高等數(shù)學(xué)第七章微分方程試題及答案

1、第七章 常微分方程 一變量可分離方程及其推廣 1變量可分離的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加） （2）方程形式： 通解 2變量可分離方程的推廣形式 （1）齊次方程 令， 則 二一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 它也是變量可分離方程，通解，（為任意常數(shù)） 2一階線性非齊次方程 用常數(shù)變易法可求出通解公式 令 代入方程求出則得 3伯努利方程 令把原方程化為 再按照一階線性非齊次方程求解。4方程：可化為 以為自變量，為未知函數(shù) 再按照一階線性非齊次方程求解。三、可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達(dá)式通解令，則

2、，原方程一階方程，設(shè)其解為，即，則原方程的通解為。令，把看作的函數(shù)，則把，的表達(dá)式代入原方程，得一階方程，設(shè)其解為即，則原方程的通解為。 四線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 （1） 二階非齊次線性方程 （2） 1若，為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合（，為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)（為常數(shù)），也即與線性無關(guān)時，則方程的通解為 2若，為二階非齊次線性方程的兩個特解，則為對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個特解。 3若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解，則

3、為此二階非齊次線性方程的一個特解。 4若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應(yīng)的二階齊次線性方程的通解（，為獨(dú)立的任意常數(shù)）則是此二階非齊次線性方程的通解。 5設(shè)與分別是與 的特解，則是 的特解。五二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1二階常系數(shù)齊次線性方程 其中，為常數(shù)， 特征方程特征方程根的三種不同情形對應(yīng)方程通解的三種形式（1）特征方程有兩個不同的實根，則方程的通解為（2）特征方程有二重根 則方程的通解為（3）特征方程有共軛復(fù)根， 則方程的通解為2階常系數(shù)齊次線性方程 其中為常數(shù)。 相應(yīng)的特征方程 特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。（1）若特征方程有個不同的實根則方程通解 （2）若為

4、特征方程的重實根則方程通解中含有 y=（3）若為特征方程的重共軛復(fù)根，則方程通解中含有 由此可見，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。六、二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程： 其中為常數(shù) 通解： 其中為對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解如何求？ 1其中為次多項式，為實常數(shù)， （1）若不是特征根，則令 （2）若是特征方程單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 2 或 其中為次多項式，皆為實常數(shù)（1）若不是

5、特征根，則令（2）若是特征根，則令例題：一、齊次方程1.求的通解解：令 ，2. 解：，令.(將y看成自變量), 所以 , , , , .二、一階線形微分方程1. 解：可得. 這是以y為自變量的一階線性方程解得 . , . 所以得解 .2.求微分方程的通解解：變形得：，是一階線性方程 三、伯努力方程解：， ，令 , ，. 解得 ， 于是 四、可降階的高價微分方程1.求的通解 解：令,原方程化為 屬于一階線性方程 2.解：令，得到 令, 得到為關(guān)于y的一階線性方程. ，解得 所以 , .于是 , , , , 得到, 得解 五、二階常系數(shù)齊次線形微分方程1.解：特征方程 ，于是得解 2.，解：特征方

6、程 , , , 得通解為 由 得到 , , , 得特解 六、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程 1.求的通解 解：先求齊次方程的通解，特征方程為，特征根為。因此齊次方程通解為設(shè)非齊次方程的特解為為特征根，因此設(shè),代入原方程可得，故原方程的通解為2.求方程的通解 解：特征方程為，特征根為，因此齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為,由于題目中不是特征根，因此設(shè)，代入原方程可得，解聯(lián)立方程得，因此故原方程的通解為 3.解：特征根為，齊次方程的通解為：，待入原式得出：，所以，待入原式得出：，所以故原方程的通解為七、作變量代換后求方程的解1.求微分方程的通解解：令 原方程化為化簡為 再令 ，最后Z再返回x,y

7、,v也返回x,即可。2.解：設(shè)，因為所以3. 解：令. 得到, 為一階線性方程解得 . 即 .4.解：令, 則 . 原方程化為 , 為貝奴利方程，.令, 則. 方程化為 , 為一階線性方程. 解得 . 即 , .八、綜合題1.設(shè)f（x）x，其中f（x）連續(xù)，求f（x）解：由表達(dá)式可知f（x）是可導(dǎo)的，兩邊對x求導(dǎo)，則得再對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 即 屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程.對應(yīng)齊次方程通解 ，非齊次方程特解設(shè) 代入方程求出系數(shù)A,B,C,D 則得，故f（x）的一般表達(dá)式由條件和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可知f（0）0，可確定出因此2.已知，是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解.解：

8、由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得，對應(yīng)的齊次方程的解，由解與的形式，可得齊次方程為.設(shè)該方程為，代入，得.所以，該方程為， 其通解為.3.設(shè)內(nèi)滿足以下條件（1）求所滿足的一階和二階微分方程（2）求出的表達(dá)式解：可知所滿足的一階微分方程為（2）將 于是4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是的反函數(shù)（1）試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件，的解。解：（1）由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知 即，兩端關(guān)于x求導(dǎo)得 ，所以。代入原微分方程得 （*）（2）方程（*）所對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)方程（*）的特解為A + B ，代入方程（*）求得A0，B，故，從而的通解是. 由 ，得，故

