因式分解的八個注意事項及課本未拓展的五個的方法

1、因式分解的“八個注意事項及“課本未拓展的五個的方法一、“八個注意事項(一)首項有負常提負例1把一a2 b2+2ab + 4分解因式.解：-a2-b2+2ab + 4=- ( a22ab+b24) =- (ab + 2) (ab2)這里的“負,指“負號.如果多項式的第一項為哪一項負的,一般要提出負號,使括號內第一項系 數(shù)是正的.預防出現(xiàn)諸如一 a2b2=(a+b) ( ab)的錯誤.(二)各項有公先提公例2因式分解8a4-2a2解:8a4 2a2=2a2(4a2 1)=2a2(2a+1)(2a -1)這里的“公指“公因式.如果多項式的各項含有公因式,那么先提取這個公因式,再進一步 分解因式.預防

2、出現(xiàn)諸如 4a4-a 2= (2a2+a) (2a2-a)而又不進一步分解的錯誤.(三)某項提出莫漏1例3因式分解a3-2a 2+a解：a3-2a 2+a=a(a 2-2a+1)=a(a-1) 21.防這里的“1,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式后,括號內切勿漏掉止學生出現(xiàn)諸如a3-2a2+a=a(a2-2a)的錯誤.(四)括號里面分到“底.例4因式分解x4 3x2 4解：x4+3x2 4= (x2+4) (x21) = ( x2+4) (x+1) (x1)這里的“底,指分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.即分解到底,不能半途而廢的意思.其中包含提公因式要一次

3、性提“干凈,不留“尾巴,并使每一個括號內的多項式都不能再分解.如上例中許多同學易犯分解到x4+3x2-4= (x2+4) (x21)而不進一步分解的錯誤.因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種根本方法之中,與因式分解的四個步驟是一脈相 承的.(五)各式之間必須是連乘積的形式例5分解因式x29+8x=解：x2 9+8x=x2+8x 9=(x 1)(x+9)這里的“連乘積,是指因式分解的結果必須是幾個整式的連乘積的形式,否那么不是因式分解.有些同學只注意到前兩項運用平方差公式,得(x+3) (x - 3)+8x o結果從形式上看右式不是乘積形式,顯然是錯誤的.正解應是：原式 =x?+8x9=(x

4、 1)(x+9)(六)數(shù)字因數(shù)在前,字母因數(shù)在后；例6因式分解3x3 18x2 27 x解：3x3 18x2 27x=3x(x2-6x+9)=3x(x -3)2這里的“數(shù)字因數(shù)在前,字母因數(shù)在后,指分解因式中不能寫成 3x3 18x2 27x=x3(x2-6x+9)= x3(x-3)2(七)單項式在前,多項式在后；例7因式分解x3y xy3解：x3y xy3 =xy(x2-y2)=xy(x+y)(x -y)這里的"單項式在前,多項式在后,指分解因式中不能把單項式寫在后面,即不能寫成 x3y xy3 = (x2-y2) xy = (x+y)(x -y) xy(八)相同因式寫成事的形式;

5、例8因式分解x4y-x 2y3解：x4y-x 2y3=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y)這里的"相同因式寫成嘉的形式,指分解因式中不能相同的因式寫成乘的形式,而應該寫成嘉的形式,即不能寫成x4y-x 2y3=x2y(x2-y2)= xxy(x+y)(x -y)；二、課本未拓展的五個的方法以下五個方法是因式分解中比擬難的一些, 需要大家熟練掌握因式分解根本方法：(1) 提公因式；(2)公式法：平方差公式,完全平方公式及常用公式；(3)十字相乘.只有熟練 掌握了以上三種方法,你才能更好的理解這五種拓展方法.(一)巧拆項：在某些多項式的因式分解過程中,假設將多項式的某一項(或

