函數(shù)的單調(diào)性及極值

1、一、一、二、二、三、三、下一頁上一頁返回一、一、下一頁上一頁返回 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，在開上連續(xù)，在開區(qū)間區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). .(1)(1)若在若在( (a, b) )內(nèi)內(nèi) f (x) 0， 則則函數(shù)函數(shù) y=f (x) 在在 a, b 上上單調(diào)減少單調(diào)減少. . ( (2) )若在若在( (a, b) )內(nèi)內(nèi) f (x) 0， 則函數(shù)則函數(shù) y=f (x) 在在 a, b 上上單調(diào)增加單調(diào)增加. .定理定理1(1(函數(shù)單調(diào)性的充分條件函數(shù)單調(diào)性的充分條件) )下一頁上一頁返回證明證明 在在 a, b 上上任取兩點任取兩點x1, ,x2

2、，不妨設(shè)不妨設(shè) x1 0，x(a , b), 則則 f ( ) 0, 于是可得于是可得在在因因此此，即即)(, )()( 0)()(1212xfxfxfxfxf a, b上單調(diào)增加上單調(diào)增加. . ( (2) )若若f (x) 0，x(a , b), 則則 f ( ) 0, 于是可得于是可得在在因因此此，即即)(),()( 0)()(1212xfxfxfxfxf a, b上單調(diào)減少上單調(diào)減少. . 下一頁上一頁返回幾何意義：幾何意義：若曲線若曲線y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)的切線與在某區(qū)間內(nèi)的切線與x軸正向夾角是銳角，則曲線在該區(qū)間內(nèi)上升；軸正向夾角是銳角，則曲線在該區(qū)間內(nèi)上升；若這個夾角是鈍角，則

3、曲線在該區(qū)間內(nèi)下降若這個夾角是鈍角，則曲線在該區(qū)間內(nèi)下降說明：說明：（1）閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b若為開區(qū)間、半開區(qū)間或無若為開區(qū)間、半開區(qū)間或無窮區(qū)間，結(jié)論同樣成立窮區(qū)間，結(jié)論同樣成立 （2 2）定理）定理1 1表明，可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定可表明，可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個別點導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個別點處為零，而在其余點處均滿足定理處為零，而在其余點處均滿足定理1 1的條件，的條件，那么定理那么定理1 1的結(jié)論仍然成立的結(jié)論仍然成立 下一頁上一頁返回確定函數(shù)確定函數(shù) f(x) 單調(diào)性的一般步驟：單調(diào)性的一般步驟： （1 1）確定函數(shù)確定函數(shù) f(x)

4、 的定義域；的定義域； （2 2）求出一階導(dǎo)數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù) f (x)，確定使確定使f (x)=0及及f (x)不存在的點；不存在的點；（3 3）用（用（2 2）所得的點將定義域劃分為若）所得的點將定義域劃分為若干子區(qū)間，列表確定干子區(qū)間，列表確定f (x) 在各個子區(qū)間內(nèi)在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而判定函數(shù)的符號，進(jìn)而判定函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間 下一頁上一頁返回例例1解解 ( (1) )該函數(shù)該函數(shù)的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為( ( , ) )( (2) ) f (x) = x2 - - 3 x- -4= = (x + + 1)(x - - 4)， 令令f (x) = 0，得得 x1

5、 = - - 1，x 2= = 4 14233123 xxxxf求求函函數(shù)數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間 (3) (3)列表討論如下列表討論如下( (表中記號表中記號表示單調(diào)增加，表示單調(diào)增加，記號記號表示單調(diào)減少）：表示單調(diào)減少）： x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,4) ) ( (4, ) ) f (x) f (x)下一頁上一頁返回 所以所以(-, -1)和和(4, +)是是 f(x) 的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間, (-1, 4)是是 f(x) 的遞減區(qū)間的遞減區(qū)間. . 此例說明此例說明，導(dǎo)數(shù)為零的點可能是單調(diào)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)為零的點可能是單調(diào)區(qū)間的分界點另外，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)分界

