分式方程及其應(yīng)用

1、 分式方程及其使用 課前熱身 1 2 1 方程 2的解是（ ） x 1 x A. 0 B 1 C. 2 D 3 2 1 2 請(qǐng)你給x選擇一個(gè)合適的值，使方程 成立，你選擇的 x=_ x_1 x_2 4. 某服裝廠準(zhǔn)備加工 400 套運(yùn)動(dòng)裝，在加工完 160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原計(jì) 劃提高了 20%結(jié)果共用了 18 天完成任務(wù)，問計(jì)劃每天加工服裝多少套？在這個(gè)問題中，設(shè) 計(jì)劃每天加工 x套，則根據(jù)題意可得方程為 （ ） 【參考答案】 1. C 2.3 3.2 y - =2 4. B y 考點(diǎn)聚焦 知識(shí)點(diǎn)： 分式方程及其使用 大綱要求： 1了解分式方程的概念。 2. 會(huì)解分式方程，掌

2、握其基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。 3. 能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，列分式方程解決實(shí)際問題。 考查重點(diǎn)與常見題型： 考查換元法解分式方程， 有一部分只考查換元的能力， 常出現(xiàn)在選擇題中，另一部分習(xí) 題考查完整的解題能力，習(xí)題出現(xiàn)在解答題中。 3.解方程 2x 3x2 -3 x2 -1 一 x =2 時(shí), 若設(shè) ，則方程可化為 A. 160 400 =18 c. x (1 20%) x 160 400 -160 =18 x 20%x B .空 400 -160 =18 x (1+20%)x D. 400 400 -160 x (1 20%) x =18 【分析】由分式方程的概念可知, 此方

3、程是分式方程，因此根據(jù)其特點(diǎn)應(yīng)選擇其方法是 備考兵法 （1）去分母時(shí)，不要漏乘沒有分母的項(xiàng)【分析】由分式方程的概念可知, 此方程是分式方程，因此根據(jù)其特點(diǎn)應(yīng)選擇其方法是 (2) 解分式方程的重要步驟是檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法是可代入最簡公分母 ，使最簡公分母為 0 的值是原分式方程的增根，應(yīng)舍去，也可直接代入原方程驗(yàn)根 (3) 如何由增根求參數(shù)的值： 將原方程化為整式方程； 將增根代入變形后的整式方程， 求出參數(shù)的值. 考點(diǎn)鏈接 1 分式方程：分母中含有 _ 的方程叫分式方程 2 解分式方程的一般步驟： (1) _ 去分母，在方程的兩邊都乘以 ， 約去分母，化成整式方程； (2) 解這個(gè)整式方程； (

4、3) _ 驗(yàn)根，把整式方程的根代入 ，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是 原方程的增根，必須舍去. 3. 用換元法解分式方程的一般步驟： 設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式； 解所得 到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)中， 求出原未知數(shù)的值； 檢驗(yàn)作答. 4 分式方程的使用： 分式方程的使用題與一元一次方程使用題類似，不同的是要注意檢驗(yàn) 典例精析 2 x + a 例 1 (湖北孝感)關(guān)于x的方程 仝 a = 1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是( x 1 (1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列 ；(2)檢驗(yàn)所求的解是否 A. a 1 B.

5、a 1 且 0 C. av 1 D. av 1 且 az 2 【分析】把分式方程化為整式方程，得 2x a = x -1，解得x - -a -1，因關(guān)于x的方程 【分析】由分式方程的概念可知, 此方程是分式方程，因此根據(jù)其特點(diǎn)應(yīng)選擇其方法是 例 2(陜西省)解方程: 3 X2 -4 =1的解是正數(shù)，所以 x -1 2x -2 =2=1，所以 a = -2. x -1 【答案】D 即-a -1 0 , a ： -1，但 a 二-2 時(shí), 去分母法，并且在解此方程時(shí)必須驗(yàn)根. 2 2 解：去分母得：（x 2） （x 4）=3 . 4x = 5. 5 x 4 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 5是原方程的解. 4 【

6、點(diǎn)評(píng)】去分母法解分式方程的具體做法是：把方程的分母分解因式 后，找出分母的最簡 公分母；然后將方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程化成整式方程.注意去分母時(shí)，不 要漏乘；最后還要注意解分式方程必須驗(yàn)根，并掌握驗(yàn)根的方法. 例 3 （廣西桂林）在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo).經(jīng)測算：甲 隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要 60 天；若由甲隊(duì)先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完 成. （1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款 3.5 萬元，乙隊(duì)施工一天需付工程款 2 萬元.若該工程計(jì) 劃在 70 天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或

7、乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還 是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？ 解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需 x天 1 1 1 根據(jù)題意，得 20 （ ） 24 = 1 60 x 60 解這個(gè)方程，得x =90 經(jīng)檢驗(yàn)，x =90 是原方程的解 乙隊(duì)單獨(dú)完成需 90 天 1 1 （2）設(shè)甲、乙合作完成需 y天，則有（丄 丄）y=1 60 90 解得y =36 （天） 甲單獨(dú)完成需付工程款為 60X3.5=210 （萬元） 乙單獨(dú)完成超過計(jì)劃天數(shù)不符題意. 甲、乙合作完成需付工程款為 36 （3.5+2 ） =198 （萬元） 答：在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢. 【點(diǎn)評(píng)】分式方程的使用，解題

