《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

1、精心整理精心整理微分學(xué)部分綜合練習(xí)、單項(xiàng)選擇題1 .函數(shù)y。的定義域是D . x 1且x 0lg x 12.下列各函數(shù)對(duì)中，D f(x) 22、sin x cos x, g(x) 1一 1一3 .設(shè) f (x) 一,則 f(f(x) C . x x4 .下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是C . y In二2x 15 .已知f (x) -x 1 ,當(dāng)(A )時(shí)，f(x)為無窮小量.A. x 0 tan x6 .當(dāng)x 時(shí)，下列變量為無窮小量的是D . 小xsin x 八 x 07 .函數(shù)f (x) x , 在x = 0處連續(xù)，則k =( C . 1 )k, x 08 .曲線y -FL在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率

2、為(A ) . A.-,x 129 .曲線y sinx在點(diǎn)(0, 0)處的切線方程為(A ) . A. y = x110 .設(shè) y lg2x,則 dy ( B ) . B . dxx ln1011 .下列函數(shù)在指定區(qū)間(，)上單調(diào)增加的是(B ) . B. e x12 .設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為q(p) 3 2jp ,則需求彈性為Ep= ( B二、填空題x 2,5x01 .函數(shù)f (x)2的定義域是5,2x2 1, 0 x 22 .函數(shù)f (x)1ln( x 5)的定義域是(-5, 2 )2 x3.若函數(shù) f(x 1) x2 2x 5,則 f(x) x2 6精心整理精心整理10x 10 x4

3、.設(shè) f (x)2,則函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱.5.x sin x limx x已知f(x) 1sin x丁當(dāng)時(shí)，f(x)為無窮小量.7.曲線y/x在點(diǎn)(i,i)處的切線斜率是y (1) 0.58.函數(shù)y 3(x 1)2的駐點(diǎn)是.x=19.需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為q(p)100pe工，則需求彈性為Ep三、計(jì)算題Qx1 .已知y 2cosx求 y (x).解：y (x) (2xcosx一)x2xln 2xsin x cosx2x2xln 2xsin x2 xcosxf(x)2xsinf (x)2x ln2sin x2xcosx 1 x3.已知ycos2xsin x2,求 y(x).y (x)sin

4、2x(2x)cosx2(x2)2xsin2xln22xcos x2已知yln3 x5xe ，求 y (x).解:y (x) 3ln2x(ln x)2 ，5x3ln x 5xe ( 5x) 5ex5,已知y2 cosx5解：因?yàn)?cosx (5)52cosxln 5(2cosx)2sin x52cosx ln 5所以y (7)2兀2cos-2sin - 52 ln5 2ln526.設(shè)ycos2xexVx ,求 dy精心整理11解：因?yàn)?y2ecos2x( sin 2x) x2 所以 dy2ecos2x( sin 2x) - x2 dx22sin x57 .設(shè) y e cos x ,求 dy.解：

5、因?yàn)?yesinx(sinx)5cos4 x(cosx)esinx cosx 5 cos4 xsin x所以dy (esinx cosx 5cos4 xsin x)dx8 .設(shè) y tan x32 x,求 dy.解：因?yàn)?y 二(x3) 2xln2(x)3： 3 2 x In 2cos2 x3cos2 x333x2所以 dy ( 2 x In 2)dxcos x四、應(yīng)用題21.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：C(x) 100 0.25x 6X(萬元),求：(1)當(dāng)x 10時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本；(2)當(dāng)產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均成本最?。?解(1)因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：

6、一2一 100一C(x) 100 0.25x 6xC(x) 0.25x 6, C (x) 0.5x 6x所以,C(10) 100 0.25 102 6 10 185/(尸； J100C(10) 0.25 10 6 18.5,C (10) 0.5 10 6 1110(2)令 C (x)100 0.25 0, x得 x 20 (x20舍去)精心整理x 20時(shí)，平均成因?yàn)閤 20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng)本最小.2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為 60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為q 1000 10P (q為需求量，p為價(jià)格).試求:(1

