2021屆浙江新高考數(shù)學一輪復習：第二章3第3講函數(shù)的奇偶性、對稱性

1、第3講函數(shù)的奇偶性、對稱性理載制科實必幫知識I知識，國圖回顧:知識聚焦1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任個x,都有f(x)=f(x),那 么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任 個 x,都有 f(x)= f(x), 那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于原點對稱2.函數(shù)奇偶性的幾個重要結論(1)f(x)為奇函數(shù)？ f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數(shù)？ f(x)的圖象關于y軸對稱.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f(x)=0, xCD,其中定義域

2、D是關 于原點對稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相 反的單調性.(小)值，取最值時的自變量互為相反 取最值時的自變量也互為相反數(shù).(5)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大 數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),3.函數(shù)的對稱性a + b . 一 一(1)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a + x) = f(b x),則函數(shù)y=f(x)關于直線x=-2-對稱，特力1J地,當a=b=0時，函數(shù)y= f(x)關于y軸對稱，此時函數(shù) y=f(x)是偶函數(shù).(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(x) = 2b- f(2a- x),則函數(shù)y=

3、f(x)關于點(a, b)對稱，特別地，當a=0, b=0時，f(x) = - f(-x),則函數(shù)y= f(x)關于原點對稱，此時函數(shù)f(x)是奇函數(shù).疑誤到?析判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打X”)(1)若f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，則 f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點.()(3)如果函數(shù)f(x), g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則 F(x)= f(x)+g(x)是偶函數(shù).()(4)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.()(5)若函數(shù)f(x)=x2+(a+ 2)x+b,xC a, b的圖象關于直線 x=1對稱，則a +

4、b=2.()答案：(1)， (2)X (3)， (4)， (5)V教材彳行化1 .(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A. y=x2sin xB. y=x2cos xC. y= 11n x|D. y= 2 x解析：選B.根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(x)=f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)，C選項定義域為(0, +8),不具有奇偶性，d選項既不是奇 函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選 B.2.(必修1P45B組T6改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0, +8)上是減函數(shù)，且在區(qū) 間a, b(ab0)上的值域為3, 4,則在區(qū)間b, a上的值域為 .解析：法一

5、：根據(jù)題意作出y=f(x)的簡圖，由圖知函數(shù) f(x)在-b, a上的值域為4, 3法-:當 x C b, a時，-x a, b,由題意得 f(b)f(-x)f(a),即 一 3W f(x)w 4,所以4f(x) 3,即在區(qū)間b, a上的值域為 4, 3.答案: 4, 33.(必修1P45B組T4改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當xC 1, 1)時,一 4x2+ 2, - 1 x0時，f(x)=x2 + 4x-3,則函數(shù)f(x)的解 析式為f(x)=.解析：設 x0,所以 f(x) = f( x) = ( x)2+4( x)3 = x2+4x+3,由 x2+4x-3, x0,奇函

6、數(shù)的定義可知f(0)=0,所以f(x)= 0, x= 0,x2+4x+ 3, x0,答案：0, x=0,x2 + 4x+3, x02.設奇函數(shù)f(x)的定義域為 5, 5,若當xC 0, 5時，f(x)的圖象 如圖所示，則不等式f(x)0的解集為 .入_O X 5： i解析：由題圖可知，當 0vx0;當2xW5時，f(x)0,又f(x)是奇函數(shù)，所以當一2Vx0時，f(x)0,當一5Wx0.綜上，f(x)0可得3Vx3,所以x-40, x2 x, x0|x+3|3W0得2W xW2 且 xw 0,所以f(x)的定義域為2,0)U(0, 2,關于原點對稱.所以f(x) =山一x2(x+ 3) 3

