第四章不定積分47133

1、1設(B) aarcsinQa -x +C ; a(C) aarcsinx _x a2 _x2C;a(D) arcsin? _ . a2 _x2C.a2 設|x(1 x)精品文檔第四章不定積分、選擇題a +xn r iI ：-dx,貝UI =(- 2 2.a xX22(A) aarcsina(A)-(arctanx)2 C;(B)arctan.x C;(C)(arctan.x)2 C;(D)arctanx C.dx3 設 I = x:x，貝 u I =()e e(A)ex -e* C;(B)arctanex C; (C)arctane» C;(D)ex e» C.4設 I

2、= (2x 3)10dx,則 I =()(A)10(2x-3)9C; (B)20(2x-3)9C; (C) (2x -3)11 C;(D)丄(2X-3)11C.22 11dx5設 I,則 1=()j + Jx(A) -2.x 21 n(1 .x)C;(B) 2 .x 21 n(1.£) C;(C) 2仮一21 n(1+Vx)+C;(D) 2仮一21 n(1 +仮)+C.6 設 I 二 abxdx,則 I =()(A)1-+C:(B)1 ln a abx+c;(C)abx+C;(d)abx+C.b In abln ab7 設F,x)和F2(x)是區(qū)間I內連續(xù)函數(shù)f (x)的兩個不同的原

3、函數(shù)，且f(x)=O,則在區(qū)間I內必有()(A) F1(x)F2(xC ;(B) F1(x) F2(xC ;(C) Fi(x)=CF2(x)；8若 F(x)=f(x),則 dF(x)=()(A) f (x) ；(B) F(x);(D) Fi (x) - F2 (x) = C .(C) f (x) C ；(D) F(x) C.(A)有極限存在；(B)連續(xù)；10 下列各式中正確的是()(A) d f (x)dx二 f (x);(C)df(x) = f (x);11 設 f(x)二 e»,則 f (ln X)dx =()X1(A)C；(B) lnx C;X12 .已知一個函數(shù)的導數(shù)為 y

4、= 2x，且x =1(C) 有界；(D)有有限個間斷點(B) 一 f (x)dx二 f (x)dx; dx(D) df (x)二 f(x) C.1(C) C;( d) - ln x C.X時y = 2 ,這個函數(shù)是()(A) y =x2 C;2(B)y = x 1;2X(C) yC ;(D) y = x 1.213.lnXdx=()(A)2X1lnX14.(A)1x C;X)(4x 1)1011 C;(B)1 1 ln x C ;X(C)1lnX-丄C;X(D)-1lnX9(4x 1)9(B)36 (4x 1)9C;(C)36 (4x 1)9C;(D)36 (4x 1)1 C.9 f (x)在

5、某區(qū)間內具備了條件就可保證它的原函數(shù)一定存在()315設 f (x)dx ln sin 4x C，則 f (x)=()4(A)cot4x;ln x/(B)-cot4x;(C)3cos4x;(D)3cot 4x.16 dx =()X1212ln x1 ln x(A)xln x C;(B)ln x C ;(C)-C ;(D)22 C22XXX精品文檔17.若 f(x)dx=x稱為f（X）的不定積分. 3若f(x)在某區(qū)間上，則在該區(qū)間上f (x)的原函數(shù)一定存在. 已知 f (ex)二 xe"，f(1) = 0，貝U f(x) =. C，則 xf(1x2)dx=()2 2 2 2(A)

6、2(1 x ) C; (B) 2(1 x ) C;1 2 2(C) 2(1 x) C;(D)1一尹x) C.218下列函數(shù)中，（）是xsinx的原函數(shù).(A) _ COSX2;21 2(B)COsx ;22(C) 2cosx ;(D)- 2cosx2.19.若 f （x）dx =F（x） C，則（）成立（其中C是任意常數(shù)）(A)dxF(x) Cf(x)(B)F(x) = f(x) C;(C)dF(x) C = f (x)dx;(D)F(x) C =f(x).120.x dx /、 ex =()x1_1C;(B) e x C;1 121 若 I',，則 f(X)=(A) 2x(A)(C)