6、點另外，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點間的分界點 例如例如，函數(shù)，函數(shù)y=x在點在點x=0處連續(xù)，但它在處連續(xù)，但它在x=0處不可導(dǎo)在區(qū)間處不可導(dǎo)在區(qū)間( (-, 0) )內(nèi)內(nèi)，y0，函數(shù)單調(diào)增加，函數(shù)單調(diào)增加，所以點所以點 x=0是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點 下一頁上一頁返回例例2 2 .,1exexx 時時證證明明當(dāng)當(dāng)證明證明,)(exexfx 設(shè)設(shè).), 1()(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在所所以以 xf:,), 1 )(從而有從而有內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在又又xf.0)1()(,1 fxfx時時當(dāng)當(dāng).exex , 0)(,1 eexfxx有有時時當(dāng)當(dāng),1,時時當(dāng)當(dāng)因因此此

7、x下一頁上一頁返回二、二、下一頁上一頁返回定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點在點 x0及其左右近旁有定義及其左右近旁有定義，若對于若對于x0的左右近旁異于的左右近旁異于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，則稱則稱 f (x0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的的極大值極大值，x0 稱為稱為 f (x) 的的極大值點極大值點；( (2) ) f (x0) f (x)， 則稱則稱 f (x0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的的極小值極小值，x0 稱為稱為 f (x) 的的極小值點極小值點；函數(shù)的極大值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值，

8、極大值點極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點.下一頁上一頁返回如圖所示，如圖所示， x1，x4 為為 f (x) 的極大值點，的極大值點，x2，x5 為為 f (x) 的極小值點的極小值點.y = f (x)yxOx1x2x3x4x5 函數(shù)的極值概念是局部性的函數(shù)的極值概念是局部性的. .說說 f(x0)是極大值或是極大值或極小值，只是與極小值，只是與 x0 附近點附近點x的函數(shù)值的函數(shù)值 f(x)相比較相比較 因此，就整個定義區(qū)間而言，因此，就整個定義區(qū)間而言，一個函數(shù)可能有若一個函數(shù)可能有若干個極大值或極小值，而且有的極大值可能比有的極干個極大值或極小值，而且有的極大值可能比

9、有的極小值還小小值還小下一頁上一頁返回設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo)，且且 f (x0) 為極值，為極值，則必有則必有 f (x0) = 0.即即f (x0 x ) - - f (x0) 0， x 0 . 證明證明(1)(1)設(shè)設(shè) f (x0) 是極大值，則必有是極大值，則必有 00 xfxxf 由定理條件知由定理條件知f (x0)存在，故有存在，故有0 )()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx下一頁上一頁返回0 )()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx.)(.0)(,00證證明明是是極極小小值值的的情情形形可可類類似似必必有有綜綜上上所所述

10、述xfxf 幾何意義：幾何意義： 可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點處的可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點處的切線與切線與 x 軸平行軸平行. .駐點駐點：使得導(dǎo)數(shù)：使得導(dǎo)數(shù) f (x0) = 0 的點的點 x0 . . 定理定理2 2說明，說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是駐點. . 反之，反之，函數(shù)的駐點不一定是極值點函數(shù)的駐點不一定是極值點 另外，另外，一階不可導(dǎo)點也可能是極值點一階不可導(dǎo)點也可能是極值點. .下一頁上一頁返回 例如例如，x=0 是函數(shù)是函數(shù) f(x)=x3的駐點而不的駐點而不是它的極值點；函數(shù)是它的極值點；函數(shù) f(x)=x在在 x=0 處處不可導(dǎo)，但不可導(dǎo)，但 f(0)=0是

11、它的極小值是它的極小值. . 駐點和一階不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為函數(shù)的駐點和一階不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為函數(shù)的極極值嫌疑點值嫌疑點. .那么極值嫌疑點是不是極值點，那么極值嫌疑點是不是極值點，如果是極值點，它是極大值點還是極小值如果是極值點，它是極大值點還是極小值點，如何判斷？為了解決這些問題有下面點，如何判斷？為了解決這些問題有下面的定理：的定理： 下一頁上一頁返回定理定理 3 ( (極值的第一充分條件極值的第一充分條件) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點在點x0 的左右近旁可導(dǎo)的左右近旁可導(dǎo)( (在點在點x0 處處可以不可導(dǎo)可以不可導(dǎo)，但必須連續(xù)但必須連續(xù)) )，若當(dāng)若當(dāng) x 在在x0 的左右近旁的左右近旁由

