隨機(jī)信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、隨機(jī)信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告隨機(jī)信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告院系名稱學(xué)生姓名學(xué) 號(hào)指導(dǎo)教師目錄一、實(shí)驗(yàn)要求：3二、實(shí)驗(yàn)原理：32.1 隨機(jī)信號(hào)的分析方法32.2 隨機(jī)過程的頻譜32.3 隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和功率譜4（1）隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)：4（2）隨機(jī)信號(hào)的功率譜4三、實(shí)驗(yàn)步驟與分析53.1實(shí)驗(yàn)方案53.2實(shí)驗(yàn)步驟與分析5任務(wù)一：（s1 變量）求噪聲下正弦信號(hào)的振幅和頻率5任務(wù)二：（s1 變量）求噪聲下正弦信號(hào)的相位8任務(wù)三：（s1 變量）求信號(hào)自相關(guān)函數(shù)和功率譜11任務(wù)四：（s變量）求噪聲下信號(hào)的振幅和頻率13任務(wù)五：（s變量）求信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜163.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與誤差分析18（1）實(shí)驗(yàn)結(jié)果18（2）結(jié)

2、果驗(yàn)證18（3）誤差分析20四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)和感悟211、實(shí)驗(yàn)總結(jié)212、實(shí)驗(yàn)感悟22五、附低通濾波器的Matlab程序22一、實(shí)驗(yàn)要求：（學(xué)號(hào)末尾3，7）兩個(gè)數(shù)據(jù)文件，第一個(gè)文件數(shù)據(jù)中只包含一個(gè)正弦波，通過MATLAB仿真計(jì)算信號(hào)頻譜和功率譜來估計(jì)該信號(hào)的幅度，功率，頻率和相位？對(duì)第二個(gè)文件數(shù)據(jù)估計(jì)其中正弦波的幅度，功率和頻率？寫出報(bào)告，包含理論分析，仿真程序及說明，誤差精度分析等。第一文件調(diào)用格式load FileDat01_1 s1，數(shù)據(jù)在變量s1中；第二文件調(diào)用格式load FileDat01_2 s，數(shù)據(jù)在變量s中。二、實(shí)驗(yàn)原理：2.1 隨機(jī)信號(hào)的分析方法在信號(hào)與系統(tǒng)中，我們把信號(hào)分為確

3、知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。其中隨機(jī)信號(hào)無確定的變化規(guī)律，需要用統(tǒng)計(jì)特新進(jìn)行分析。這里我們引入隨機(jī)過程的概念，所謂隨機(jī)過程就是隨機(jī)變量的集合，每個(gè)隨機(jī)變量都是隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性一般采用隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度來描述，他們能夠?qū)﹄S機(jī)過程作完整的描述。但由于在實(shí)踐中難以求得，在工程技術(shù)中，一般采用描述隨機(jī)過程的主要平均統(tǒng)計(jì)特性的幾個(gè)函數(shù)，包括均值、方差、相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度等來描述它們。2.2 隨機(jī)過程的頻譜信號(hào)頻譜分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號(hào)的特征。時(shí)域信號(hào)x(t)的傅氏變換為：信號(hào)的時(shí)域描述只能反映信號(hào)

4、的幅值隨時(shí)間的變化情況，除只有一個(gè)頻率分量的簡(jiǎn)諧波外,一般很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量的大小。信號(hào)的頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量處信號(hào)成分的大小，它能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。在實(shí)際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號(hào)x(t)的離散采樣值x(nT)，因此需要利用離散信號(hào)x(nT)來計(jì)算信號(hào)x(t)的頻譜。有限長(zhǎng)離散信號(hào)x(n)，n=0，1，N-1的DFT定義為：其中 2.3 隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和功率譜（1）隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)：信號(hào)的相關(guān)性是指客觀事物變化量之間的相依關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻t和t+的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用相關(guān)函數(shù)表示。

