數(shù)學(xué)必修二點、直線、平面高考題(含詳細(xì)答案)

1、點、直線、平面一、選擇題 （2012年高考（浙江文）設(shè)是直線,a,是兩個不同的平面（）A若a,則aB若a,則a C若a,a,則D若a, a,則 （2012年高考（四川文）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012年高考（浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻著,在翻著過程中,（）A存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直 B存在某個

2、位置,使得直線AB與直線CD垂直 C存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直 D對任意位置,三直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直 （2012年高考（四川理）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012年高考（上海春）已知空間三條直線若與異面,且與異面,則 答（）A與異面.B與相交.C與平行.D與異面、相交、平行均有可能.二、填空題（2012年高考（四川文）如

3、圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成的角的大小是_.（2012年高考（大綱文）已知正方形中,分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為_.（ 2012年高考（四川理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是_.（2012年高考（大綱理）三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題（2012年高考（重慶文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)已知直三棱柱中,為的中點.()求異面直線和的距離;()若,求二面角的平面角的余弦值.（2012年高考（浙江文）如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,AD

4、BC,ADAB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F是平面B1C1E與直線AA1的交點.(1)證明:(i)EFA1D1;(ii)BA1平面B1C1EF;(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.（2012年高考（天津文）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(I)求異面直線與所成角的正切值;(II)證明平面平面;(III)求直線與平面所成角的正弦值.（2012年高考（四川文）如圖,在三棱錐中,點在平面內(nèi)的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海文）PABCD如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點.已知BA

5、C=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱錐P-ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).（2012年高考（陜西文）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=()證明;()已知AB=2,BC=,求三棱錐的體積.（2012年高考（山東文）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()若,M為線段AE的中點,求證:平面.（2012年高考（遼寧文）如圖,直三棱柱,AA=1,點M,N分別為和的中點.()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積,h為高)（2012年高考（課標(biāo)文）如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,

6、ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.(I) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.（2012年高考（江西文）如圖,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是線段AB上的兩點,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.現(xiàn)將ADE,CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點重合與點G,得到多面體CDEFG.(1)求證:平面DEG平面CFG;(2)求多面體CDEFG的體積.（2012年高考（湖南文）如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.()證明:BDPC;()若AD=4,BC=2

7、,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.（2012年高考（湖北文）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺,上不是一個底面與四棱臺的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現(xiàn)需要對該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費為元,需加工處理費多少元?（2012年高考（廣東文）(立體幾何)如圖5所示,在四棱錐中,平面,是的中點,是上的點且,為中邊上的高.()證明:平面;()若,求三棱錐的體積;()證明:平面.（2012年高考（福建文）如圖,在長方體中,為棱上

8、的一點.(1)求三棱錐的體積;(2)當(dāng)取得最小值時,求證:平面.（2012年高考（大綱文）如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.()證明:平面;DABPCE()設(shè)二面角為90°,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京文）如圖1,在RtABC中,C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點,點F為線段CD上的一點.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2. (1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C平面DEQ?說明理由. （2012年高考（安徽文）如圖,長方體中,底面是正方形,是的中點,是棱上任

9、意一點.()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長.（2012年高考（天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設(shè)E為棱上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.（2012年高考（新課標(biāo)理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點,(1)證明:(2)求二面角的大小.（2012年高考（浙江理）如圖,在四棱錐PABCD中,底面是邊長為的菱形,且BAD=120°,且PA平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點.()證明:MN平面ABCD;() 過點A作AQPC,垂足為點Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.（2012年高考（重慶理）(本

10、小題滿分12分()小問4分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點()求點C到平面 的距離;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012年高考（四川理）如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海理）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,ABCDPEAD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.（2012年高考（上海春）如圖,正四棱柱的底面邊長為,高為,為線段的中點.求:(1)三棱錐的體積;(2)異

11、面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)（2012年高考（陜西理）(1)如圖,證明命題“是平面內(nèi)的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假 (不需要證明)（2012年高考（山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.（2012年高考（遼寧理） 如圖,直三棱柱,點M,N分別為和的中點.()證明:平面;()若二面角為直二面角,求的值.（2012年高考（江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點。(1)證明在側(cè)棱上存在一點,使得平面,并求出的長;(2)求平面與平面夾角

12、的余弦值。（2012年高考（江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(點 不同于點),且為的中點.求證:(1)平面平面;(2)直線平面.（2012年高考（湖南理） 如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90°,E是CD的中點.()證明:CD平面PAE;()若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.ABCDPE圖5（2012年高考（湖北理）如圖1,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將折起,使(如圖2所示). ()當(dāng)?shù)拈L為多少時,三棱錐的體積最大;()當(dāng)三棱錐的