7、i-e C；(D)22 若 f (x)=(B)丄x），則有1（A）;x二、填空題一個已知的函數(shù)若有原函數(shù),(B)(C)(D)ex f (ex)dx = e2x C .x；(C)(D)2x.則有，個原函數(shù)，其中任意兩個的差是一個f (x)的9.若 f (x)dx = F (x) c，貝U f (2x -3)dx =10 .如果e公是函數(shù)f (x)的一個原函數(shù)，則f (x)dx二.111.設 f (x) ，則 f (x)dx=. 12 . f (x)df (x)二x13 .曲線在任意一點處的切線斜率為2x，且曲線過點(2,5)，則曲線方程為 x14 .設 f(X)=dx，則 f =.' J

8、4-X215 .已知函數(shù) f (x)的一個原函數(shù)是 arctanx2，貝U f (x) =.16 .已知F (x)是f (x)的一個原函數(shù)，那么f (ax - b)dx三、求下列不定積分(基本積分公式)1.(x3 2x2 -5、x)dx; 2 .(2 cot2x)dx;(sinx 3ex)dx;4 .(x - ax)dx(a0，且 a = 1;=；-1)2(2csc x- secx tan x) dx四、求下列不定積分(第一換元積分法)-dx;4x -3dx,1 - 2x2dxx. xe - edx2 5x2 ;tan3 xsec xdx; 6 .sin 5xcos3xdx;cos2 5xdx

9、;x2dx五、41 - 2x3 '求下列不定積分cos x-si nx ,dx;sin x cosx(第二換元積分法)10 .11 .dxx2 -2x 2;12 .sin ： xdx;y： xsin xcosx ,4 dx1 sin4 x(ab = 0); 3 .22j / x - a dx(a 0).dxx2Jax2 +b(分部積分法)r 2x ,1. xe dx;Jjxdx;七、求下列不定積分.x dx;sin x6 .x31n xdx;(有理函數(shù)不定積分)x2 s in 3xdx;sin (I n x)dx;arcsinx , dx;.1 - xxta nxsec3 xdx dx

10、1' 3x2 8x 52.2x+3I 22(x2 -1)(x21)dx;參考答案、選擇題1. B; 2. C; 3. B; 4. C; 5.C; 6. A; 7. D ; 8. D; 9. B; 10. D; 11. C; 12. B; 13. D; 14. C; 15. D ; 16. B; 17. D;18. B; 19. D; 20. C; 21. A; 22. D二、填空題1 2 21 無窮多，常數(shù)；2.全體原函數(shù)；3 .連續(xù)；4. (In x)2 ；5. xf (x) F(x) +C ; 6.2cos2x ;7.e+C ;218. sinx C ; 9. F(2x -3) C

11、 ； 10. e C ； 11.2112C ；12.-f2 x 廣C ； 13. y = x2 1 ； x214.2 -6x415.(1 x4)2116. F (ax b) C a三、求下列不定積分(基本積分公式)AQA Q1. (x3 2x25 . x)dx = x4 - x3一 x .x C. '4332. (2 cot2 x)dx 二(1 csc2 x)dx 二 x - cot x C.(sinx 3ex)dx 二-cosx 3ex C.4. (x ax)dxx亙C.In a2(2csc x -secxtanx)dx = -2cotx -secx C.四、求下列不定積分（第一類換

12、元）1 dx4x -314 4xd(4x3)1=一 In 4x 3 + C.4 dx1 -2x2dxx-xe - edexd(、2x)x)2=-arcsin+C.(ex)2 -<2Inex -1ex1dx2 5x2d (、5x)15.5 (2)2 (5x)210arctan、2x &tan3 xsec xdx 二 tan2 xsec xd secx 二(sec2 x1)sec? xd secx1513sec x sec x53C.10.11.12.sin 5xcos3xdxcos 5xdxx2dx4 匚2x3111(sin 8x sin 2x)dxcos8x cos2x C.21

13、64111(1 cos10x)dx x si n10x C.2220=2 sin xd x - -2cos、x C.心=”4cosx -sin x' /sin x +cosxdxx2 -2x 2sinxcosx ,E7dx4.d (sin x+cosx) 5 / 丄 盲丄廠dx = J 5j = 一 (sin x + cosx)5 + C.' <sinx+cosx 4= arctan(x 一1)C.(x -1)1d sin2 x2 1 (sin2 x)21 2 arctan(sin x) C.五、求下列不定積分(第二類換元)1321 設 x (t -1),則 dx = t