5、在離散情況下，信號(hào)x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)定義為： ,t=0,1，2,N-1隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)表示波形自身不同時(shí)刻的相似程度。與波形分析、頻譜分析相比，它具有能夠在強(qiáng)噪聲干擾情況下準(zhǔn)確地識(shí)別信號(hào)周期的特點(diǎn)。一般來說，信號(hào)與噪聲在時(shí)域內(nèi)有明顯不同，信號(hào)前后是有關(guān)聯(lián)的，存在相關(guān)性；而噪聲在不同時(shí)刻基本上不存在關(guān)聯(lián)，即不存在相關(guān)性利用這種相關(guān)性原理，已成為從強(qiáng)噪聲中提取弱信號(hào)的重要手段。這種技術(shù)的理論基礎(chǔ)是信息論和隨機(jī)過程理論，這種檢測(cè)方法被稱為相關(guān)檢測(cè)。（2）隨機(jī)信號(hào)的功率譜隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是隨機(jī)信號(hào)的各個(gè)樣本在單位頻帶內(nèi)的頻譜分量消耗在一歐姆電阻上的平均功率之統(tǒng)計(jì)均值，是從頻域描述隨機(jī)

6、信號(hào)的平均統(tǒng)計(jì)參量，表示X(t)的平均功率在頻域上的分布。它只反映隨機(jī)信號(hào)的振幅信息，而沒有反映相位信息。隨機(jī)過程的功率譜密度為： 隨機(jī)信號(hào)的平均功率就是隨機(jī)信號(hào)的均方值，功率譜密度曲線下的總面積（即隨機(jī)信號(hào)的全部功率）等于隨機(jī)信號(hào)的均方值。隨機(jī)信號(hào)的功率譜與它的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換對(duì)。三、 實(shí)驗(yàn)步驟與分析本實(shí)驗(yàn)利用Matlab軟件編程來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)文件中波形的仿真與分析，最后通過濾波器還原正弦信號(hào)，與結(jié)果進(jìn)行比較。3.1 實(shí)驗(yàn)方案顯示圖形低通濾波器（去除高頻噪聲）自相關(guān)函數(shù)功率譜頻譜相位分析采樣原信號(hào)3.2 實(shí)驗(yàn)步驟與分析任務(wù)一：（s1 變量）求噪聲下正弦信號(hào)的振幅和頻率（1）原理：采用

7、傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)X(f)，并作出幅頻曲線進(jìn)行分析，離散信號(hào)x(n)，n=0，1，N-1的DFT公式如下：其中 在Matlab的編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，運(yùn)用的是快速算法傅里葉算法FFT，它是DFT的快速算法。因?yàn)榻o定的數(shù)據(jù)文件中采樣點(diǎn)數(shù)N=4096，所以取采樣頻率fs=4096Hz。（2）Matlab仿真結(jié)果及分析圖1 隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域圖形圖2 隨機(jī)信號(hào)的頻域圖形由時(shí)域圖形可知，正弦信號(hào)被噪聲“淹沒”了，所以時(shí)域上看不出任何信號(hào)的特征，進(jìn)行傅里葉變換，頻域特征如圖2所示。已知采樣頻率fs=4096Hz，所以Nyquist頻率為fs/2=2048Hz，傅里葉變換的數(shù)據(jù)具有對(duì)稱性，整個(gè)頻

8、譜以Nyquist頻率為對(duì)稱軸，所以頻譜分析的時(shí)候只要截取02048Hz范圍內(nèi)的頻譜進(jìn)行分析。由頻譜曲線可知，信號(hào)在82Hz處有一個(gè)峰值，大小為4021，所以可以得出：信號(hào)頻率： 信號(hào)絕對(duì)幅度：（3）附Matlab程序及說明clc; %清空clear all; %清除所有變量 close all; %關(guān)閉所有窗口 load('C:UserscaoliliDesktopFileDat01_1.mat')fs=4096; %設(shè)定采樣頻率N=4096; %采樣點(diǎn)數(shù)n=0:N-1;t=n/fs; %采樣時(shí)間間隔subplot(211); %兩行一列第一幅圖plot (n,s1);%畫出

9、時(shí)域波形xlabel('時(shí)間t(1/4096s)');ylabel('信號(hào)s1');title('原信號(hào)時(shí)域波形');grid;%進(jìn)行FFT變換并做頻譜圖y=fft(s1,N);%進(jìn)行fft變換mag=abs(y);%求幅值f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%進(jìn)行對(duì)應(yīng)的頻率轉(zhuǎn)換subplot(212);%兩行一列第二幅圖plot(f,mag);%作頻譜圖xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅值');title('信號(hào)的幅頻譜圖N=4096');gr

