軌跡問(wèn)題方法與例題大全

1、軌跡問(wèn)題、什么是軌跡？ 軌跡就是目標(biāo)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的一個(gè)等量關(guān)系 、求軌跡的一般方法：1 .直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表述成含x,y的等式,就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步 驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”,可從曲線定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程,P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn) Q(x' , y')的運(yùn)動(dòng) x' ,y'表示為x,y的式子，再代入 Q的軌2 .定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出

2、軌跡方程。3 .代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn) 而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn) Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將 跡方程，然而整理得 P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。4 .參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5 .交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f(shuō)是參數(shù)法的一種變種。6 .幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)

3、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然而得出 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。三、注意事項(xiàng)：1 .直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動(dòng)用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x' =f(x,y),y' =g(x,y);參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會(huì)消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程； 幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2 .要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來(lái)后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。3 .求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說(shuō)明軌跡是什么。 四、例題分析：(一)、直接法題型：1、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(4 , 0)、B(1 ,

4、 0),動(dòng)點(diǎn)P滿足AB AP = 6| PB | .求點(diǎn)P的軌跡C的方程.2、(2009湖南)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F (3, 0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和，求點(diǎn)P的軌跡C;3、(2009海南)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系 xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1(1)求橢圓C的方程O(píng)P(2)若P為橢圓C的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，e_e =e (e為橢圓C的離心率)，求OM點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。4、(2007四川)已知。O的方程是x2+y2-2=0,O

5、O的方程是x2+y2-8x+10=0,由動(dòng)點(diǎn)P向。和l y nFJ-1 O 1xC的方程;OO所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程是5. (2007福建理)如圖，已知點(diǎn) F(1,0),直線l :x = -1 , P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作直線i的垂線，垂足為點(diǎn)q,且QpQF4eP"FQ"”.求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程;(二)、定義法與幾何法題型:1、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F (0, 2),且與定直線L : y = -2相切.求動(dòng)圓圓心的軌跡2、一動(dòng)圓與兩圓 x2 + y2 =1和x2 + y2 +8x +12 = 0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為3>AABO, A(0,-2),B(

6、0,2),且CA, AB, CB成等差數(shù)列，則C點(diǎn)的軌跡方程是4、設(shè)F,、F2是雙曲線x2-y2 =4的兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的任意一點(diǎn)，從 F1引/FQF 2平分線的垂線,垂足是P,求點(diǎn)P的軌跡方程5、已知M是以點(diǎn)C為圓心的圓(x+1)2+y2=8上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) D(1,0).點(diǎn)P在DM上，點(diǎn)N在CM上,I T T -I且滿足DM =2DP,NP DM =0.動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線 E .求曲線E的方程;226、已知橢圓 1+二=1(a >b A0)的左、右焦點(diǎn)分別是 Fl (c, 0)、F2 (c, 0), Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿 a2 b2足|F1Q |=2a.點(diǎn)P是線段FiQ與該橢圓的

7、交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足PT,TF2=0,|TF2|# 0.(I)設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明|FP|=a+£x； a(n)求點(diǎn)t的軌跡C的方程；7、(2007北京文)如圖，矩形 ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0), AB邊所在直線的方程為x 3y 6 = 0點(diǎn)T(1,1)在AD邊所在直線上.(I)求AD邊所在直線的方程；(II )求矩形ABCD外接圓的方程；(III )若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N(2,0),且與矩形 ABCD的外接圓外切， 求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程.8、如圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿BP=150m / APB=60,問(wèn)怎能樣運(yùn)才能最省

8、工？AR BP運(yùn)至U P處，其中 AP=100m(三)、代入法題型：1.過(guò)橢圓4x2+9y2=36內(nèi)一點(diǎn)P(1,0)引動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是()2、若A點(diǎn)是圓(x-2) 2+(y-2) 2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0),M分AB的比為2:1,則M點(diǎn)的軌跡方程是:222、(2009江西)已知點(diǎn)Pi(Xo,yo)為雙曲線4=1 (b為8b b正常數(shù))上任一點(diǎn)，F(xiàn)i為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)Pi作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,連接FiA并延長(zhǎng)交y軸于F2,求線段P P2的中點(diǎn)P 的軌跡E的方程；3、(2006上海文)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為1、F (-石0)，

9、右頂點(diǎn)為D(2,0)，設(shè)點(diǎn)A,1,1 .I 2)(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;4、如圖，從雙曲線 x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為 N。 求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程。5、已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原點(diǎn)，關(guān)于 x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線y=x ,關(guān)于直線y=-x , 關(guān)于直線y=3對(duì)稱的曲線方程。(四)、參數(shù)法題型：1、直線x +一=1與x、y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是 . a 2 -a22、(2004遼寧)設(shè)橢圓方程為 x2 +2一=1 ,過(guò)點(diǎn)M (0, 1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P41

10、 ,一 滿足OP = (OA+OB)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程；23、(2004福建)如圖，P是拋物線C: y=2x2上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.2(I)若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段 PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；(n)若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)試求LST_I +LSL!的取值范圍|SP| |SQ|4、經(jīng)過(guò)拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點(diǎn)A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程。22x y5、(2007天津理)設(shè)橢圓行十、=1(a Ab A 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2, A是橢圓上的一

11、點(diǎn)，AF2_LFiF2, a b-1原點(diǎn)O到直線AFi的距離為一OFi .3(1)證明 a = J2b ；(n)設(shè)Qi, Q2為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， OQ1 IOQ2,過(guò)原點(diǎn)O作直線Q1Q2的垂線OD ,垂足為D ,求點(diǎn)D 的軌跡方程.6、( 2005廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn) O的兩不同動(dòng)點(diǎn) A B滿足AO±BO (如圖4所示).(I)求 AO即重心G (即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程；(n) 4AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(五)、交軌法題型21、拋物線y - 4Px(p > 0)的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦 OA