6、幾項)適當拆 成幾項的代數(shù)和,再用根本方法分解,會使問題化難為易,迎刃而解.例1、因式分解 a2 b2 4a 2b 3解析：根據(jù)多項式的特點,把 3拆成4+ (-1 ),那么 a2b24a 2b 3 = a2b2 4a 2b4 1 (a24a 4) (b22b 1)=(a2)2(b 1)2 (a b1)(a b 3)例2、因式分解 x3 6x2 11x 6解析：根據(jù)多項式的特點,把6x2拆成2x2 4x2；把11x拆成8x 3x那么 x3 6x2 11x 6 = (x3 2x2) (4x2 8x) (3x 6)= x2(x 2) 4x(x 2) 3(x 2) (x 2)(x2 4x 3) (x

7、 1)(x 2)(x 3)(二)巧添項：在某些多項式的因式分解過程中,假設在所給多項式中加、減相同的項,再 用根本方法分解,也可謂方法獨特,新奇別致例3、因式分解x4 4y4解析：根據(jù)多項式的特點,在x4 4y4中添上4x2y2, 4x2y2兩項,4,4,4,22,422/22、22貝U x4y =(x 4x y 4y ) 4x y (x 2y )(2xy)= (x2 2xy 2y2)(x2 2xy 2y2)例4、因式分解x3 3x2 4解析：根據(jù)多項式的特點,將 3x2拆成 4x2 x2,再添上4x, 4x兩項,那么x3 3x2 4= x3 4x2 4x x2 4x 4= x(x2 4x 4

8、) (x2 4x 4) (x2 4x 4)( x 1)=(x 1)(x 2)2(三)巧換元：在某些多項式的因式分解過程中,通過換元,可把形式復雜的多項式變形 為形式簡單易于分解的多項式,會使問題化繁為簡,迅捷獲解.例 5、因式分解(x2 3x 4)( x2 x 6) 24解析：(x2 3x 4)(x2 x 6) 24 = (x 1)(x 4)(x 2)(x 3) 24=(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 (x2 x 2)(x2 x 12) 24設 y x2 x 2 ,那么 x2 x 12 y 10于是,原式=_2_2_2_-y(y10) 24 y10y 24 (y4)( y6)(x

9、x 2 4)(x x 2 6)= (x2x 6)(x2 x8) (x 2)(x3)(x2 x8)例 6、因式分解(x y 2xy)(x y 2) (xy 1)2解析：設x y m, xy n ,那么_2_2(x y 2xy)(x y 2) (xy 1) =(m 2n)(m 2) (n 1)=m2 2mn n2 2m 2n 1 (m n)2 2(m n) 1=(m n 1)2 (x y xy 1)2 (x 1)(1 y) 2 (x 1)2(y 1)2(四)展開巧組合：假設一個多項式的某些項是積的形式,直接分解比擬困難,那么可采取展 開重組合,然后再用根本方法分解,可謂匠心獨具,使問題巧妙得解.例

10、 7、因式分解 mn(x2 y2) xy(m2 n2)解析：將多項式展開再重新組合,分組分解,2222、2222mn(xy ) xy(mn ) =mnxmny xym xyn2222 、= (mnx xym ) (mny xyn ) mx(nx my) ny(nx my) (nx my)(mx ny)例 8、因式分解(mx ny)2 (nx my)2222 2222 22 2斛祈：(mx ny)(nx my) =m x 2mnxy n y n x 2mnxy m y= (m2x2 n2x2) (m2y2 n2y2) x2(m2 n2) y2 (m2 n2)= (m2 n2)(x2 y2)(五)巧用主元：對于含有兩個或兩個以上字母的多項式,假設無法直接分解,常以其中一 個字母為主元進行變形整理,可使問題柳暗花明,別有洞天.例 9、因式分解 x4 3x3 x2y 2x2 2xy解析：將多項式以 y為主元,進行整理x4 3x3 x2 y 2x2 2xy = (x2 2x) y (x4 3x3 2x2)=x(x 2)y x2(x 2)(x 1) x(x 2)(x2 x y)例 10、因式分解 a2b ab2 a2c ac2 b2c bc2 2abc解析