12、小于由小于 x0 連續(xù)地變?yōu)榇笥谶B續(xù)地變?yōu)榇笥?x0 時時， f (x0) 改變符號改變符號，則函數(shù)則函數(shù) f (x) 在點在點x0取得極值取得極值，且且( (1) )若導(dǎo)數(shù)若導(dǎo)數(shù) f (x) 由正變負(fù)由正變負(fù)， 則則f (x0) 為為函數(shù)函數(shù) f (x) 的的極小值，極小值，x0 0為極小值點為極小值點. .( (2) )若導(dǎo)數(shù)若導(dǎo)數(shù) f (x) 由負(fù)變正由負(fù)變正， 則則 f (x0)為函數(shù)為函數(shù) f(x) 的的極大值極大值，x0為極大值點為極大值點. . (3)(3)若若f (x)不變號，則不變號，則f (x0)不是函數(shù)不是函數(shù) f (x)的極值，的極值，x0不是極值點不是極值點. .下一

13、頁上一頁返回運(yùn)用定理運(yùn)用定理 3 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的極值點和極值的的極值點和極值的一般步驟是：一般步驟是：( (1) )確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域. .( (2) )求出一階導(dǎo)數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù)f (x)，確定確定f(x)的極值嫌疑點的極值嫌疑點. .(4)(4)求出各極值點處的函數(shù)值，得到函數(shù)求出各極值點處的函數(shù)值，得到函數(shù)f(x)的的 全部極值全部極值. .( (3)3)用用極值嫌疑點劃分定義域，列表討論極值嫌疑點劃分定義域，列表討論f (x)的的 符號變化，確定極值點符號變化，確定極值點. .下一頁上一頁返回求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x - -1) 3 的極值的極值. .2x

14、 (1) f (x)的定義域為的定義域為(-, +). 33132325132)() 2(xxxxxxf . 0,52, 0)(21 xxxf不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點得得駐駐點點令令（3）列表討論如下：列表討論如下：下一頁上一頁返回x(-(- , 0) )f (x)0 52, 052 ,52+ +不存在不存在- -0+ +f (x)極大值極大值025453 極極小小值值352, 0)0(0, xfx在在點點取取得得極極大大值值函函數(shù)數(shù)在在所所以以.25453)52(3 f取取得得極極小小值值下一頁上一頁返回例例4 4 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x 2- 1)3 - 1的極值的極值. .解解(1)

15、(1)f(x)的定義域為的定義域為 (- - ,+,+ ).(2) f (x) =3 (x 2- - 1)2 2x=6x(x +1+1)2 (x - - 1)2,令令 f (x) = 0 , 得駐點得駐點 x1=-1 , x2=0 , x3=1. .（3）列表討論如下：列表討論如下：下一頁上一頁返回( (1, + + ) )x(-(- , 1) )f (x)-1 0, 1 1 , 01- -0- -0+ +0+ +f (x)無極值無極值2 極小值極小值無極值無極值0 所以，函數(shù)在點所以，函數(shù)在點 x=0 取得極小值取得極小值 f(0)=-2 ，函數(shù)沒有極大值函數(shù)沒有極大值 下一頁上一頁返回定理

16、定理 4( ( 極值的第二充分條件極值的第二充分條件 ) )( (1) )若若 f (x0) 0，則，則 f(x0) 為函數(shù)為函數(shù)f (x)的極的極小值，小值， x0為極小值點為極小值點. .( (證明從略證明從略) )若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 則函數(shù)則函數(shù)f (x)在點在點x0 0取得取得極值極值，且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點在點 x0 的二階導(dǎo)數(shù)存在的二階導(dǎo)數(shù)存在，若若下一頁上一頁返回運(yùn)用定理運(yùn)用定理4求函數(shù)求函數(shù)f(x)的的極值點和極值的極值點和極值的一般步驟是：一般步驟是：(1)(1)確定定義域確定定義域. .(3)(3)考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點處的符

