中考數(shù)學平移和幾何最值問題-4.28

1、中考數(shù)學平移和幾何最值問題題型一：平移解題思路：主要是使相等或有特殊關系的線段通過平移構(gòu)造到同一三角形或四邊形中若AB CD ,并相交，平移 CD與AB共頂點，會出現(xiàn)平行四邊形 CDDC和等腰4ADB;10若AB CD ,無交點，平移CD與AB共頂點，同樣會產(chǎn)生平行四邊形 CDDC和等腰4ABD .典例1:如圖所示，4ABC為等邊三角形,P 是 4ABC 內(nèi)任一點， PD II AB , PE II BC ,PF / AC ,若4ABC的周長為12,則PD PE PF等于多少?解析：過F作FN / PE ,過D作DM II PFPD II AB , PE II BC , PF II AC四邊形

2、FPEN和四邊形MDPF是平行四邊形.ABC是等邊三角形 A B AFN MDB 60 AFN和 MBD是等邊三角形PF=MD =MB,PE=FN =AF ,PD=FM丁等邊ABC周長為12PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4典例2：如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在平面上移動，始終保持EF/AB,線段CF的中點為M, DH的中點為N,則線段MN的長為（)解析：如圖，B【題型延伸】平移的輔助線構(gòu)造方法【延伸1】平移共端點1.兩線段相交有交點變式 1:如圖，AB CD 5, A 15 ,C 15 , D 105 ,則線段AD的長為解析：如圖，3.2.兩線段相交無

3、交點平移CD至A點D 15 ,則線段AD的長為變式2:如圖，AB CD 3,解析：如圖，216 .3.過中點平移【延伸2】平移使重合1 .平行變式3:已知平行四邊形ABCD對角線上有點E ,連接AE、CE ,且AE CE ,求證：平行四邊形ABCD是菱形.解析：如圖，四邊形CEDF為等腰梯形，對角線相等可得.2 .共線變式4：在凸四邊形 ABCD中，/BAD + / CBA 180,點E、F為邊CD上的兩點，且DE = FC.求證：AD + BC WAE + BF.解析：利用平移，如圖（1）,將4ADE沿著DC的方向平移，使得 DE和FC重合得到AGFC,故 AD + BC = GF + BC

4、, AE + BF = GC + BF,可證 AD + BC RtACPF、RtAFPD 中22AP AE EP22222,BP EP BE , CPCF22PF ，2DP2FP2DF 2_222. AE DF , BE CF ,，AP CP BP DP .方法二：如圖 2,過點P作PD II AD且PD AD,連接DD、可知四邊形 APDD、BPDC是平行四邊形，DDAP, CDBP,CD PD利用任意對角線垂直的四邊形的對邊平方和相等的結(jié)論可得_ 222_22_222_ 2222PC DD PD CD ,即 AP CP BP DP . PC AP PD PB題型三：最值問題解題思路：最值問

5、題主要是利用三大變換實現(xiàn)線段的集散，解題核心思想：兩點之間線段最短；點到直線之間垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊.典例:如圖，四邊形 ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形， M為對角線BD (不含B點)上任意一點，將 BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得至ij BN ,連接EN、AM、CM .AC(1)證明： ABM EBN (2)當M點在何處時，AM BM CM的值最小，并說明理由;(3)當AM BM CM的最小值為由1時，則正方形的邊長解析：: ABE是等邊三角形，BA= BE, ABE= 60 .MBN=60 ，MBN- ABN= ABE- ABN,即 BMA= NBE .又MB：NB,AA

6、MBAENB (SAS)如圖，連接 CE ,當M點位于BD與CE的交點處時， AM BM CM的值最小.AFBC理由如下：連接 MN ,由知， AAMBAENB,，AM = EN.MBN=60 , MB= NB,，ABMN 是等邊三角形， AM BM CM = EN MN CM根據(jù) 兩點之間線段最短”，得EN MN CM = EC最短當M點位于BD與CE的交點處時， AM BM CM的值最小，即等于 EC的長正方形的邊長為 72,過E點作EF BC交CB延長線于F,，EBF= 9060= 30.設正方形的邊長為x,則BF=43x, EF=x.222_2在 RtEFC 中，. EF2 FC 2=

7、 EC2,，-x xJ3 1 ?22解得，x=J2 （舍去負值）.，正方形的邊長為V?【分析】本題實質(zhì)為尋找三角形的費馬點，而找費馬點的過程即為旋轉(zhuǎn)的過程，其旋轉(zhuǎn)角為60。，而60。旋轉(zhuǎn)不論是在三角形還是四邊形中都為?？純?nèi)容，需要同學們熟練掌握.此題在題干部分已提示作法，并通過兩問進行了逐步引導， 具有很強的可操作性和訓練價值，程度好的班級可適當拓展費馬點的相關知識點. 如圖1所示，正方形 ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD PE的和最小，則這個最小值為（）A. 2向B. 2遙C. 3 如圖2,邊長為6的菱形ABCD中， ABC

8、 60, E、F分別為BD、BC邊上的動點，則CE EF的最小值為.如圖3,長方體的長為15 ,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5 , 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 A爬到點C ,需要爬行的最短距離是（）A. 5而B. 25 C. 10。5 5 D. 35圖2解析： A.分析：PD PE3顯如圖，將點C對稱到點PB PE BE AB 阮 273 .A,過點A作BC垂線，垂足即為AF ,交 BD 于點 E . CE EF AF 3忑. 先把問題轉(zhuǎn)化成平面上兩點間線段最短問題.故需要把長方體的表面展開，有三種可能:按右上展開 AC25 10,725 5.29按右前展開AC202 152

9、625 25按后上展開 AC J302 52 J925 5周.綜上，選B.鞏固提升平移鞏固1:如圖：，將一塊斜邊長為12cm,B 60的直角三角板 ABC,繞點C沿逆時針方向則 BCDnOn的面積是解析：聲旋轉(zhuǎn)90到ABC的位置，再沿CB向右平移，使點 B剛好落在斜邊 AB上，那么此三角板向右平移的距離為解析：6 2 3.面積鞏固2:如圖，DABCD中，AC、BD交于點01，作 BCDQ1，連結(jié)BD1交AC于點。2,作BCD2O2,連結(jié)BD2交AC于點O3 ,，以此類推.若 AC AD, AD 1, ADC 60 ,最值鞏固3:如圖，ZAOB 30，點P位于/AOB內(nèi)，OP 3,點M、N分別是射線 OA、OB上的動點，求 4PMN的最小周長.解析：分別作點P關