更高更妙的物理：專題22電磁感應(yīng)面面觀

1、專題22 電磁感應(yīng)面面觀奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)現(xiàn)象吸引了眾多科學(xué)家的眼球，當(dāng)時(shí)正致力于化學(xué)研究的青年學(xué)者法拉弟也將研究的熱情轉(zhuǎn)到了電磁學(xué)領(lǐng)域，法拉弟在重復(fù)奧斯特實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，產(chǎn)生了一個(gè)日后導(dǎo)致極大地改變世界的想法：既然電流能夠產(chǎn)生磁場，能否利用磁場來產(chǎn)生電流呢？從年起，法拉弟歷經(jīng)反復(fù)，上下求索，終于在年月向英國皇家學(xué)會(huì)報(bào)告了他的發(fā)現(xiàn)： “把一根長度為英尺（約）的銅絲繞在一個(gè)大圓木塊上，再把另一根同樣長的銅絲嵌繞在同一個(gè)圓木塊上，兩線圈之間用絕緣線隔開，不讓它們有接觸。其中一匝線圈與一只電流計(jì)連成閉合回路，另一匝線圈則通過開關(guān)與一組電池組相連實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)開關(guān)突然接通時(shí)，與另一線圈相連的電流計(jì)會(huì)發(fā)

2、生突然而極其微小的擺動(dòng)；當(dāng)開關(guān)突然斷開時(shí)，電流計(jì)也會(huì)發(fā)生同樣的微弱效應(yīng)。不過當(dāng)開關(guān)一直接通，電流不斷通過第一只螺線管時(shí)，在另一只螺線管上并沒有什么類似的效應(yīng)，與它連接的電流計(jì)也沒有什么表現(xiàn)重新做這個(gè)實(shí)驗(yàn)我們查明了一個(gè)事實(shí)：開關(guān)突然接通時(shí)電流計(jì)指針的微小偏轉(zhuǎn)常循著一個(gè)方向；開關(guān)突然斷開時(shí)，電流計(jì)指針的偏轉(zhuǎn)則循著另一個(gè)方向?！?法拉弟公布的關(guān)于“極其微小的擺動(dòng)”的發(fā)現(xiàn)，據(jù)說被一位貴夫人不解為“這有什么用？”法拉弟以他堅(jiān)定的信念作了絕妙的回答：“那么，一個(gè)新生的嬰兒又有什么用呢？”今天，我們看到，法拉弟的“電磁感應(yīng)嬰兒”已長成地球與現(xiàn)代人類社會(huì)最不可或缺的“超人”。 法拉弟從做過的幾十種類似的實(shí)驗(yàn)改

3、變電流、改變磁場、導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)、通有穩(wěn)恒電流的導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)、磁鐵的運(yùn)動(dòng)等等總結(jié)出電磁感應(yīng)的發(fā)生是與某種變化相關(guān)聯(lián)的，現(xiàn)在學(xué)過高中物理的人都知道，這種變化就是磁通量的變化。 誠然，電磁感應(yīng)的發(fā)生總可歸結(jié)為由于磁通量隨時(shí)間發(fā)生了變化，但根據(jù)引起感應(yīng)電動(dòng)勢的非靜電力我們知道，非靜電力移送電荷才會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢，而電動(dòng)勢的大小也是用非靜電力移動(dòng)單位電量所做的功來量度的不同，可將感應(yīng)電動(dòng)勢分為動(dòng)生電動(dòng)勢與感生電動(dòng)勢。 由于導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為動(dòng)生電動(dòng)勢。如圖所示，導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場中勻速向右做“切割磁感線”運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒中自由電子因受洛倫茲力作用，而向圖中棒的下端運(yùn)動(dòng)，這樣，在棒的上、下兩端就會(huì)

4、積累起正電荷（失去電子的離子）與負(fù)電荷（洛倫茲力移送的電子），兩端之間形成一電場，當(dāng)這個(gè)電場施予電子的電場力與洛倫茲力平衡、棒上非靜電場強(qiáng)度時(shí)，兩端建立起一個(gè)穩(wěn)定的電動(dòng)勢。動(dòng)生電動(dòng)勢發(fā)生的微觀機(jī)理是由于洛倫茲力移送電荷所致。產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢的條件是導(dǎo)體做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)即與垂直。如圖所示是法拉弟做成的世界上第一個(gè)發(fā)電機(jī)模型的原理圖。把一個(gè)圓鋼盤放在勻強(qiáng)磁場中，使磁感線垂直通過銅盤，轉(zhuǎn)動(dòng)銅盤就可以獲得動(dòng)生電動(dòng)勢。這是因?yàn)檎麄€(gè)銅盤可視為由很多根從中心到邊緣的輻條組成，當(dāng)銅盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每根輻條都同樣地切割磁感線而引起動(dòng)生電動(dòng)勢，相當(dāng)于一節(jié)電池，整個(gè)銅盤就是一個(gè)并聯(lián)電池組，其電動(dòng)勢與一根輻條上的電動(dòng)勢是相