10、id;任務(wù)二：（s1 變量）求噪聲下正弦信號(hào)的相位（1）原理設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為：式中，w（n）為已知方差的高斯白噪聲，正弦信號(hào)的幅度A和頻率f0為已知。一種估計(jì)的估計(jì)量為定義信噪比為。由上面已經(jīng)求的信號(hào)幅度A=1.96，f=82Hz，N=4096。產(chǎn)生服從特定概率分布的觀測(cè)數(shù)據(jù)x（n）；利用估計(jì)算法計(jì)算估計(jì)量；上述過程重復(fù)M次，產(chǎn)生M個(gè)的實(shí)現(xiàn)利用確定估計(jì)量的均值。利用確定估計(jì)量的方差。利用直方圖來確定PDF：首先計(jì)算落入某指定區(qū)間的次數(shù)，然后再除以總的實(shí)現(xiàn)次數(shù)得到概率，再除以區(qū)間長(zhǎng)度得到PDF估計(jì)。（2）Matlab仿真結(jié)果及分析根據(jù)利用matlab仿真得到的PDF估計(jì)如圖3所示。圖3 隨機(jī)信號(hào)的相

11、位的統(tǒng)計(jì)特性由上面的仿真結(jié)果可知初相位約在0時(shí)具有最大概率，所以：（3）附Matlab程序及說明clc; %清空clear all;%清除所有變量 close all;%關(guān)閉所有窗口 load('C:UserscaoliliDesktopFileDat01_1.mat')N=4096;A=1.96; %A為正弦信號(hào)幅值，f為其頻率f=82;n=0:N-1;s0=300;%設(shè)置循環(huán)次數(shù)for m=1:s0 y1=0; y2=0; for n1=1:N x1=s1(n1)*cos(2*pi*f*(n1-1); x2=s1(n1)*sin(2*pi*f*(n1-1); y1=y1+x

12、1; y2=y2+x2; end v(m)=-imag(log(y1+y2*j); %相位估計(jì)公式endaverg=mean(v) %求估計(jì)量的均值temp=0;for m=1:s0 a=(v(m)-averg)2; temp=temp+a;endvar=temp/s0; %求估計(jì)量的方差disp('var=');disp(var);n,xout=hist(v,100);bar(xout,n);xlabel('估計(jì)相位（弧度）');ylabel('p（x）'); y2=0; for n1=1:N x1=s1(n1)*cos(2*pi*f*(n1-

13、1); x2=s1(n1)*sin(2*pi*f*(n1-1); y1=y1+x1; y2=y2+x2; end v(m)=-imag(log(y1+y2*j); %相位估計(jì)公式endaverg=mean(v) %求估計(jì)量的均值temp=0;for m=1:s0 a=(v(m)-averg)2; temp=temp+a;endvar=temp/s0; %求估計(jì)量的方差disp('var=');disp(var);n,xout=hist(v,100);bar(xout,n);xlabel('估計(jì)相位（弧度）');ylabel('p（x）');任務(wù)三

14、：（s1 變量）求信號(hào)自相關(guān)函數(shù)和功率譜（1）原理：對(duì)于噪聲中信號(hào)的功率譜分析，有傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代建模方式。本次實(shí)驗(yàn)中主要采用傳統(tǒng)譜估計(jì)的自相關(guān)法，又稱為間接法或BT法。具體步驟是先由估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)求傅里葉變換得到的功率譜，記之為，并以此作為對(duì)的估計(jì)，即。（2）Matlab仿真結(jié)果及分析在Matlab中主要用C (Xn) = xcorr(xn,'unbiased')函數(shù)來計(jì)算Xn的自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，便得到它的功率譜。圖4 隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)圖4 隨機(jī)信號(hào)的功率譜原信號(hào)在時(shí)域上時(shí)被噪聲淹沒，經(jīng)過自相關(guān)后可以看出信號(hào)為正弦信號(hào)，并且由自相關(guān)函數(shù)圖象可知：

15、混合信號(hào)的平均功率：正弦信號(hào)的平均功率：在功率譜圖像上，極值點(diǎn)坐標(biāo)為（82,27.72），正好對(duì)應(yīng)正弦信號(hào)的頻率為82Hz，與上面的頻譜分析一致。對(duì)功率譜密度曲線積分也可求出信號(hào)的平均功率。（3）附Matlab程序及說明%自相關(guān)函數(shù)clc;%清空clear all;%清除所有變量 close all;%關(guān)閉所有窗口 load('C:UserscaoliliDesktopFileDat01_1.mat')fs=4096;%設(shè)定采樣頻率N=4096;%采樣點(diǎn)數(shù)n=0:N-1;t=n/fs;Lag=300;%延遲樣點(diǎn)數(shù)c,lags=xcorr(s1,Lag,'unbiased