7、44 x2所以 f(x) = - f(-x), 所以f(x)是奇函數(shù).(3)易知函數(shù)的定義域為(一8, 0)U(0, +8),關于原點對稱，又當x 0時，f(x) = x2+ x,則當 x0,故 f(x)=x2x=f(x);當 xV 0 時，f(x) = x2 x,則當x0時，一x 0,2.設函數(shù)f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且f(x)=則g(f(-8) =g (x) , x0時，f(x) = x(1 + x),則x0時，f(x)解析：當x0,所以f(-x)= (-x)(1 -x).又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)=-f(x)= (x)(1 x),所以 f(x)=x(1x).答案：x(1x)

8、考點EI函數(shù)的對稱性例國 已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當0x1時，f(x)=2x 1, 則 f(1og29)=()A. -7B. 8925C. - 10D. -T9(2)已知函數(shù)KxXaW，其圖象關于點(一3, 2)對稱，則f(2)的值是.【解析】(1)f(x+2)=-f(x) = f(-x),所以f(x)的圖象的對稱軸為x= 1,99991616f(10g29)= f 10g2，因為 110g242,故 f 10g =f210g=f 10g2-9，其中 010g2-9、一一，2,函數(shù)f(x)=；的圖象的對稱中心是 (4, 1),則a=.x a 1焦刀上已 用4

9、 工x ax a 1+1 .11解析：因為 f(x)=xa-1=x-a= 1+-a1,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心是(a+1, 1).由已知得a+1 = 4,故a= 3.答案：3考點日函數(shù)性質的綜合應用(高頻考點)函數(shù)的奇偶性及單調性是函數(shù)的兩大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題.主要命題角度有：(1)函數(shù)的奇偶性與單調性相結合；(2)函數(shù)的奇偶性與對稱性相結合.角度一函數(shù)的奇偶性與單調性相結合例 (2020金麗衢十二校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(4) = f( 2) = 0,在區(qū)間( 8, 3)與 3, 0上分別單調遞增和

10、單調遞減，則不等式 xf(x)0的解集為()A.(一00, 一 4)U(4, +)B.(4, 2)U(2, 4)C.(一00, - 4) U (一 2, 0)D.( oo, 4)U(-2, 0)U(2, 4)【解析】 因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(4) = f(-4) = f(2) = f(-2) = 0,又f(x)在(一8,3), 3, 0上分別單調遞增與單調遞減，所以xf(x)0 的解集為( 8, 4)U(-2, 0)U(2,4),故選D.【答案】 D角度二函數(shù)的奇偶性與對稱性相結合例51在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x) = f(2x).若f(x)在區(qū)間1, 2上是減函數(shù)，則f

11、(x)(A.在區(qū)間2, 1上是增函數(shù),在區(qū)間34上是增函數(shù)B.在區(qū)間2, 1上是增函數(shù),在區(qū)間34上是減函數(shù)C.在區(qū)間2, 1上是減函數(shù),在區(qū)間34上是增函數(shù)D.在區(qū)間2, 1上是減函數(shù),由 f(x)=f(2-x),函數(shù)在區(qū)間f(x)關于34上是減函數(shù)x= 1對稱,又因為f(x)在R上是偶函數(shù)，所以f(x)關于y軸對稱.又因為f(x)在區(qū)間1 , 2上是減函數(shù),所以f(x)在0, 1上為增函數(shù)，在1, 0上為減函數(shù)，故函數(shù)圖象如圖所示.由圖可知B正確.(1)關于奇偶性、單調性、對稱性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性將未知區(qū)間上的問 題轉化為已知區(qū)間上的問題.(2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方

12、便:f(x)為偶函數(shù)? f(x) = f(|x|).若奇函數(shù)在x= 0處有意義，則f(0)=0.1. (2020湖州模擬)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間1, 0上是嚴格0 x 1單調遞增函數(shù)，且滿足f(e)=0, f(2e)=1,則不等式的解集為 .0W f (x) 1解析：根據(jù)函數(shù)周期為2且為偶函數(shù)知，f(e)=f(e2)=0, f(2e)=f(2e4)=f(62e)= 1,0x 1因為06 2ee21,且根據(jù)對稱性知函數(shù)在 0, 1上單調遞減，所以的解0f (x) f(2x-1)? f(|x|)f(|2x-1|),所以 |x|2x 1,解得基礎題組練f(x) = 3-系+