5、同的?，F(xiàn)在，我們來計(jì)算一根長，以角速度繞其一端勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體棒上的電動(dòng)勢，如圖所示：首先注意，棒上各點(diǎn)的切割速度是不同的，我們將均勻細(xì)分段，第個(gè)元段的切割速度，每段上的元電動(dòng)勢，則間的電動(dòng)勢為?！纠?】如圖所示，一長直導(dǎo)線中通有電流，有一長的金屬棒，以的速度平行于長直導(dǎo)線做勻速運(yùn)動(dòng)，若棒的近導(dǎo)線的一端與導(dǎo)線距離，求金屬棒中的動(dòng)生電動(dòng)勢?！痉治雠c解】這個(gè)問題里，棒上各點(diǎn)的切割速度是相同的，但所處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度是變化的，所以求整根棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢須用微元法。在上一個(gè)專題中，我們用畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律推導(dǎo)過無限長直線電流周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布規(guī)律是，式中是點(diǎn)到直線電流的距離。取上第元段，認(rèn)為元

6、段上磁感應(yīng)強(qiáng)度均為，設(shè)間總電動(dòng)勢為，該段上元電動(dòng)勢，整理后有，兩邊取次方的極限，得，于是有，代入題給數(shù)據(jù)得?！纠?】如圖所示是單極發(fā)電機(jī)示意圖，金屬圓盤半徑為，可以無摩擦地在一個(gè)長直螺線圈中繞一根沿螺線圈對稱軸放置的導(dǎo)電桿轉(zhuǎn)動(dòng)，線圈導(dǎo)線的一端連接到圓盤的邊緣，另一端連接到桿上，線圈的電阻為，單位長度有匝，它被恰當(dāng)?shù)胤胖枚顾膶ΨQ軸和地球磁場矢量平行，若圓盤以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，那么流過圖中電流表的電流為多少？【分析與解】法拉弟圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢，使線圈中有感應(yīng)電流通過，這電流又在螺線圈中引起平行于螺線圈對稱軸的均勻磁場，該磁場因圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向不同、動(dòng)生電動(dòng)勢方向不同而取與地磁場同向或反向。現(xiàn)在我們

7、先設(shè)方向如圖所示，則感應(yīng)電流的磁場方向與相同，螺線圈內(nèi)合磁場大小，圓盤上動(dòng)生電動(dòng)勢方向從中心指向邊緣，大小為 對由圓盤（電源）、導(dǎo)線、電流表、導(dǎo)電桿構(gòu)成的電路，由全電路歐姆定律，通過電流表的電流，即； 同理可知，若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向與圖所示相反，則通過電流表的電流 我們對電流與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度間關(guān)系作一統(tǒng)觀：在式表述的情況中，感生電流磁場對地磁場作正反饋，隨著的增大，電流增大，當(dāng)時(shí)，電流將趨向無窮，當(dāng)時(shí)，由式分析，電流要反向，且逼近于，這種奇異的行為在實(shí)際上不可能出現(xiàn)，因?yàn)榻穷l率在達(dá)到之前電流已過大而使導(dǎo)線燒斷； 通過電流表的電流在式表述的情況中，感生電流磁場對地磁場作負(fù)反饋，隨著的增大反向電流增大，