7、)成本函數(shù)，收入函數(shù);(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大?精心整理解 (1)成本函數(shù) C(q) = 60 q +2000.1因?yàn)?q 1000 10p ,即 p 100 一q ,1011 o所以收入函數(shù) R(q) = p q=( 100 q) q =100q q2.1 o1 o(2)禾1J潤(rùn)函數(shù) L(q) = R(q)-C(q) = 100q q2-(60 q+2000) = 40 q-q2-2000L，_10 _且L (q) =(40 q - q -2000 ) =40- 0.2 q10令L (q) = 0,即40- 0.2 q= 0,得4= 200,它是L (q )在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).所以，

8、q= 200是利潤(rùn)函數(shù)L(q)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大.3.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+0.01q2(元)，單位銷售價(jià)格為p = 14-0.01q (元/件)，試求：I.(1)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？(2)最大利潤(rùn)是多少？解 (1)由已知 R qp q(14 0.01q) 14q 0.01q2禾I潤(rùn)函數(shù) L R C 14q 0,01q2 20 4q 0.01q2 10q 20 0.02q2貝L 10 0.04q ,令 L 10 0.04q 0 ,解出唯一駐點(diǎn) q 250.因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為 250件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大

9、，(2)最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(250) 10 250 20 0.02 25022500 20 1250 1230 (元)4 .某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為C(q) 0-5q2 36q 9800 (元), 為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時(shí)，每件產(chǎn)品平均成本為多少？解 因?yàn)?C(q) C 0.5q 36 9800 (q 0) qq. 一9800 一.令C (q) 0 ,即 0.5 2二0,得 q1二140, q2= -140 (舍去). qq1二140是C(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值.所以=140是平均成本函數(shù)C(q)的最小值點(diǎn)，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為14

10、0件.此時(shí)的平均成本為C(140) 0.5 140 36 絲00 176 (元/件)1405.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C(q) 250 20q2q10(萬元).問:要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?解因?yàn)镃(q)=C=竺0C(q)=(當(dāng) q20次=2502 q110令C(q)=0,即啰工 q 100 ,得 q150q2=-50 (舍去)，qi=50是C(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).所以，q1=50是C(q)的最小值點(diǎn)，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn) 50件產(chǎn)品.積分學(xué)部分綜合練習(xí)、單選題1 .下列等式不成立的是().正確答案:A . exdx d(ex)sinxdx d(cosx)C . -

11、dx2xln xdx d() x2.若 f(x)dxc,則 f (x)=(.正確答案：DxA. e 2B.x1 a 2e2C.x1 Q 2 ee 4D.注意：主要考察原函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)3.下列不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是).正確答案:xsin2xdx4.若1f (x)exdx1exc,).正確答案:.正確答案：B5 .若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是(xA.f (x)dx F(x)axf(x)dx aF(x)F(a)bC.F(x)dx f (b) f (a) Dabf (x)dx aF(b)F(a)精心整理6.下列定積分中積分值為0的是().正確答案：A x x1 e

12、e , dx12 x x1 e e , dx12C .(x3 cosx)dx2(x sin x)dx7.下列定積分計(jì)算正確的是.正確答案：D12xdx 2116dx 151C.22inxdx 0sinxdx 08.下列無窮積分中收斂的是正確答案：CA 1 Inxdxexdx! dx121 x9.無窮限積分1 73 dx =).正確答案:D.、填空題應(yīng)該填寫：edx注意：主要考察不定積分與求導(dǎo)數(shù)(求微分)互為逆運(yùn)算，一定要注意是先積分后求導(dǎo)(微分)還是先求導(dǎo)(微分)后積分。2.函數(shù)f(x) sin 2x的原函數(shù)是應(yīng)該填寫:-cos2x + c23.若f (x)存在且連續(xù),則df(x)應(yīng)該填寫:f