13、體積最大時,設(shè)點,分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得,并求與平面所成角的大小.DABCACDB圖2圖1ME.·（2012年高考（廣東理）如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.()證明:平面;()若,求二面角的正切值.（2012年高考（福建理）如圖,在長方體中為中點.()求證:()在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由. ()若二面角的大小為,求的長.（2012年高考（大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.(1)證明:平面;(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京理

14、）如圖1,在RtABC中,C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DEBC,DE=2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖2. (1)求證:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由. （2012年高考（安徽理）平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.()證明:; ()求的長;()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題 【答案

15、】B 【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識,具體為線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì). 【解析】利用排除法可得選項B是正確的,a,則a.如選項A:a,時, a或a;選項C:若a,a,或;選項D:若若a, a,或. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識的定義、定理及公式.

16、【答案】B 【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進(jìn)行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項B是正確的. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識的定義、定理及公式. D 二、填空題 答案90º 解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A

17、1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90º 方法二:以D為原點,分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故DND1M,所以夾角為90º 點評異面直線夾角問題通常可以采用兩種途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確的是 四面體每個面是全等三角形,面積相等 從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對棱中

18、點構(gòu)成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長 解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90º 方法二:以D為原點,分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故DND1M,所以夾角為90º 答案 【命題意圖】本試題考查了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進(jìn)行求解即可. 【解析】

19、設(shè)該三棱柱的邊長為1,依題意有,則 而 三、解答題 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)圖1,因AC=BC, D為AB的中點,故CD AB.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和AB的距離為 ():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又已知 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得 從而 所以在中,由余弦定理得 【命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計算,注重與平面幾何的綜合, 同時考查空間想象能力和推理論證能力. (1)(i)因為, 平面ADD1 A1,所以平面ADD1 A1. 又因為平面平面ADD1

20、 A1=,所以.所以. (ii)因為,所以, 又因為,所以, 在矩形中,F是AA的中點,即.即 ,故. 所以平面. (2) 設(shè)與交點為H,連結(jié). 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以BC與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因為底面是矩形,所以,且,又因為,故或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2. (2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內(nèi),過點作交直線于點,連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所

21、以直線與平面所成角的正弦值為. 解析(1)連接OC. 由已知,所成的角 設(shè)AB的中點為D,連接PD、CD. 因為AB=BC=CA,所以CDAB. 因為等邊三角形, 不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=, AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan (2)過D作DE于E,連接CE.由已知可得,CD平面PAB. 據(jù)三垂線定理可知,CEPA, 所以,. 由(1)知,DE= 在RtCDE中,tan 故 點評本題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的基礎(chǔ)概念,重點考查思維能力和空間想象能力,進(jìn)一步深化對二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規(guī)步驟:一找(尋找現(xiàn)成的二面角的平面角)、二作(若沒有找到現(xiàn)成的

22、,需要引出輔助線作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值). PABCDE解(1), 三棱錐P-ABC的體積為 (2)取PB的中點E,連接DE、AE,則 EDBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線 BC與AD所成的角 在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2, ,所以ADE=. 因此,異面直線BC與AD所成的角的大小是 證明:(I)設(shè)中點為O,連接OC,OE,則由知, 又已知,所以平面OCE. 所以,即OE是BD的垂直平分線,所以. (II)取AB中點N,連接,M是AE的中點, 是等邊三角形,.由BCD=120°知,CBD=30

23、6;, 所以ABC=60°+30°=90°,即,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,故DM平面BEC. 另證:延長相交于點,連接EF.因為CB=CD,. 因為為正三角形,所以,則, 所以,又, 所以D是線段AF的中點,連接DM, 又由點M是線段AE的中點知, 而平面BEC, 平面BEC,故DM平面BEC. 【答案與解析】 (1)證明:取中點P,連結(jié)MP,NP,而M,N分別是A與的中點,所以, MPA,PN,所以,MP平面AC,PN平面AC,又,因此平面MPN平面AC,而MN平面MPN,所以,MN平面AC, 【點評】本題以三棱柱為載體主要考查

24、空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據(jù)條件選擇合適的底面是關(guān)鍵,也可以采用割補(bǔ)發(fā)來球體積. 【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題. 【解析】()由題設(shè)知BC,BCAC,面, 又面, 由題設(shè)知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1. 法二:(I)證明:設(shè),則, 因側(cè)

25、棱垂直底面,即,所以, 又D是棱AA1的中點,所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以側(cè)面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (II) 平面BDC1分此棱柱的下半部分可看作底面為直角梯形,高為的一個四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面BDC1分此棱柱的上半部的體積為 所以 ,所求兩部分體積之比為 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,所以可得 又因為,可得,即所以平面DEG平面CFG. (2)過G作GO垂直于EF,GO 即為四棱錐G-EF