8、當(dāng)時(shí)，反向電流趨向最大為。單極發(fā)電機(jī)提供的電流隨圓盤角速度變化的上述分析可用圖象表述。 導(dǎo)體不動(dòng)，由于磁通量的變化而引起的電動(dòng)勢稱為感生電動(dòng)勢。感生電動(dòng)勢是怎么引起的呢？如圖所示，若圖示方向的磁場正在變化，那么，這變化的磁場將會(huì)激發(fā)出一種電場，叫做“感生電場”，這種電場的電場線如圖中帶箭頭細(xì)實(shí)線所示，是一圈一圈的閉合線，不同于靜電場（有源場）而類似于磁場，所以由變化的磁場激發(fā)的感生電場是渦旋場，設(shè)圖所示方向磁場正均勻增大，則感生電場的方向由楞次定律確定如圖所示，設(shè)想在該磁場中置一圓導(dǎo)線，導(dǎo)線中的自由電子將在感生電場力作用下發(fā)生移動(dòng)，設(shè)感生電場強(qiáng)度為，那么由電動(dòng)勢定義，感生電場力移送電子通過距離

9、引起的電動(dòng)勢應(yīng)為，若圓導(dǎo)線長為，則圓導(dǎo)線上感生電動(dòng)勢為，而法拉弟電磁感應(yīng)定律告訴我們，線圈上感生電動(dòng)勢，為磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率，為線圈包圍的磁場面積，那么，可知圓導(dǎo)線所處位置感生電場強(qiáng)度大小。感生電動(dòng)勢發(fā)生的微觀機(jī)理為感生電場力移送電荷所致。產(chǎn)生感生電動(dòng)勢的條件是由磁場變化而引發(fā)感生電場?！纠?】一個(gè)“扭轉(zhuǎn)”的環(huán)狀帶子（稱為莫比烏斯帶）是由長度為，寬度為的紙條制成。一根導(dǎo)線沿紙帶的邊緣繞了一圈，并連接到一個(gè)電壓表上，如圖所示。當(dāng)把繞在紙帶上的導(dǎo)線圈放入一個(gè)均勻的垂直于紙帶環(huán)所在面的磁場中，且磁場隨時(shí)間均勻變化，即，電壓表記錄的數(shù)據(jù)為多少？【分析與解】電壓表記錄的數(shù)據(jù)就是長的導(dǎo)線上總共產(chǎn)生的感生電動(dòng)

10、勢，對此，我們可用兩種方法求解。其一，根據(jù)感生電動(dòng)勢成因。在導(dǎo)線所處的磁場中，由變化的磁場引起一感生電場，其大小為，感生電場是一渦旋場，則在長的導(dǎo)線上電動(dòng)勢；其二，根據(jù)法拉弟電磁感應(yīng)定律將原“合”起的兩匝線圈展開成圖所示，由法拉弟電磁感應(yīng)定律，每個(gè)線圈上電動(dòng)勢是，而根據(jù)楞次定律可確定兩線圈上電動(dòng)勢方向（電勢升的方向)）相同而疊加的，故有?！纠?】一個(gè)長圓柱形螺線管包括了另一個(gè)同軸的螺線管，它的半徑只是外面螺線管半徑的一半，兩螺線管單位長度具有相同的圈數(shù)，且初時(shí)都沒有電流。在同一瞬時(shí)，電流開始在兩個(gè)螺線管中線性地增大，任意時(shí)刻，通過里邊螺線管的電流為外邊螺線管中電流的兩倍且方向相同，由于增大的電

11、流，一個(gè)處于兩個(gè)螺線管之間初始靜止的帶電粒子開始沿一條同心圓軌道運(yùn)動(dòng)。如圖所示，求該圓軌道半徑?！痉治雠c解】由于螺線管中的電流變化，在管內(nèi)磁場變化，因而引起感生電場，感生電場力使帶電粒子獲得速度，繼而受到洛倫茲力，在適當(dāng)?shù)能壍?，磁場、感生電場提供給帶電粒子的向心力與其速度相適配，粒子將在該軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 先表示半徑為的感生電場場強(qiáng)。外螺線管中的，內(nèi)螺線管中的，在粒子運(yùn)動(dòng)一周時(shí)間過程中，構(gòu)磁場變化率為和，則感生電場為， 時(shí)間內(nèi)。感生電場力使帶電粒子獲得速度，則有， 而此時(shí)磁場施予的洛倫茲力表達(dá)為，由粒子的動(dòng)力學(xué)方程得，將、兩式關(guān)系代入得，。這里，我們看到利用感生電場加速帶電粒子的一種可能。