13、 (x)汪忠:本題是先微分再積分最后在求導(dǎo)04.若f (x)dx(x 1)2 c ,則 f(x)應(yīng)該填寫：2(x 1)5.若f (x)dxF(x)c ,則 e x f (e x)dx =應(yīng)該填寫:F(ex) c汪忠:f()d()F () C,湊微分 exdxde x6.dx 1e 2ln( x1)dx應(yīng)該填寫：0注意：定積分的結(jié)果是“數(shù)值”，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0一 .1 x7.積分 2x 2 dx . 應(yīng)該填寫：01(x21)2注意：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的定積分為 08.無窮積分dx是.應(yīng)該填寫：收斂的0 (x 1)2、計(jì)算題(以下的計(jì)算題要熟練掌握！這是考試的 10分類型題)4 dx2解:4，一

14、dx = (x 2)dx =21 2-x 2x c22.計(jì)算.1 sin 一2xdx x解:.1 sin 一2x dx x.1 sin 一x1cos- cx3.計(jì)算x2 xdx解:x2 xdx2 2 xd( x)2 x2 x c ln24.計(jì)算xsin xdx解:xsinxdxxcosxcosxdxxcosx sin x5.計(jì)算(x 1)lnxdx解：(x1 , 1)lnxdx = -(x1)2 lnx21 (x 1)2dx一 1 / 2=2(x2x)lnx2 x x c6.計(jì)算12ex12dx1 x解:12ex2 dx =121 x12 -exd(1) x1ex1e2e27.dxx1 ln

15、x解：e211x 1 ln xdx =11lnxd(1Inx) =21 In xe2=2( 3 1)18.兀2 x cos2xdx0解:2 xcos2xdx =0-xsin 2x 2二. c ,_ 12sin2xdx =-cos2x)49.e 1o ln(x 1)dx解：1ln( x1)dxxln( x 1)六dx=e 1e 10 (11 )dx =x 1x ln(x 1)e1 = ln e=1注意：熟練解答以上各題要注意以下兩點(diǎn)(1)常見湊微分類型一定要記住，1 .，dx d (kx C), xdx k1 2 xx 1dx ,e dx de , 2 dx2 x,-dx 2dJx,1dx d

16、ln x,sin xdx xd cos x,cos xdx d sin x(2)分部積分:buvdxabudv uvabvdu,?？嫉挠腥N類型要清楚。精心整理四、應(yīng)用題(以下的應(yīng)用題必須熟練掌握！這是考試的20分類型題)1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C (x)=2x + 40(萬元/百臺(tái)).試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低解： 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為626C 4(2x 40)dx = (x2 40x)4= 100 (萬元)x又 C(x)C(x)3640 0C (x)dx c0 x2 40x 36 =xxx

17、1 與 0,解得x 6. x = 6是惟一的駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均成本達(dá) x2到最小的值。所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小.2 .已知某產(chǎn)品的邊際成本C (x)=2 (元/件)，固定成本為0,邊際收益R (x)=12-0.02 x,問產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？解： 因?yàn)檫呺H利潤(rùn) L (x) R(x) C (x) =12-0.02 x 2 = 10-0.02 x令L (x) = 0 ,得x = 500 ; x = 500是惟一駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤(rùn)最大.當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)改

18、變量為5502 550L 500 (10 0.02x)dx (10x 0.01x2)500 =500 - 525 = - 25(元)即利潤(rùn)將減少25元.3 .生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C (x)=8x(萬元/百臺(tái))，邊際收入為R (x)=100-2x (萬元/百臺(tái))，其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解： L (x) =R(x)-C(x) = (100- 2x) 8x =100 10x令L(x)=0,得x = 10 (百臺(tái))；又x = 10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問題確實(shí)存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10 (百臺(tái))時(shí)

19、，利潤(rùn)最大12122 1220X L wL(x)dx 1O(100 10x)dx (100x 5x2)1° 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬元.4 .已知某產(chǎn)品的邊際成本為C (q) 4q 3(萬元/百臺(tái))，q為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬 元)，求最低平均成本.精心整理解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為 C(q) (4q 3)dq = 2q2 3q cC(q)= 2q2 3q 18當(dāng)4 = 0 時(shí)，C(0) = 18 /Sc =18; 即又平均成本函數(shù)為 A(q)駒2q 3史 qq該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量令 A(q) 2 18- 0 ,解彳#q = 3 (百臺(tái))，