26、CD的高,所以所求體積為 【解析】()因為 又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. ()設(shè)AC和BD相交于點O,連接PO,由()知,BD平面PAC, 所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因為四邊形ABCD為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱錐的體積為. 【點評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由()知,BD平面PAC,所以是直線PD

27、和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因為四棱柱的側(cè)面是全等的矩形,所以 又因為,所以平面 連接,因為平面,所以 因為底面是正方形,所以.根據(jù)棱臺的定義可知,與共面. 又已知平面平面,且平面平面 平面,所以,于是 由,可得, 又因為,所以平面. (2)因為四棱柱的底面是正方形,側(cè)面是全等的矩形,所以 又因為四棱臺的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以 于是該實心零部件的表面積為,故所需加工處理費為(元) 【點評】本題考查線面垂直,空間幾何體的表面積;考查空間想象,運算求解以及轉(zhuǎn)化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關(guān)垂直的幾何問題的常

28、用轉(zhuǎn)化方法;四棱柱與四棱臺的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構(gòu)成,只需求解四邊形的各邊長即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因為平面,平面,所以.又因為為中邊上的高,所以.,平面,平面,所以平面. (),因為是的中點,平面,所以點到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點,連接、.因為是的中點,所以且.而是上的點且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因為平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及體積等基本知識,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、

29、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【解析】(1)又長方體AD平面.點A到平面的距離AD=1, =×2×1=1 , (2)將側(cè)面繞逆時針轉(zhuǎn)動90°展開,與側(cè)面共面.當(dāng),M,C共線時, +MC取得最小值A(chǔ)D=CD=1 ,=2得M為的中點連接M在中,=MC=,=2, =+ , =90°,CM, 平面,CM AMMC=C CM平面,同理可證AM 平面MAC 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度,并加以證明和求解. 解:設(shè),以為原點,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)

30、系,則設(shè). ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設(shè)平面的法向量為,又,由得,設(shè)平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習(xí)的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點,這樣的解決對于學(xué)生來說就是比較有點難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【考點定位】本題第二問是對基本功的考查,對于知識掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決.第三問的創(chuàng)新式問法,難度比較大.

31、解:(1)因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DEBC.又因為DE平面A1CB,所以DE平面A1CB. (2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F 平面A1DC, 所以DEA1F.又因為A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE (3)線段A1B上存在點Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如圖, 分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC. 又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知DE平面A1DC,所以DEA1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點, 所以A1CDP,所以A1C

32、平面DEP,從而A1C平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q,使得A1C平面DEQ. 【解析】(I)連接,共面 長方體中,底面是正方形 面 ()在矩形中, 得: 【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力. 方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設(shè)平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則， 即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以. (2)解:如圖,作于點,連接,由,可得平面.因此,從而為二面角

33、的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值為. 【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習(xí)的試題相似,但底面是非特殊 的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點E的位置是不確定的,需要學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【解析】(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)面 取的中點,過點作于點,連接 ,面面面 得:點與點重合 且是二面角的平面角 設(shè),則, 既二面角的大小為 【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建系求二面角等知識點. ()如圖連接BD. M,N分別為PB,PD

34、的中點, 在PBD中,MNBD. 又MN平面ABCD, MN平面ABCD; ()如圖建系: A(0,0,0),P(0,0,),M(,0), N(,0, 0),C(,3,0). 設(shè)Q(x,y,z),則. ,. 由,得:. 即:. 對于平面AMN:設(shè)其法向量為. . 則. . 同理對于平面AMN得其法向量為. 記所求二面角AMNQ的平面角大小為, 則. 所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為. 【答案】()見解析;() . 【考點定位】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識,具體涉及到線面垂直的關(guān)系,二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練進(jìn)行線線垂直與線面

35、垂直的轉(zhuǎn)化,主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力.本題可以利用空間向量來解題,從而降低了題目的難度. 解:(1)由,為的中點,得,又,故,所以點到平面的距離為 (2)如圖,取為的中點,連結(jié),則,又由(1)知,故,所以為所求的二面角的平面角. 因為在面上的射影,又已知,由三垂線定理的逆定理得,從而都與互余,因此,所以,因此,即,得. 從而,所以,在中, 解析(1)連接OC.由已知,所成的角 設(shè)AB的中點為D,連接PD、CD. 因為AB=BC=CA,所以CDAB. 因為等邊三角形, 不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=,AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan. 故直線PC與平面ABC所