9、所初值問題的解為.5.設(shè)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，（1） 求微分方程的通解（2）以上這些解中，有沒有以2為周期的解？若有，求出，若無，說明理由。解：（1）先解對應(yīng)的齊次方程：帶入上式，因為（2）若有以為周期的解，滿足： 關(guān)鍵是看是否為周期函數(shù)： ，不是周期函數(shù)，所以沒有為周期的解。6.已知曲線yf(x)（x>0）是微分方程2y/+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線，此曲線通過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為0，試求：（1）曲線yf(x)到x軸的最大距離。（2）計算解：齊次方程通解為：，根據(jù)已知條件特解為：特解代入原式得：，所以，所以通解為：，由已知得：所以，所以求到軸的最大距離，即求的

10、最大值。，當(dāng)時，所以到軸的最大距離為。（2）九、微分方程的幾何和物理應(yīng)用1.設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且過曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程。解：在點(diǎn)的切線方程為：它與軸的交點(diǎn)為，由于，因此于是有，又因為， ，兩邊求導(dǎo)并化簡得：解上述微分方程：設(shè)，則上述方程化為，即，根據(jù)。所以曲線方程為：2.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，為任一點(diǎn)，為上一定點(diǎn)，若極徑，與曲線所圍成的曲邊扇形面積值等于上兩點(diǎn)間弧長值的一半，求曲線的方程。解：因為 由已知可得：，兩邊對求導(dǎo)可得：，即，設(shè)，3.有一在原點(diǎn)處與x軸相切并在第一象限的光

11、滑曲線，P(x,y)為曲線上的任一點(diǎn)。設(shè)曲線在原點(diǎn)與P點(diǎn)之間的弧長為S1，曲線在P 點(diǎn)處的切線在P點(diǎn)與切線跟y軸的交點(diǎn)之間的長度為S2，且=，求該曲線的方程。解：設(shè)曲線方程為， 曲線在P 點(diǎn)的切線方程為： 因此與軸的交點(diǎn)為：，因此因為=，所以兩邊求導(dǎo)得出：，解方程得出：4.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若曲線，直線，與軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積，試求所滿足的微分方程，并求的解.解：由題意可知 則，兩邊對t求導(dǎo)， ，得， 令，當(dāng) 兩邊積分后得，方程通解為，再由，可得5.一個半球體狀的雪球，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)，假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆開始

12、融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時。解：設(shè)雪堆在時刻的體積，表面積為。由已知可得， ，于是，由，又因為，雪球全部融化時，即雪球全部融化需要6小時。6.有一房間容積為100，開始時房間空氣中含有二氧化碳0.12%，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風(fēng)量為10/分的排風(fēng)扇通入含0.04%的二氧化碳的新鮮空氣，同時以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，求排出10分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？解：設(shè)時刻二氧化碳的濃度為，在時間間隔，濃度改變，兩邊積分可得：因為所以7.有一容積為500的水池，原有100的清水，現(xiàn)在每分鐘放進(jìn)2濃度為50%的某溶液，同時每分鐘放出1溶液，試求當(dāng)水池充

13、滿時池中溶液濃度。解：設(shè)時刻溶液中溶質(zhì)的量為，在時間間隔，質(zhì)量改變，這是一階線性微分方程先解對應(yīng)的齊次方程：，再解非齊次方程因為，當(dāng)水池充滿時，分鐘，溶液濃度為8.某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含污染物A的污水量為，流出湖泊的水量為，已知1999年底中湖中A的含量為，超過國家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的濃度不超過，問至多需要經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至以內(nèi)。（設(shè)湖水中A的濃度是均勻的）。解：設(shè)從2000年初（令此時，）開始，第年湖泊中污染物A的總量為，濃度為，則在時間間隔上，排入湖泊中A的量近似為，排出量為：

14、，則在時間間隔上，的改變量為：，分離變量解方程：代入初始條件，于是令，即至多需要經(jīng)過年，湖泊中污染物A的含量才可以降至以內(nèi)。9.已知某車間的容積為 ，其中的空氣含的二氧化碳，現(xiàn)以含二氧化碳的新鮮空氣輸入，問每分鐘應(yīng)輸入多少，才能在分鐘后使車間空氣中二氧化碳的含量不超過，（假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻，且以相同流量排出）。解：設(shè)每分鐘應(yīng)輸入，時刻濃度為，在時間間隔，濃度改變，因為，當(dāng)10.有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 m. 根據(jù)設(shè)計要求，當(dāng)以的速率向容器內(nèi)注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前容器內(nèi)無液體）.(1) 根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與之間的關(guān)系式；(2) 求曲線的方程.解： 液面的面積將以的速