12、在核物理實(shí)驗(yàn)中需要的高能粒子，也可通過感應(yīng)加速器來加速射入高頻變化的磁場的帶電粒子而獲得。如圖所示環(huán)形真空室，當(dāng)磁場增大時(shí)，令電子沿切線方向射入，而當(dāng)磁場達(dá)到最大時(shí)，即將加速后的電子導(dǎo)出，由于磁場高頻變化，感生電場較強(qiáng)，而入射電子速度一般已很大，在很短的時(shí)間內(nèi)可繞行幾十萬圈，感生電場力在幾十萬圈路徑上做的功可使電子動(dòng)能加大到幾十兆電子伏特。為了使電子在環(huán)形真空室中按一定軌道運(yùn)動(dòng)，磁場設(shè)計(jì)應(yīng)滿足一定的要求。若軌道內(nèi)磁場區(qū)域的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度為，則電子軌道處感生電場強(qiáng)度，電子速度的增加，當(dāng)電子速度達(dá)到時(shí)，其所受洛倫茲力，式中為電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則，可知高頻變化的磁場中，被加速的電子“約束”在這

13、樣的軌道上：軌道所在處的磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為軌道內(nèi)磁場平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半。即，例中的磁場就是這樣設(shè)計(jì)的，不妨驗(yàn)證一下：粒子軌道半徑，此處磁場；軌道內(nèi)磁場總磁通量，平均磁感應(yīng)強(qiáng)度，可見 。 磁場變化引起渦旋電場，當(dāng)渦旋電場中有導(dǎo)線構(gòu)成的閉合回路時(shí)，就形成感應(yīng)電流，而有大塊金屬體存在時(shí)，則會(huì)形成渦電流，由于大塊導(dǎo)體電阻很小，渦電流可以達(dá)到很大的數(shù)值，產(chǎn)生大量的焦耳熱，此稱感應(yīng)加熱。讀者可通過小試身手題，體驗(yàn)渦電流的一種實(shí)際應(yīng)用。由于回路中電流引起的磁場的變化，又會(huì)在回路自身激起感生電動(dòng)勢與感生電流，即自感現(xiàn)象在螺線圈中最為明顯。由法拉弟電磁感應(yīng)定律：，由于螺線圈中的磁通量由電流引起，故，稱為自感系數(shù)

14、，則。自感系數(shù)與線圈的面積、單位長度的匝數(shù)、總匝數(shù)及有無鐵芯等因素均有關(guān)。對一個(gè)具有電感的電路來說，在電路中，會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢，這個(gè)過程是電源電動(dòng)勢克服自感電動(dòng)勢做功將電能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娐分車拇艌瞿?，設(shè)某元過程時(shí)間，電流增至，電源移送電量，其元功量為，電流由零增大到穩(wěn)定值的過程總功為。則通有電流的線圈周圍磁場的能量。【例5】有一個(gè)匝的螺旋狀彈簧如圖所示，線圈半徑為、彈簧自然長度為（），勁度系數(shù)為，當(dāng)電流通過彈簧時(shí)，求彈簧的長度改變了多少？【分析與解】電流通過螺線圈時(shí)，一方面各匝線圈間存在電流相互吸引的安培力作用，同時(shí)由于長度縮短而受到彈力的作用，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，彈簧將縮短，長度變化了的彈簧其自感系數(shù)亦

15、改變，使電流周圍磁場的一部分能量轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能。先計(jì)算匝細(xì)長螺線圈的自感系數(shù)。當(dāng)有電流通過螺線圈時(shí)，螺線管中磁感應(yīng)強(qiáng)度，每匝線圈的磁通量，當(dāng)電流變化時(shí)，螺線管中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢，則 。設(shè)螺線彈簧縮短后的長度為，螺線管中磁感應(yīng)強(qiáng)度，由于螺線管長度縮短，變大，磁通量變化，故螺線管中發(fā)生自感現(xiàn)象而使電流從變小，電流達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，通過該螺線管的電流減為，而磁通量不變，故有，則穩(wěn)定時(shí)的電流。該螺線管原來的自感系數(shù)，縮短后的自感系數(shù)，線圈磁場的能量對應(yīng)地有，；那么在縮短過程中由能量守恒，可得 。 電磁感應(yīng)的直接結(jié)果是產(chǎn)生電動(dòng)勢，如果有閉合回路存在，則可形成感應(yīng)電流，所以感應(yīng)電流只是回路中存在感應(yīng)電動(dòng)勢的