17、號，確考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點處的符號，確 定極值點定極值點. .(4)(4)求出極值點處的函數(shù)值，取得函數(shù)求出極值點處的函數(shù)值，取得函數(shù) f(x) 的的 全部極值全部極值. .(2)(2)求出一階導(dǎo)數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù)f (x)，確定確定f(x)的所有駐點的所有駐點. .下一頁上一頁返回例例5 5求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x4 10 x2 + + 5 的極值的極值. .解解 ( (1) ) f (x)的定義域為的定義域為 (- - , , + + ).(2) f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)，令令 f (x) = 0 ,得駐點得駐點.5, 0,5321 xxx(

18、(3)3)因為因為 f (x) = 12x2 20， 于是有于是有, 040)5( f, 020)0( f. 040)5( f所以所以函數(shù)函數(shù) f(x) 在點在點 x=0 取得極大值取得極大值 f(0) =5,.20)5(5 fx取取得得極極小小值值在在點點下一頁上一頁返回 三、三、下一頁上一頁返回 分析分析：若函數(shù)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上上連續(xù)，連續(xù)，那么它在那么它在 a, b 上一定有最大值和最小值顯上一定有最大值和最小值顯然，在所設(shè)條件下，然，在所設(shè)條件下，f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b的最值的最值只可能在極值點和區(qū)間的端點處達(dá)到只可能在極值點和區(qū)間的端點處達(dá)到 又因為

19、又因為極值點只能在極值嫌疑點中去找，所以只極值點只能在極值嫌疑點中去找，所以只要求要求出全部極值嫌疑點和兩個端點處的函數(shù)值，然出全部極值嫌疑點和兩個端點處的函數(shù)值，然后加以比較，最大的就是最大值，最小的就是后加以比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值最小值 下一頁上一頁返回例例6 6 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x3-3x2 -9x+ 5在在 -2,6上的最上的最大值和最小值大值和最小值. .解解f (x) = 3x2 - 6x 9 =3(x+1)(x-3), 令令 f (x) = 0，得駐點得駐點 x1= -1, x2= 3. 計算計算f(x)在在所有駐點及端點處的函數(shù)值：所有駐點及端點

20、處的函數(shù)值：f(-1)=10 , f(3)=-22 , f(-2)=3 , f(6)=59, 比較這些值的大小，可知，比較這些值的大小，可知， 在在-2,6上，函數(shù)上，函數(shù)f(x)的最大值為的最大值為f(6)=59, 最小最小值為值為f(3)=-22. .下一頁上一頁返回例例7 7解解函數(shù)函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間-1,1上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有1 , 145)(3 在在閉閉區(qū)區(qū)間間求求函函數(shù)數(shù)xxf.上上的的最最大大值值和和最最小小值值 1 , 1,4534)(32 xxxf)(,1, 1, 0)(xfxxf所所以以函函數(shù)數(shù)不不存存在在點點，且且 上上的的最最大大值值在在故故函函數(shù)數(shù)單

21、單調(diào)調(diào)減減少少在在1, 1)(.1, 1 xf.1)1(,9)1(3 ff最最小小值值是是是是沒沒有有駐駐點點，也也沒沒有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在可可以以看看出出)()1 , 1(,xf 下一頁上一頁返回 在在實際問題實際問題中，若分析得知函數(shù)中，若分析得知函數(shù)f(x)確實存在最大值或最小值，而所討論的確實存在最大值或最小值，而所討論的區(qū)間內(nèi)僅有一個極值嫌疑點區(qū)間內(nèi)僅有一個極值嫌疑點x0，則則 f(x0)就是所要求的最大值或最小值就是所要求的最大值或最小值 下一頁上一頁返回例例8 8要建造一個容積為要建造一個容積為V ( (正常數(shù)正常數(shù)) )的圓柱形密的圓柱形密閉容器，問應(yīng)怎樣選擇圓柱形容器的半徑閉容器，