軌跡問題方法與例題大全

1、軌跡問題、什么是軌跡？ 軌跡就是目標點的橫縱坐標之間的一個等量關(guān)系 、求軌跡的一般方法：1 .直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含x,y的等式,就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡一般有建系，設(shè)點，列式，化簡，證明五個步 驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”,可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程,P(x,y)卻隨另一動點 Q(x' , y')的運動 x' ,y'表示為x,y的式子，再代入 Q的軌2 .定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出

2、軌跡方程。3 .代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點 而有規(guī)律的運動，且動點 Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將 跡方程，然而整理得 P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。4 .參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。5 .交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。6 .幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動

3、點運動規(guī)律和動點滿足的條件，然而得出 動點的軌跡方程。三、注意事項：1 .直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x' =f(x,y),y' =g(x,y);參數(shù)法要合理選取點參、角參、斜率參等參數(shù)并學會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程； 幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2 .要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來后，要注意挖去或補上一些點等。3 .求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。 四、例題分析：(一)、直接法題型：1、在平面直角坐標系 xOy中，點A(4 , 0)、B(1 ,

4、 0),動點P滿足AB AP = 6| PB | .求點P的軌跡C的方程.2、(2009湖南)在平面直角坐標系xOy中，點P到點F (3, 0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和，求點P的軌跡C;3、(2009海南)已知橢圓C的中心為直角坐標系 xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1(1)求橢圓C的方程OP(2)若P為橢圓C的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，e_e =e (e為橢圓C的離心率)，求OM點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。4、(2007四川)已知。O的方程是x2+y2-2=0,O

5、O的方程是x2+y2-8x+10=0,由動點P向。和l y nFJ-1 O 1xC的方程;OO所引的切線長相等，則動點 P的軌跡方程是5. (2007福建理)如圖，已知點 F(1,0),直線l :x = -1 , P為平面上的動點，過 P作直線i的垂線，垂足為點q,且QpQF4eP"FQ"”.求動點p的軌跡c的方程;(二)、定義法與幾何法題型:1、已知動圓過定點F (0, 2),且與定直線L : y = -2相切.求動圓圓心的軌跡2、一動圓與兩圓 x2 + y2 =1和x2 + y2 +8x +12 = 0都外切，則動圓圓心的軌跡為3>AABO, A(0,-2),B(

6、0,2),且CA, AB, CB成等差數(shù)列，則C點的軌跡方程是4、設(shè)F,、F2是雙曲線x2-y2 =4的兩個焦點，Q是雙曲線上的任意一點，從 F1引/FQF 2平分線的垂線,垂足是P,求點P的軌跡方程5、已知M是以點C為圓心的圓(x+1)2+y2=8上的動點，定點 D(1,0).點P在DM上，點N在CM上,I T T -I且滿足DM =2DP,NP DM =0.動點N的軌跡為曲線 E .求曲線E的方程;226、已知橢圓 1+二=1(a >b A0)的左、右焦點分別是 Fl (c, 0)、F2 (c, 0), Q是橢圓外的動點，滿 a2 b2足|F1Q |=2a.點P是線段FiQ與該橢圓的

7、交點，點T在線段F2Q上，并且滿足PT,TF2=0,|TF2|# 0.(I)設(shè)x為點P的橫坐標，證明|FP|=a+£x； a(n)求點t的軌跡C的方程；7、(2007北京文)如圖，矩形 ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0), AB邊所在直線的方程為x 3y 6 = 0點T(1,1)在AD邊所在直線上.(I)求AD邊所在直線的方程；(II )求矩形ABCD外接圓的方程；(III )若動圓P過點N(2,0),且與矩形 ABCD的外接圓外切， 求動圓P的圓心的軌跡方程.8、如圖，某建筑工地要挖一個橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿BP=150m / APB=60,問怎能樣運才能最省

8、工？AR BP運至U P處，其中 AP=100m(三)、代入法題型：1.過橢圓4x2+9y2=36內(nèi)一點P(1,0)引動弦AB,則AB的中點M的軌跡方程是()2、若A點是圓(x-2) 2+(y-2) 2=1上的動點，點B(1,0),M分AB的比為2:1,則M點的軌跡方程是:222、(2009江西)已知點Pi(Xo,yo)為雙曲線4=1 (b為8b b正常數(shù))上任一點，F(xiàn)i為雙曲線的右焦點，過Pi作右準線的垂線，垂足為A,連接FiA并延長交y軸于F2,求線段P P2的中點P 的軌跡E的方程；3、(2006上海文)已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為1、F (-石0)，

9、右頂點為D(2,0)，設(shè)點A,1,1 .I 2)(1)求該橢圓的標準方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程;4、如圖，從雙曲線 x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為 N。 求線段QN的中點P的軌跡方程。5、已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原點，關(guān)于 x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線y=x ,關(guān)于直線y=-x , 關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。(四)、參數(shù)法題型：1、直線x +一=1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是 . a 2 -a22、(2004遼寧)設(shè)橢圓方程為 x2 +2一=1 ,過點M (0, 1)的直線l交橢圓于點A、B,。是坐標原點，點P41

10、 ,一 滿足OP = (OA+OB)，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：動點 P的軌跡方程；23、(2004福建)如圖，P是拋物線C: y=2x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.2(I)若直線l與過點P的切線垂直，求線段 PQ中點M的軌跡方程；(n)若直線l不過原點且與x軸交于點S,與y軸交于點試求LST_I +LSL!的取值范圍|SP| |SQ|4、經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點，求線段BC的中點M軌跡方程。22x y5、(2007天津理)設(shè)橢圓行十、=1(a Ab A 0)的左、右焦點分別為Fi, F2, A是橢圓上的一

11、點，AF2_LFiF2, a b-1原點O到直線AFi的距離為一OFi .3(1)證明 a = J2b ；(n)設(shè)Qi, Q2為橢圓上的兩個動點， OQ1 IOQ2,過原點O作直線Q1Q2的垂線OD ,垂足為D ,求點D 的軌跡方程.6、( 2005廣東)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點 O的兩不同動點 A B滿足AO±BO (如圖4所示).(I)求 AO即重心G (即三角形三條中線的交點)的軌跡方程；(n) 4AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.(五)、交軌法題型21、拋物線y - 4Px(p > 0)的頂點作互相垂直的兩弦 OA