16、');%對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行無偏自相關(guān)估計(jì)subplot(1,2,1);plot(n,s1);%繪制原信號(hào)的時(shí)域波形xlabel('時(shí)間t(1/4096s)');ylabel('信號(hào)s1');title('帶噪聲的信號(hào)波形');grid on;subplot(1,2,2);plot(lags/fs,c);%繪制自相關(guān)函數(shù)圖象xlabel('時(shí)間t');ylabel('Rx(t)');title('帶噪聲的信號(hào)自相關(guān)函數(shù)');grid on;%功率譜clc;%清空clear all; %清除所有變量

17、 close all;%關(guān)閉所有窗口 load('C:UserscaoliliDesktopFileDat01_1.mat')fs=4096;%設(shè)定采樣頻率N=4096;%采樣點(diǎn)數(shù)n=0:N-1;t=n/fs;Lag=300;%延遲樣點(diǎn)數(shù)c,lags=xcorr(s1,Lag,'unbiased');%求信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)fy=fft(c,N);%對(duì)自相關(guān)函數(shù)做FFT變換t1=0:round(N/2-1);a=t1*fs/N;P=10*log10(fy(t1+1);%縱坐標(biāo)為相對(duì)功率譜密度，單位dB/Hzfigure(gcf);plot(a,P);ylabel(&

18、#39;功率譜密度dBw/Hz');title('信號(hào)的功率譜');grid;任務(wù)四：（s變量）求噪聲下信號(hào)的振幅和頻率（1）原理：同“任務(wù)一”的原理相同（2）Matlab仿真結(jié)果及分析圖5 隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域波形（s變量）圖6 隨機(jī)信號(hào)的頻譜（s變量）對(duì)于頻譜圖的局部放大如下圖所示：圖7 隨機(jī)信號(hào)的局部放大的頻譜（s變量）由頻域分析可以發(fā)現(xiàn)，信號(hào)的頻譜圖上有兩個(gè)峰值，由Matlab計(jì)算得兩個(gè)極點(diǎn)分別為：（82,4053）（86,8150）所以信號(hào)由兩個(gè)頻率相近的正弦信號(hào)組成，根據(jù)圖形分析，有用信號(hào)應(yīng)該是兩個(gè)正弦信號(hào)相加，形如：根據(jù)“任務(wù)一”的計(jì)算方式，可以得出：有用信號(hào)的

19、頻率：有用信號(hào)的絕對(duì)振幅：對(duì)于此處采樣點(diǎn)數(shù)N和采樣頻率fs的確定要滿足頻率分辨率的要求，即：所以，要能有效的區(qū)分頻率軸上的兩個(gè)頻率點(diǎn)f1和f2，有效數(shù)據(jù)長(zhǎng)度必須滿足以下關(guān)系式：所以此處取采樣頻率，采樣點(diǎn)數(shù)，滿足要求。（3）附Matlab程序及說明此處的Matlab程序設(shè)計(jì)與“任務(wù)一”的類似，只是變量調(diào)用時(shí)改變?yōu)镾，具體參考“任務(wù)一”的Matlab程序及說明，此處不贅述。任務(wù)五：（s變量）求信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜（1）原理：同“任務(wù)三”的原理相同（2）Matlab仿真結(jié)果及分析在Matlab中主要用C (Xn) = xcorr(xn,'unbiased')函數(shù)來計(jì)算Xn的自相關(guān)

20、函數(shù)，然后對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，便得到它的功率譜。圖8 隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)圖象（s變量）原信號(hào)在時(shí)域上時(shí)被噪聲淹沒，經(jīng)過自相關(guān)后可以看出信號(hào)為正弦信號(hào)，并且由自相關(guān)函數(shù)圖象可知：混合信號(hào)的平均功率：兩個(gè)正弦信號(hào)的平均功率：也可以通過對(duì)功率譜密度曲線積分求出信號(hào)的平均功率，其圖象如下所示：圖9 隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度（s變量）（3）附Matlab程序及說明此處的Matlab程序設(shè)計(jì)與“任務(wù)三”的類似，只是變量調(diào)用時(shí)改變?yōu)镾，具體參考“任務(wù)三”的Matlab程序及說明，此處不贅述。3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與誤差分析（1）實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)據(jù)文件，第一個(gè)文件數(shù)據(jù)s1只包含一個(gè)正弦波，第二個(gè)文件