13、土 + 系=g(x+ 2)+3,所以函數(shù) x I 1 x I 2 x I 3f(x)的圖象的對稱中心為(一2, 3).故選B.【答案】 B國回用雷此類問題求解的關鍵是從所給函數(shù)式中分離(或變形)出奇函數(shù)，進而得出圖象的對稱中 心，然后利用圖象的對稱性實現(xiàn)問題的求解.結論三：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x) = f(|x|).結論簡證當 x0 時，|x|=x,所以 f(x|)=f(x);當 xf(2x 1)成立的x的取值范圍是 1 + x, (2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x x0),知f(x)在0, +8)上單調遞增，且f(2)=0.所以，由已知條件可 知 f(x2)0? f(|x2|)

14、f(2).所以 |x-2|2,解得 x4.【答案】(1)1(2)x|x43-8(x0),則f(x 2)0的條件為 .【解析】(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)為偶函數(shù).當x0時，f(x) = ln(1+x)1 一， , ，易知此時f(x)單倜遞增.所以1. (2020舟山市普陀三中高三期中)下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在 (0, +8)上單調遞增的是()A. y=x2B. y=x3C. y= log2xD. y= 3 x解析：選B.A.函數(shù)y= x2為偶函數(shù)，不滿足條件.B,函數(shù)y=x3為奇函數(shù)，在(0, +00)上單調遞增，滿足條件.C. y=log2x的定義域為(0, +8),為非奇

15、非偶函數(shù)，不滿足條件.D,函數(shù)y= 3、為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.2. (2020衢州高三年級統(tǒng)一考試)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=x3 + ln(1 + x),則當 x0 時，f(x)=()A . x3 ln(1 x)B. x3+ln(1x)C. x3ln(1 x)D. x3+ln(1x)解析：選C.當x0, f(-x)= (-x)3 + ln(1 -x),因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所 以當 x 1時，f(x)=ln x,則有()1111A. f 3 f(2)f 2B. f 2 f(2)f 3C. f 1 f 1 f(2)D, f(2)f T 1時，f(x)= ln

16、x單調遞增，所以f 3 f 5 f(2),即f T f!0時，不等式3fx)J 2f(x)05x等價于3f(-x)-2f(x)0,所以有0xw 2,同理當x0時，可解得2Wx0)的最大值為 M,最小值為 N,且M +N=4,則實數(shù)t的值為.屈叫 國必 、tx2+2x+t2+ 2 018x52x+2 018x5 -,、甘晶 ,、曰大下將解析： 因為 f(x)=xTt= t+x2qt=t+g(x),其中 g(x)是奇函數(shù)，M+ N=t+g(x) + t+g(-x)=2t=4? t=2.答案：29. (2020杭州市富陽二中高三質檢 )已知定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足：f(1+x)=f(1 1x)

17、;在1, +8)上為增函數(shù)，若 xC 2, 1時，f(ax)f(x1)成立，則實數(shù)a的取值范圍為解析：根據(jù)題意，可知函數(shù) f(x)的圖象關于直線x=1對稱, 因為其在1 , + )上為增函數(shù)，則在(OO, 1)上是減函數(shù), 并且自變量離1越近，則函數(shù)值越小，由 f(ax)f(x 1)可得,|ax- 1|x- 1 -1|,化簡得 |ax1|x2,一 ,1,因為 xC 2, 1 ,所以 |x- 2| = 2-x,所以該不等式可以化為 x-2ax- 1 1在xC 1, 1上恒成立, (a+1) xi (a 1) xi 1從而有1,解得0a2,故答案為(0, 2).(a+1) *23 (a+1) X1