16、外在表現(xiàn)之一，是電磁感應(yīng)的間接效果，感應(yīng)電動(dòng)勢只取決于產(chǎn)生它的原因一磁通量的變化，感應(yīng)電流的情況還與電路條件有關(guān)。各種感應(yīng)電流電路的分析與計(jì)算是一個(gè)經(jīng)常的課題?！纠?】在半徑為的細(xì)長螺線管中，均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增大，即。一均勻?qū)Ь€彎成等腰梯形閉合回路，上底長為，下底長為，總電阻為，放置如圖所示：試求：梯形各邊上的感生電動(dòng)勢，及整個(gè)回路中的感生電動(dòng)勢；、兩點(diǎn)間的電勢差。【分析與解】梯形回路處于感生電場中，梯形回路中的電動(dòng)勢為感生電動(dòng)勢，注意到渦旋電場線為一系列的圓心為的同心圓，則“等勢線”沿徑向，故可知，為了求邊上的電動(dòng)勢，可取回路，這個(gè)回路中的電動(dòng)勢就是上的電動(dòng)勢，因?yàn)?、均沿渦旋電

17、場的等勢線，不產(chǎn)生電動(dòng)勢，由法拉弟電磁感應(yīng)定律知回路中的電動(dòng)勢，相似地，回路中的電動(dòng)勢即邊上的電動(dòng)勢。對梯形回路，上述兩電動(dòng)勢反向，故回路總電動(dòng)勢為。分析由兩個(gè)電動(dòng)勢與四段電阻構(gòu)成的電路?？傠娮铻?，則梯形。各邊電阻依次為、，等效電路如圖所示，由歐姆定律，回路中的電流，對一段含源電路有。【例7】兩個(gè)同樣的金屬環(huán)半徑為，質(zhì)量為，放在均勻磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，其方向垂直于環(huán)面，如圖所示。兩環(huán)接觸點(diǎn)和有良好的電接觸，角。若突然撤去磁場，求每個(gè)環(huán)具有的速度。構(gòu)成環(huán)的這段導(dǎo)線的電阻為，環(huán)的電感不計(jì)，在磁場消失時(shí)環(huán)的移動(dòng)忽略不計(jì)，沒有摩擦?！痉治雠c解】在極短時(shí)間內(nèi)磁場消失，這就會(huì)在兩環(huán)中引起感生電動(dòng)勢，根據(jù)

18、電路結(jié)構(gòu)，環(huán)上各段有一定大小方向的感應(yīng)電流，載流導(dǎo)線在磁場中受安培力沖量導(dǎo)致金屬環(huán)獲得動(dòng)量。 等效電路如圖所示，先由基爾霍夫定律求環(huán)中感應(yīng)電流。兩環(huán)情況具有對稱性，取左環(huán)回路研究，設(shè)磁場方向垂直于環(huán)面向下，環(huán)中電動(dòng)勢，方向如圖示，優(yōu)弧段電阻為劣弧段的倍，優(yōu)弧段及劣弧段電流方向設(shè)定如圖，有， 取、間兩劣弧構(gòu)成的回路，該回路中電動(dòng)勢， 由式解得，代入式中得，電流方向與所設(shè)相符。 現(xiàn)在來求整個(gè)左環(huán)所受安培力，優(yōu)弧與劣弧的等效受力長度均為弦長，但由左手定則知力的方向相反。注意到磁場消失的時(shí)間內(nèi)在減小，取，則左環(huán)所受合力大小為 。方向向左。由動(dòng)量定理，求出環(huán)獲得的速度大小為，方向向左；對稱地，右環(huán)以同樣

19、速率向右運(yùn)動(dòng)?！纠?】一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場，垂直于一軌距為的導(dǎo)軌平面，軌道平面與水平面有的傾角。一根無摩擦的導(dǎo)體棒，質(zhì)量為，橫跨在兩根金屬導(dǎo)軌上，如圖所示。若開關(guān)依次接通、，使阻值為（其余電阻均不計(jì)）、電容為或電感為的元件與棒構(gòu)成電路，當(dāng)從靜止放開導(dǎo)體棒后，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?！痉治雠c解】本題設(shè)置了這樣一種問題情景：提供動(dòng)生電動(dòng)勢的導(dǎo)體受一恒定外力作用，這樣的“電源”與電阻或電容器或 電感線圈構(gòu)成電路，在不同的電路條件下會(huì)產(chǎn)生不同的效應(yīng)。顯見，放在導(dǎo)軌上的棒總受到一個(gè)沿導(dǎo)軌向下的重力的分力。當(dāng)開關(guān)接，導(dǎo)體棒與電阻構(gòu)成回路，初時(shí)棒的加速度為，隨著速度增大，棒上電動(dòng)勢（）增大，通過回路的電流

