)行了電話調(diào)查。在接受調(diào)查的2000名被調(diào)查者中有1230名正在收看本節(jié)目。求此節(jié)目收視率的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-單比率-匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù) =1230,實(shí)驗(yàn)數(shù)=2000-選項(xiàng)-置信水平:95 ;勾選使用正態(tài)分布的檢

18、驗(yàn)和區(qū)間 確定由于np5及np (1-p) 5,可用于正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，故可以勾選使用基于正態(tài)分布的檢驗(yàn)和區(qū) 間。單比率檢驗(yàn)和置信區(qū)間樣本 X N 樣本p 95%置信區(qū)間11230 2000 0.615000 （0.593674, 0.636326）使用正態(tài)近似。4)雙總體均值差的置信區(qū)間設(shè)有兩個(gè)總體 XN（口，b12）,YN（門b22）,從總體X中抽取的樣本Xi,X2,，Xn,樣本均值為X ,樣本方差為SX2 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 SX ,從總體丫中抽取的樣本丫1, 丫2,，Yn,樣本均值為 丫，樣本方 差為SY2 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 SY。對(duì)兩總體均值差異2的區(qū)間估計(jì)常有以下三種情況：a）兩個(gè)總

19、體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差d 12 b 22都已知時(shí)，兩總體均值差異科1- 口的1-“置信水平下的置信區(qū)間為：只要樣本量足夠大，無論兩總體的方差是否相等，上式都成立。b）兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差b 12= b 22t勻未知時(shí)，兩總體均值差異1-科2的1-“置信水平下的置信區(qū)間為：#、 11 1(n 4- m - 2)Sd i d Jn m(X - Y) t n (n + in _ 2)Sp I + 一, (X Y) -F t t式中,一家冶金公司需要減少其排放到廢水中的生物氧需求量含量。用于廢水處理的活化泥供應(yīng)商建議，用純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此數(shù)

20、值越小越好）。從兩種處理的廢水中分別抽取10個(gè)和9個(gè)樣品，數(shù)據(jù)如下：空氣18419415821818621816517219117氧氣163185178183171140155179175已知生物氧需求量含量服從正態(tài)分布，試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均值之差的95%置信區(qū)間。求兩總體1-科2的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本t-樣本在不同列中：第一=空氣,勾選假定等方差-選項(xiàng)：置信水平=95,備擇=不等于-確定。雙樣本T檢驗(yàn)和置信區(qū)間：空氣，氧氣 空氣與氧氣的雙樣本T均值標(biāo)N 均值標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤空氣10 186.520.06.3氧氣9 169.914.74.9差值=mu

21、 （空氣）-mu （氧氣） 差值估計(jì)值：16.61 差值的95%置信區(qū)間：（-0.58, 33.80）差值 =0 （與 w ）的T檢驗(yàn)：T值 =2.04 P值=0.057自由度 =17兩者都使用合并標(biāo)準(zhǔn)差=17.7356c)的1-當(dāng)兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差b 12w b 22未知時(shí)，兩總體均值差異1-科2“置信水平下的置信區(qū)間為：式中，自由度u的計(jì)算公式為:假定A, B兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒，關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑。由于A使用的是老式車床，B使用的是新式車床，二者精度可能有差異。 經(jīng)檢驗(yàn)，他們的直徑數(shù)據(jù)確實(shí)來自兩個(gè)方差不等的正態(tài)分布?，F(xiàn)他們各測(cè)定13根軸棒直徑，數(shù)據(jù)如下：12

22、345678910111213A14.714.214.015.010.612.116.618.212.211.216.613.416.86128587041755B12.310.213.113.213.810.910.512.811.613.512.413.212.57886067374242試確定A, B生產(chǎn)的軸棒直徑差異的95%置信區(qū)間。求兩總體 W1-2的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本t-樣本在不同列中：第一=空氣,第二士氣-選項(xiàng)：置信水平=95,備擇=不等于-確定。雙樣本A工人A工人B工人T檢驗(yàn)和置信區(qū)間：A工人，B工人刁B工人的雙樣本T均值標(biāo)N均值標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)誤1314.322.35

23、0.651312.361.150.32差值=mu （A工人）-mu （B工人）差值估計(jì)值：1.965差值的95%置信區(qū)間：（0.435, 3.496）差值 =0 （與 w）的T檢驗(yàn)：T值 =2.71 P值=0.015自由度 =17獨(dú)立隨機(jī)樣本取自均值1,科2未知，標(biāo)準(zhǔn)差未知的兩個(gè)正態(tài)分布總體，若第一個(gè)總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1=0.73,樣本量n=25, X=6.9 ,第二個(gè)總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差S2=0.89,樣本量n=20, 丫=6.7。求襄-的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本t-匯總數(shù)據(jù)：第一（樣本數(shù)量=25,均差=6.9,標(biāo)準(zhǔn)差=0.73）,第二（樣本數(shù)量=20,均差=6.7,標(biāo)準(zhǔn)差=0.89） -選項(xiàng)：置信水平 =95 -確定。雙樣本t （檢除和置信區(qū)間）樣本在一列中也樣本01）: |下標(biāo)m： |廣樣本在不同列中co：第一（F）： |案二a I國匯總數(shù)據(jù)m 樣本數(shù)一；均fi：標(biāo)準(zhǔn)差：第一 的；,云|Tg