20、 q所以當(dāng)q = 3時(shí)，平均成本最低.最底平均成本為A(3) 2 3 3萬 9 (萬元/百臺(tái))5 .設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 C(x) 3 x(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸.銷售x噸 時(shí)的邊際收入為R(x) 15 2x (萬元/百噸)，求：(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；(2)在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn) 1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？解：(1)因?yàn)檫呺H成本為 C(x) 1,邊際利潤(rùn)L(x) R(x) C (x) = 14 - 2x令L(x) 0,得x = 7 ；由該題實(shí)際意義可知，x = 7為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.8如8(2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百

21、噸增加至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為L(zhǎng) 7(14 2x)dx (14x x2)7= - 1 (萬兀)即利潤(rùn)將減少1萬元.線性代數(shù)部分考核要求與綜合練習(xí)題第2章 矩陣1, 了解或理解一些基本概念(1) 了解矩陣和矩陣相等的概念；(2) 了解單位矩陣、數(shù)量矩陣和對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì)；(3) 理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件；(4) 理解矩陣初等行變換的概念。2 .熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算，掌握這幾種運(yùn)算的有關(guān)性 質(zhì)；3 .熟練掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣，解矩陣方程。第3章 線性方程組1 . 了解線性方程組的有關(guān)概念：n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩

22、陣、增廣 矩陣、一般解精心整理精心整理2 .理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理；熟練掌握用消元法求線性方程 組的一般解。3 .熟練掌握線性方程組解得情況判定定理線性代數(shù)部分綜合練習(xí)題、單項(xiàng)選擇題）可以進(jìn)行.1.設(shè)A為3 2矩陣，B為2 3矩陣，則下列運(yùn)算中（正確答案：AaB2.設(shè)A,B為同階可逆矩陣,則下列等式成立的是（正確答案：BA. (AB)T ATBTB.(AB)TBTATC. (ABT) 1 A 1(BT)D.(ABT) 11(B 1)T精心整理注意：轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣的性質(zhì)要記住3.以下結(jié)論或等式正確的是（正確答案:A.若A,B均為零矩陣，則有.若AB且A 。，則B CC.對(duì)角矩陣

23、是對(duì)稱矩陣O,B4.設(shè)A是可逆矩陣，且A AB（）.正確答案:A. BB. 1C.D. (I AB) 1注意：因?yàn)锳(I+B)=I,1 I+B5.設(shè)A(12)3),I是單位矩陣,則 ATBI =正確答案:6 .設(shè)A，則 r(A =.正確答案:7 .設(shè)線性方程組AXb的增廣矩陣通過初等行變換化為1000310013002120644,則此線性方程組10的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（）正確答案：A精心整理A . 1 B .28.線性方程組x1 x2 1解的情況是（Xi x20.3 D .4）.正確答案：AA.無解B.只有0解 C. 有唯一解D.有無窮多解9 .設(shè)線性方程組AmnX b有無窮多解的充

24、分必要條件是（） 正確答案：DA . r(A) r( A) m B . r( A) n C . m n D . r(A) r(A) n10 .設(shè)線性方程組AX b有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組 AX O （）.A .無解 B .有非零解C .只有零解 D .解不能確定正確答案：C二、填空題2 3 11 .若矩陣 A =1 2 , B= 23.應(yīng)該填寫：2 3 14 6 22.設(shè)A,B均為n階矩陣，則等式（AB）2 A2 2AB B2成立的充分必要條件是應(yīng)該填寫：A,B是可交換矩陣1 023 .設(shè)A a 0 3 ,當(dāng)a 時(shí)，A是對(duì)稱矩陣.應(yīng)該填寫：0 2 314 .設(shè)A,B均為n階矩陣，且（I B）可逆，則矩陣A BX X的解X=.應(yīng)該填寫：（I B） 1A5 .若線性方程組 x1 x2 0有非零解，則 .應(yīng)該填寫：-1X1x2 06 .設(shè)齊次線性方程組AmnXn1 0,且秩（A） = r < n,則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于.應(yīng)該填寫：n - r11 237 .齊次線性方程組AX 0的系數(shù)矩陣為A 0102則此方程組的一般解0000為.應(yīng)該填