8、時(shí)要檢驗(yàn)，先檢驗(yàn)所求 x?的值是否是方程的解，再檢驗(yàn)是 否符合題意. 迎考精煉 一、選擇題 1. （湖北襄樊）分式方程 的解為（ ） x-3 x-1 A. 1 B 1 C 2 D 3 2. （上海）用換元法解分式方程 匸1 一空 1=0時(shí)，如果設(shè) 匚1 = y ,將原方程化為關(guān)于 X X -1 x y的整式方程，那么這個(gè)整式方程是（ ） 2 2 A. y y-3 = 0 B . y -3y1=0 C. 3y2-y1=0 D. 3y2-y-1=0 3. （浙江嘉興）解方程 的結(jié)果是（ ） 4-X 2-x A. x =-2 B. x =2 C. x=4 D .無解 4. （安徽）甲志愿者計(jì)劃用若干

9、個(gè)工作日完成社區(qū)的某項(xiàng)工作，從第三個(gè)工作日起，乙志愿 者加盟此項(xiàng)工作，且甲、乙兩人工效相同，結(jié)果提前 3 天完成任務(wù)，則甲志愿者計(jì)劃完成此 項(xiàng)工作的天數(shù)是（ ） A. 8 B.7 C. 6 D. 5 1 2 5. （廣西柳州）分式方程 的解是（ ） 2x x+3 A. x=0 B . x=1 C . x=2 D . x=3 二、填空題 7 5 1. （四川宜賓）方程二 5的解是 _ . x十2 x 2x + m 2. （浙江杭州）已知關(guān)于x的方程 m=3的解是正數(shù)，則 m 的取值范圍為 _ . x_2 3. （浙江臺(tái)州） 在課外活動(dòng)跳繩時(shí)，相同時(shí)間內(nèi)小林跳了 90 下，小群跳了 120 下.已

10、知小 群每分鐘比小林多跳 20 下，設(shè)小林每分鐘跳 x下，則可列關(guān)于 x的方程為 _ 2 5 4. （山西太原） 方程 -的解是 _ . x T 2x 5. （黑龍江牡丹江） 若關(guān)于x的分式方程 -1無解，則a = _ . x T x 三、解答題 1. （廣東清遠(yuǎn)）解分式方程: 天的工作效率是原來的 2 倍，結(jié)果共用 7 天完成了任務(wù)，求該廠原來每天加工多少個(gè)零件? 5. （山東青島市） 北京奧運(yùn)會(huì)開幕前，某體育用品商場預(yù)測某品牌運(yùn)動(dòng)服能夠暢銷，就用 32000 元購進(jìn)了一批這種運(yùn)動(dòng)服，上市后很快脫銷，商場又用 68000 元購進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng) 服，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的 2 倍，但每套進(jìn)

11、價(jià)多了 10 元. （1）該商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服多少套? （2）如果這兩批運(yùn)動(dòng)服每套的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤率不低于 一 利潤 價(jià)至少是 多少元？（利潤率 二潤100% ） 成本 【參考答案】 、選擇題 1. D 分析：方程兩邊同乘 x -3 x -1 ,得 x x _1 = x 1 x 3，解得 x - -3，經(jīng)檢驗(yàn) x - -3 是原分式方程的解，故選 D。 2. A 3.D 4.B 5.B 、填空題 1.5 2. 120 90 m *6或m 一 ：-4 3. x+20 x 4. x = 5 分析：本題考查分式方程的解法，方程兩邊冋乘 2x x -1 ,得4x = 5x-5，解得

12、 x =5 5.1 或2 三、解答題 1. 解: 去分母，得x = 3x - 6 解得：x=3 檢驗(yàn)：把x = 3代入原方程得：左邊 =右邊 所以x =3是原方程的解 2.解：去分母，得 x(x 2) 6(x -2) =(x -2)(x 2) 2. 3. 4. x 6 （北京）解分式方程： 1 x-2 x+2 2 1 （廣東?。┙夥匠? X21 X1 （湖北十堰）某工廠準(zhǔn)備加工 600 個(gè)零件，在加工了 100 個(gè)零件后，采取了新技術(shù)，使每 20%那么每套售 解得x =1 經(jīng)檢驗(yàn)X =1是原方程的解 所以原方程的解是 X =1. 3. 方程兩邊同時(shí)乘以 X 1 X -1 , 2= 一 X 1 , x - -3, 經(jīng)檢驗(yàn)：x = -3是方程的解. 4. 解：設(shè)該廠原來每天加工 X個(gè)零件， 100 500 由題意得： 7 X 2X 解得 X=50 經(jīng)檢驗(yàn)：X=50 是原分式方程的解 答：該廠原來每天加工 50 個(gè)零件。 5. 解：(1)設(shè)商場第一次購進(jìn) X套運(yùn)動(dòng)服，由題意得: 6800