21、數(shù)據(jù)s是兩個(gè)頻率相近的正弦信號(hào)相加。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下（采樣頻率為4096，采樣點(diǎn)數(shù)為4096）： S1中正弦波頻率為82Hz，振幅為1.96，初相位為0，正弦信號(hào)的平均功率為1.92W，混合信號(hào)的平均功率為2.93W，所以噪聲功率為1.01W；信號(hào)表達(dá)式為：， n=0,1,24096 S中兩個(gè)正弦波頻率分別為82Hz和86Hz，振幅分別為1.98和3.98，正弦信號(hào)的平均功率為9.88W，混合信號(hào)的平均功率為10.89W，所以噪聲功率為1.01W；信號(hào)表達(dá)式為：（n=0,1,24096）（2）結(jié)果驗(yàn)證由頻譜分析可知，有用信號(hào)都是低頻信號(hào)，所以可以通過一個(gè)低通濾波器把噪聲濾掉，從而得出有用信號(hào)。調(diào)用

22、matlab中的buttord低通濾波器，混合信號(hào)通過次低通濾波器后得如下圖10，圖13波形，可見高頻噪聲已被濾除，但波形不規(guī)則，現(xiàn)在進(jìn)行如下改善。將原信號(hào)直接兩重自相關(guān)，大幅度的提高信噪，然后再通過低通濾波器，得到的信號(hào)效果比較好，如下圖11所示。再通過求出的信號(hào)表達(dá)式： 作出波形，如圖12，圖14所示，三者相比較發(fā)現(xiàn)求出的波形具有較好的符合度。圖10混合信號(hào)通過低通濾波（s1變量）圖11原波形兩次自相關(guān)后濾波波形（s1變量）圖12計(jì)算出的信號(hào)表達(dá)式仿真（s1變量）圖13混合信號(hào)通過低通濾波（s變量）圖14計(jì)算出的信號(hào)表達(dá)式仿真（s變量）（3）誤差分析在本試驗(yàn)中信號(hào)中混入的是高斯白噪聲，它是

23、一個(gè)均值為零的隨機(jī)過程，任一時(shí)刻是均值為零的隨機(jī)變量。如圖15所示為高斯白噪聲的波形及其自相關(guān)函數(shù)波形：可以看出，高斯白噪聲具有隨機(jī)性及不相關(guān)（其自相關(guān)函數(shù)在t=0處為一沖激，即為該隨機(jī)過程的平均功率），所以主要的誤差是由噪聲帶入的。在用Matlab做信號(hào)仿真時(shí)，采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)的選擇也會(huì)帶來誤差，主要有混疊誤差和失真誤差，所以在經(jīng)過低通濾波器還原信號(hào)的時(shí)候，波形不太規(guī)則。此外，在估計(jì)信號(hào)相位時(shí)，運(yùn)用的是概率知識(shí)，根據(jù)概率的大小判定相位，本身就會(huì)帶來誤差。圖15高斯白噪聲及其自相關(guān)函數(shù)四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)和感悟1、實(shí)驗(yàn)總結(jié)在隨機(jī)信號(hào)分析中，我們要對(duì)信號(hào)進(jìn)行各方面的分析，例如：均值、均方值、方差、自（互）相關(guān)函數(shù)、頻譜、平均功率譜密度等等。（1）頻譜函數(shù)與功率譜函數(shù)意義的區(qū)別：在確定性信號(hào)的分析中，我們可以利用傅立葉變換得到原信號(hào)的頻譜函數(shù)，從而可以確定該信號(hào)時(shí)域與頻域的關(guān)系，反映信號(hào)能量在不同頻率上的分量。因此我們可以利用頻譜函數(shù)對(duì)信號(hào)的能量進(jìn)行求解，即帕斯瓦爾等式的應(yīng)用。但是如果平穩(wěn)過程的非零樣本函數(shù)持續(xù)時(shí)間為無限長(zhǎng)，則它不滿足絕對(duì)可積與總能量有限的條件，所以其傅立葉變換不存在。但是平穩(wěn)過程的樣本函數(shù)的功率通常存在而且有限，因此為了研究信號(hào)的能量分布，我們可以去研究信號(hào)的平均功率