對數(shù)的發(fā)明(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上對數(shù)的發(fā)明 對數(shù)的概念：logarithms 如果bn=x，則記n=log(b)(x)。其中，b叫做“底數(shù)”，x叫做“真數(shù)”，n叫做“以b為底的x的對數(shù)”。 log(b)(x)函數(shù)中x的定義域是x>0，零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；b的定義域是b>0且b1 對數(shù)的歷史： 對數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰首創(chuàng)“對數(shù)”這種高級運算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對數(shù)的發(fā)明者是十六世紀(jì)末到十七世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550-1617年）男爵。在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時的熱門學(xué)科?？墒怯捎诋?dāng)時常量數(shù)學(xué)

2、的局限性，天文學(xué)家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當(dāng)時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數(shù)字的計算技術(shù)，終于獨立發(fā)明了對數(shù)。當(dāng)然，納皮爾所發(fā)明的對數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對數(shù)理論并不完全一樣。在納皮爾那個時代，“指數(shù)”這個概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來引出對數(shù)，而是通過研究直線運動得出對數(shù)概念的。那么，當(dāng)時納皮爾所發(fā)明的對數(shù)運算，是怎么一回事呢？在那個時代，計算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數(shù)之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子：

3、0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、 這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對應(yīng)冪。如果我們要計算第二行中兩個數(shù)的乘積，可以通過第一行對應(yīng)數(shù)字的加和來實現(xiàn)。比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應(yīng)數(shù)字：64對應(yīng)6，256對應(yīng)8；然后再把第一行中的對應(yīng)數(shù)字加和起來：6814；第一行中的14，對應(yīng)第二行中的16384，所以有：64×25616384。納皮爾的這種計算方法，實際上

4、已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“對數(shù)運算”的思想了。回憶一下，我們在中學(xué)學(xué)習(xí)“運用對數(shù)簡化計算”的時候，采用的不正是這種思路嗎：計算兩個復(fù)雜數(shù)的乘積，先查常用對數(shù)表，找到這兩個復(fù)雜數(shù)的常用對數(shù)，再把這兩個常用對數(shù)值相加，再通過常用對數(shù)的反對數(shù)表查出加和值的反對數(shù)值，就是原先那兩個復(fù)雜數(shù)的乘積了。這種“化乘除為加減”，從而達到簡化計算的思路，不正是對數(shù)運算的明顯特征嗎？經(jīng)過多年的探索，納皮爾男爵于1614年出版了他的名著奇妙的對數(shù)定律說明書，向世人公布了他的這項發(fā)明，并且解釋了這項發(fā)明的特點。所以，納皮爾是當(dāng)之無愧的“對數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學(xué)史上享有這份殊榮。偉大的導(dǎo)師恩格斯在他的著作自然辯證法中，曾經(jīng)把

5、笛卡爾的坐標(biāo)、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明。法國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾說對數(shù)可以縮短計算時間，“在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”。 對數(shù)的性質(zhì)及推導(dǎo) 用表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數(shù) *表示乘號，/表示除號 定義式： 若an=b(a>0且a1) 則n=log(a)(b) 基本性質(zhì)： 1.a(log(a)(b)=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

6、4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 推導(dǎo) 1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的n=log(a)(b)帶入an=b) 2. MN=M*N 由基本性質(zhì)1(換掉M和N) alog(a)(MN) = alog(a)(M) * alog(a)(N) 由指數(shù)的性質(zhì) alog(a)(MN) = alog(a)(M) + log(a)(N) 又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3.與2類似處理 MN=M/N 由基本性質(zhì)1(換掉M和N) alog(a)(M/N) = alog(a)(M) / alog(a)(N) 由指

7、數(shù)的性質(zhì) alog(a)(M/N) = alog(a)(M) - log(a)(N) 又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以 log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4.與2類似處理 Mn=Mn 由基本性質(zhì)1(換掉M) alog(a)(Mn) = alog(a)(M)n 由指數(shù)的性質(zhì) alog(a)(Mn) = alog(a)(M)*n 又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以 log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 其他性質(zhì)： 性質(zhì)一：換底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推導(dǎo)如下 N = alog(a)(N) a = blog(b)(a

8、) 綜合兩式可得 N = blog(b)(a)log(a)(N) = blog(a)(N)*log(b)(a) 又因為N=blog(b)(N) 所以 blog(b)(N) = blog(a)(N)*log(b)(a) 所以 log(b)(N) = log(a)(N)*log(b)(a) 這步不明白或有疑問看上面的 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 性質(zhì)二：（不知道什么名字） log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) 推導(dǎo)如下 由換底公式lnx是log(e)(x),e稱作自然對數(shù)的底 log(an)(bm)=ln(an) / ln(bn) 由基本性質(zhì)4可得 log(an)(bm) = n*ln(a) / m*ln(b) = (m/n)*ln(a) / ln(b) 再由換底公式 log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) -（性質(zhì)及推導(dǎo) 完 ） 公式三: log