20、增大，這使棒受到的與力反向的安培力也增大，從而使合力減小，棒在開始時(shí)是做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)加速度減為零、棒達(dá)到收尾速度，此時(shí)電阻回路的感應(yīng)電流達(dá)到一個(gè)恒定值。由上分析可知，棒與電阻構(gòu)成回路時(shí)，電路中電流最終達(dá)到穩(wěn)恒，棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由，可得勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。當(dāng)開關(guān)接，導(dǎo)體棒與電容器構(gòu)成回路，棒開始以加速度運(yùn)動(dòng)，并產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢而對電容器充電，隨著棒速度增大，棒上電動(dòng)勢增大，維持充電電流，因而使棒上總受到與力反向的安培力，棒的動(dòng)力學(xué)方程，即，可見棒以加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)開關(guān)接，導(dǎo)體棒與電感線圈構(gòu)成回路，棒以加速度開始運(yùn)動(dòng)后，隨著速度增大，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢增大，增大的電流通

21、過電感線圈，使線圈兩端的電壓隨動(dòng)生電動(dòng)勢而增大，電壓與電流有關(guān)系，即，因初始時(shí)，可知棒開始運(yùn)動(dòng)后棒上電流與棒的位移成正比，即，棒的運(yùn)動(dòng)方程為，即，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在棒的平衡位置，即棒下滑，則。這說明棒所受合力為與棒對平衡位置的位移成正比而方向相反的線性力，棒做簡諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期，振幅，振動(dòng)方程?！纠?】如圖所示，在與勻強(qiáng)磁場區(qū)域垂直的水平面上有兩根足夠長的平行導(dǎo)軌，在它們上面放著兩根平行導(dǎo)體棒，每根長度均為、質(zhì)量均為、電阻均為，其余部分電阻不計(jì)。導(dǎo)體棒可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng)，開始時(shí)左棒靜止，右棒獲得向右的初速度。試求 右導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化； 通過兩棒的電量； 兩棒間距離增量的上限。【分析

22、與解】本題中，兩棒通過導(dǎo)軌構(gòu)成回路，兩棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢互為反電動(dòng)勢，右棒，左棒，電路中電流，右棒受安培力作用而減速運(yùn)動(dòng)，左棒則受安培力作用從靜止開始加速，由于系統(tǒng)不受外力，總動(dòng)量守恒，故兩棒速度有，當(dāng)時(shí)，兩棒均做勻速運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)取右棒速度從變?yōu)榈臅r(shí)間內(nèi)的第個(gè)元過程，右棒的動(dòng)力學(xué)方程為，即，于是有 ，取兩邊次方的極限可得 ，于是得右棒速度公式 ；由兩棒速度關(guān)系易得左棒速度隨時(shí)間變化關(guān)系。兩棒電阻串聯(lián)，通過每棒的感應(yīng)電流電量相等，任取其中一棒例如左棒，由動(dòng)量定理，；若設(shè)兩棒間距離的最大增量為，則由，得。1、在磁感應(yīng)強(qiáng)度為，水平方向的勻強(qiáng)磁場內(nèi)，有一個(gè)細(xì)金屬絲環(huán)以速度做無滑滾動(dòng)，如圖所示。環(huán)上有長度為

23、的很小的缺口，磁場方向垂直于環(huán)面。求當(dāng)為時(shí)，環(huán)上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢。2、如圖所示，在電流為的無限長直導(dǎo)線外有與它共面的直角三角形線圈，其中邊與電流平行，邊長，線圈以速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)線圈與直線電流相距時(shí)，線圈中的動(dòng)生電動(dòng)勢。3、在半徑為的圓柱形體積內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。有一長為的金屬棒放在磁場中，如圖所示，設(shè)磁場在增強(qiáng)，其變化率為。求棒中的感生電動(dòng)勢，并指出哪端電勢高；如棒的一半在磁場外，其結(jié)果又如何？4、一個(gè)很長的直螺線管半徑為，因線圈通過交流電而在線圈內(nèi)引起均勻的交變磁場，求螺線管內(nèi)、外感生電場的分布規(guī)律。5、一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一個(gè)圓柱空間，兩圓柱軸間距離，圖所示為垂