14、 dt.3dx上23 3x 132t)dt t515it2 C3=丄站(3x +1)211(3x1)3(3x1)3153 +丄 #(3x+1)2 +C.153或 3x 1 dX J (3 1) 23 3x 133 3x 1dx33 3x 12(3x 1)3d(3x 1)2 (3x1) 3d(3x 1)9C.112 .設 x,貝U dx rdt.tt2dxx2 ax2 b-gdtt21t2tdt=-sgnt J 羅,bt2 +ad(bt2 a)1 sgnt 2b y.bt2 a二-1sgnt bt2 a C b1b tsgntJ":b C =丄 Jax2 + b + C. bxdx=

15、4sin t2costdt2 cost-ix2 C.3 設 x = 2sin t (- 3 : t ：)，則 dx 二 2costdt.x=2.(1-cos2t)dt=2t-sin2t 2arcsi巧/22,x -a dx:(i)當 x a 時，設 x =a sect (0 : t :71，貝U dx = asect tantdt.X2 -a2dx = a2 tan2tsectdt = a2 (sec sect)dt 其中sec3 tdt = Jsectd tant =secttant - tan'tsectdt 二 secttant - sec'tdtsectdt3 1 1則

16、sec tdt =secttant+ lnsect +tant +G 2 2 1ln sect |+tant+C"=xPx -a2 2 2-ln x+s'x2 -a2 +CI : x2 -a2 d = sect tan 2 2(ii)當 xa 時，設 x =u，則 u a,dx =du.x2 -a2 dx =_、u2 _ a2du 俐用(i)的結論)ln u 十 Ju2 _a2 +C"122x x -a22ain2-x 亠 i x2 _a2x2 -a22ln x +¥x2 -a2 +C總之！ :x -a dx =Q-x2 -a2 三2 22 -a2也可以利

17、用分部積分公式:.x2 -a2dx =x x2 -a2x2x2a2廠22dx 二 x x -a2 2 2i x a a idx.x2 _ a2貝U有-x2 -a2dx x22-a22ln2C.對于 .x2a2dx :設 x 二 a tan t(：t2），則 dx 二2a sec2 tdt.x2 a2dx 2223 a二 a sec tdx sect tan t2+ In sect+tant +C"(利用(i)中的結論)2二 _x , x2 a2 a2 2In x+Jx2 +a2 +C也可以利用分部積分公式: x2 a2dx =x x2 a2 -x2-a2dx = x.x2 a2 -x

18、2 a2 a2 一dxx2 a2貝U有 x2 a2dx =, x 2 22 a2-ln x +s；x2 + a2C.六、求下列不定積分（分部積分）xe2xdxd(2e2x)冷 xe2x1 2x |12xe dx xe2 24e2x C.2 dx = Jxd (cot x) =xcotxsin x亠 icotxdx = -xcotx In sinx C.2 2 1x sin3xdx 二 x d( cos3x)二31 1xd(sin3x)二33221 2 2x cos3x xcos3xdx33-】x2 cos3x31 2x cos3x32 22x cos3x xsin 3x sin 3xdx399

19、xsin 3x cos3x C.927arcs in xdx二 arcsin xd (-2 1 - x) 一 -2 1 - x arcsin x 2 !飛 1 - xdx. 1x2二 一2 1 - x arcs inx 21 xd(1 x)二 一2 1 - x arcsin x 4 1 x C.5. 設.x 1 二 t,則 x = t2 -1, dx 二 2tdt.JerxdxnZ Jtetdt =2Jtdet =2tet 2Jetdt =2tet 2et +Cx4iiii6. x31n xdx 二 In xd( )x41nxx3dxx41nx x4 C.444 '41617. sin (I n x)dx =xs in (I n x) - xcos(l n x) dx = xsin (I n x) - ' cos(l nx)dx xxsin(1 nx) -xcos(lnx)-1-sin(1 nx)dx. sin(1 nx)dxxsin(ln x)-cos(lnx) C8.xtanxsec? xdx 二 xs