18、 則實數(shù)m的取值范圍是.解析：當xC(0, 2時，f(x) = 2x 1C(0, 3,又f(x)是定義在2, 2上的奇函數(shù)，所以 f(0)=0,當 xC2, 0)時，f(x)C 3, 0),所以函數(shù) f(x)的值域是3, 3.當 xC 2, 2時，g(x)=x2-2x+m m-1, m+8.由任意 xe2, 2,存在 x2 -2, 2,使得 g(x2) m 1 w 3,= f(x1)，可得3, 3? m-1, m + 8,所以？ 一5WmW -2.m+8 3答案：5, - 211. 已知函數(shù) f(x)=2x+ k 2 x, kCR.(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實數(shù) k的值；(2)若對任意的

19、xC 0, +8),都有f(x)2 -x成立，求實數(shù)k的取值范圍.解：(1)因為f(x)=2x+k-2x是奇函數(shù)，所以 f(-x)=- f(x), ke R,即 2 x+k2x= (2x+ k 2 x),所以(k+ 1) (1 + 22x)= 0對一切kC R恒成立，所以k=- 1.(2)因為 xC0, +8),均有 f(x)2 x,即 2、+ k 2 x2 x對 xC0, + 8)恒成立，所以1 k22x對xC 0, +8)恒成立，所以 1 k(22x) min,因為y=22x在0, +8)上單調遞增，所以(22x)min=1.所以 1 k0.所以實數(shù)k的取值范圍為(0, +8).12. (

20、2020紹興一中高三期中)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)=- (x- 1)2+1,求滿一1 一足ff(a) = 2的實數(shù)a的個數(shù).1當 x0 時，f(x) = (x1)2+1=2,解得Xi = 1 +乎,x2 = 1 乎；因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x0時，f(a) = (a-1)2+1 =f(a) = (a 1)2+1 =2-2方程無解;2-2-dic2、-f(a)= _(a_1)2+1 = 1,萬程有 1 解；f(a) = (a 1)2+1 = 1+乎，方程有 1 解；故當a0時，方程但)=*有4解，由偶函數(shù)的性質，易得當 a0,則一xv 0,所以 f(x)=- f(-x) =

21、- (-x)2+3(-x)+2 = - x2+ 3x3 一1, 一1 一2.所以在1, 3上，當 x=2時，f(x)max= 4；當 x=3 時，f(x)min = 2.所以 m4且 nW2.故 m- n9.42. (2020寧波效實中學高三月考)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)aw0,使得x取定義域內 的每一個值，者B有 f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準偶函數(shù).下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是 ()A. f(x) = xxB. f(x) = x2C. f(x)= tan xD. f(x) = cos(x+1)解析：選D.由f(x)為準偶函數(shù)的定義可知，若f(x)的圖象關于x= a(aw0)對稱

22、，則f(x)為準偶函數(shù)，A, C中兩函數(shù)的圖象無對稱軸， B中函數(shù)圖象的對稱軸只有x=0,而D中f(x)= cos(x+1)的圖象關于 x= kTt 1(kC Z)對稱.3.已知函數(shù)f(x) = a2x1.若f(x)為奇函數(shù)，則a=.解析：法一：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x) = -f(x),一 11一 112x12x+ 1 .即277 =- aS , 貝2a=2T7+二=2T7 = 1, 所以 a1 2.法二：因為f(x)為奇函數(shù)，定義域為R,所以f(0) = 0. ,1 ,11 ,1* , 一，所以a-2T7=0,所以a=2.經檢驗，當a=2時，f(x)是一個前函數(shù)答案：2. 一1 x4. 已知f(x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)-g(x)= 2，則f。)，g(0), g(1)之間的大小關系是 .解析：在 f(x)g(x)= 2 中，用一x替換 x,得 f( x)g(x)=2x,由于 f(x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以 f(-x)= - f(x), g(x)=g(x),因此得一f(x) g(x) =2 x_ 2x2 x+2x352x.聯(lián)立方程組解得