24、直于軸的截面。設(shè)兩圓柱間存在均勻磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間線性增長，即?，F(xiàn)在空腔中放一與成角、長為的金屬桿，求桿中的感生電動(dòng)勢。6、如圖所示，由均勻金屬絲折成邊長為的等邊三角形，總電阻為，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場中，以恒定角速度繞三角形的高軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求線圈平面與平行時(shí)，金屬框的總電動(dòng)勢及、的電勢差、。7、在輕的導(dǎo)電桿的一端固定一個(gè)金屬小球，球保持與半徑為的導(dǎo)電球面接觸。桿的另一端固定在球心處，并且桿可以無摩擦地沿任何方向轉(zhuǎn)動(dòng)。整個(gè)裝置放在均勻磁場中，磁場方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度。球面與桿的固定端通過導(dǎo)線、開關(guān)與電源相連，如圖所示。試描述當(dāng)開關(guān)閉合后，桿如何運(yùn)動(dòng)？如果桿與豎直線之間的夾角穩(wěn)定在，求電源

25、的電動(dòng)勢。8、如圖所示，無限長密繞螺線管半徑為，其中通有電流，在螺線管內(nèi)產(chǎn)生一勻強(qiáng)磁場。在螺線管外同軸套一粗細(xì)均勻的金屬圓環(huán)，金屬環(huán)由兩個(gè)半環(huán)組成，、為其分界面，半環(huán)的電阻分別為和，且，當(dāng)螺線管中電流按均勻增大時(shí)，求、兩處的電勢差。9、由絕緣均勻?qū)Ь€做成的閉合回路如圖所示彎成字形，交叉處點(diǎn)在點(diǎn)之上，回路的半徑為，回路的半徑為，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度按規(guī)律穿入回路時(shí)，確定與兩點(diǎn)間電壓，若將回路向左翻折在回路上，與間電壓又是多少？10、環(huán)形金屬絲箍圍在很長的直螺線管的中部，箍的軸與螺線管的軸重合，如圖所示。箍由兩部分組成，每部分的電阻、不同且未知。三個(gè)有內(nèi)阻的電壓表接到兩部分接頭處點(diǎn)和點(diǎn)，并且導(dǎo)體嚴(yán)格地沿箍

26、的直徑放置，而導(dǎo)體和沿螺線管任意兩個(gè)不同方位放置，交變電流通過螺線管，發(fā)現(xiàn)這時(shí)電壓表的讀數(shù)，電壓表的讀數(shù)。問電壓表的讀數(shù)是多少？螺線管外的磁場以及回路電感不計(jì)。11、半徑為的金屬絲圓環(huán)，有一個(gè)沿直徑方向放置的金屬跨接線，左、右兩半圓上分別接上電容器和，如圖所示。將環(huán)放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間而線性增大的磁場中，磁場方向垂直于環(huán)面。某一時(shí)刻撤去跨接線，接著磁場停止變化，求每個(gè)電容器上帶的電量。12、如圖所示電路，直流電源的電動(dòng)勢為，內(nèi)阻不計(jì)，兩個(gè)電阻值為，一個(gè)電阻值為，電感的自感系數(shù)為，直流電阻值為。閉合開關(guān)，待電路電流穩(wěn)定后，再打開開關(guān)（電流計(jì)內(nèi)阻不計(jì)） 打開開關(guān)時(shí)，電阻值為的電阻兩端電壓為多少？

27、 打開開關(guān)后有多少電量通過電流計(jì)？閉合開關(guān)到電流穩(wěn)定時(shí)，有多少電量通過電流計(jì)？13、電磁渦流制動(dòng)器由一電阻為、厚度為的金屬圓盤為主要部件，如圖所示。圓盤水平放置，能繞過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在距中心為處，一邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)有垂直于圓盤平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，若，試寫出圓盤所受的磁制動(dòng)力矩與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的關(guān)系式。14、如圖，在豎直面內(nèi)兩平行導(dǎo)軌相距，且與一純電感線圈、直流電源、水平金屬棒聯(lián)為一閉合回路，開始時(shí)，金屬棒靜止，爾后無摩擦地自由下滑（不脫離軌道）。設(shè)軌道足夠長，其電阻可忽略，空間中磁場的大小為，其方向垂直于軌道平面，已知電源電動(dòng)勢為，內(nèi)電阻，金屬棒質(zhì)量，其電阻，線圈自感系數(shù)，試求金屬棒下落可達(dá)到的最大速度。15、如圖所示一橢圓形軌道，其方程為（），在中心處有