36、成的角的大小為arctan (2)過D作DE于E,連接CE. 由已知可得,CD平面PAB 根據(jù)三垂線定理可知,CEPA, 所以,. 由(1)知,DE= 在RtCDE中,tan 故 點評本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識,考查思維能力、空間想象能力,并考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力. ABCDPExyz解(1)因為PA底面ABCD,所以PACD,又ADCD,所以CD平面PAD, 從而CDPD 因為PD=,CD=2, 所以三角形PCD的面積為 (2)解法一如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系, 則B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1), , 設(shè)與的夾角為

37、q,則 ,q=. ABCDPEF由此可知,異面直線BC與AE所成的角的大小是 解法二取PB中點F,連接EF、AF,則 EFBC,從而AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線 BC與AE所成的角 在中,由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形, 所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 解(1),又為三棱錐的高, (2),所以或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線與所成的角. 連接平面,在中, ,故,即異面直線與所成的角為 解析:(1)證法一 如圖,過直線上任一點作平面的垂線,設(shè)直線的方向向量分別是,則共面,根據(jù)平面向量基本定理,存在實數(shù)使得 則 因為,所以 又因為,所以 故,從而 證法二 如圖,記,為直線

38、上異于點A的任意一點,過P作,垂足為O,則 ,直線 又,平面, 平面,又平面, (2)逆命題:a是平面內(nèi)一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則. 逆命題為真命題. 解析:()在等腰梯形ABCD中,ABCD,DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知, 即,在中,DAB=60°,則為直角三角形,且.又AEBD,平面AED,平面AED,且,故BD平面AED; ()由()可知,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,向量為平面的一個法向量. 設(shè)向量為平面的法向量,則,即, 取,則,則為平面的一個法向量. ,而二面角F-BD-C的平面角為銳角,則 二面角F-

39、BD-C的余弦值為. 解法二:取的中點,連接,由于,因此, 又平面,平面,所以 由于平面,所以平面 故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因為,又,所以, 故,因此二面角的余弦值為. 【答案及解析】 【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點.又因為為中點所以，又平面 平面，因此 6分（2）以為坐標(biāo)原點，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)則，于是，所以，設(shè)是平面的法向量，由得，可取設(shè)是平面的法向量，由得，可取因為為直二面角，所以，解得12分【點評】本題以三棱柱為載

40、體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明. 【解析】 解:(1)證明:連接AO,在中,作于點E,因為,得, ByOCAEzA11B1C1x因為平面ABC,所以,因為, 得,所以平面,所以, 所以平面, 又, 得 (2)如圖所示,分別以所在的直線 為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知得點E的坐標(biāo)為,由(1)可知平面的法向量是

41、,設(shè)平面的法向量, 由,得,令,得,即 所以 即平面平面與平面BB1C1C夾角的余弦值是. 【點評】本題考查線面垂直,二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中,立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直,平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明;二、考查空間幾何體的體積與表面積;三、考查異面角,線面角,二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問,第3種考查多出現(xiàn)在第2問;對于角度問題,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法. 【答案】證明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面. (2),為的中點,. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由

42、(1)知,平面,. 又平面平面,直線平面 【考點】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系. 【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和證得. (2)要證直線平面,只要證平面上的即可. 【解析】 解法1(如圖(1),連接AC,由AB=4, E是CD的中點,所以 所以 而內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE. ()過點B作 由()CD平面PAE知,BG平面PAE.于是為直線PB與平面PAE 所成的角,且. 由知,為直線與平面所成的角. 由題意,知 因為所以 由所以四邊形是平行四邊形,故于是 在中,所以 于是 又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 ABCDPE圖 xyz345h

43、解法2:如圖(2),以A為坐標(biāo)原點,所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點坐標(biāo)為: ()易知因為 所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以 ()由題設(shè)和()知,分別是,的法向量,而PB與 所成的角和PB與所成的角相等,所以 由()知,由故 解得. 又梯形ABCD的面積為,所以四棱錐的體積為 . 【點評】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積,或者建立空間直角坐標(biāo)系,求得高幾體積. 考點分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運用空間向量法對計算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如圖1所示的中,設(shè),則. 由,知,為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立, 故當(dāng),即時, 三棱錐的體積最大. 解法2: 同解法1,得. 令,由,且,解得. 當(dāng)時,;當(dāng)時,. 所以當(dāng)時,取得最大值. 故當(dāng)時, 三棱錐的體積最大. ()解法1:以為原點,建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系. 由()知,當(dāng)三棱錐的體積最大時,. 于是可得, 且. 設(shè),則. 因為等價于,即 ,故,. 所以當(dāng)(即是的靠