心理學(xué)考研-心理統(tǒng)計資料-統(tǒng)計推斷的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

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2、56, 5762010年6522011年57, 59, 6362012年47, 5175112013年49, 5042014年6522015年49, 514【本章框架】【復(fù)習(xí)建議】第一，概率的基本性質(zhì)，掌握按照概率的加法和乘法原則進行計算就可以；第二，概率分布是重中之重，必須掌握各個概率分布的特點；第三，抽樣原理需要同學(xué)們透徹理解的，熟悉每一種抽樣方法的特點。根據(jù)歷年的考點分布情況可知本章絕對是非常重要的章節(jié)。第一節(jié) 概率1. 概率表明隨機事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)。概率的定義有兩種，即后驗概率和先驗概率。 先驗概率：實驗的每一種基本事件是有限的并且每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。在這種條件

3、下，如果基本事件的總數(shù)為n，事件A包括m個基本事件，則事件A的概率為，這種概率稱為先驗概率。（這種情況下，直接計算的比值，是真實概率而不是估計值） 后驗概率：在對隨機事件進行n次觀測時，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與觀測次數(shù)n的比值。當(dāng)n趨向于無窮大時，這個比值將穩(wěn)定在一個常數(shù)P上，記作。隨著觀測次數(shù)無限增大，計算出的概率估計值越趨近真實的概率值，它由事件A出現(xiàn)的次數(shù)決定，因此稱為后驗概率或統(tǒng)計概率。注意：概率值在0，1之間。概率接近1的事件其發(fā)生的可能性較大，而概率接近0的事件其發(fā)生的可能性較小。然而，概率等于1的某個事件，并不能被斷定為必然事件，只能說它出現(xiàn)的可能性非常大。同樣，概率等于0的

4、事件，也不能說它就是不可能事件，只能說它出現(xiàn)的可能性非常小，以至接近0。2. 概率的加法定理：兩個互不相容的事件A、B之和的概率，等于兩個事件概率之和。（互不相容事件是指在一次實驗或調(diào)查中，若事件A發(fā)生則事件B就一定不發(fā)生，否則二者為相容事件）3. 概率的乘法定理：兩個獨立事件同時出現(xiàn)的概率等于這兩個事件概率的乘積。（獨立事件指的是一個事件的出現(xiàn)對另一個事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響）4. 概率分布類型概率分布是指對隨機變量取值的概率分布情況用數(shù)學(xué)方法(函數(shù))進行描述。概率分布依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以分為不同的類型： 離散分布與連續(xù)分布(依據(jù)隨機變量是否連續(xù))離散分布：離散隨機變量的概率分布，最常用的離散分布

5、為二項分布，除此之外還有泊松分布和超幾何分布等。連續(xù)分布：連續(xù)隨機變量的概率分布，最常用的連續(xù)分布為正態(tài)分布，除此之外還有負(fù)指數(shù)分布和威布爾分布等。 經(jīng)驗分布與理論分布(依據(jù)分布函數(shù)的來源)經(jīng)驗分布：根據(jù)實驗或觀察所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布，它往往是總體的一個樣本。理論分布：有兩個含義，一是隨機變量概率分布的函數(shù)，二是按某種數(shù)學(xué)模型計算出的總體的次數(shù)分布。隨機變量概率分布的性質(zhì)由它的特征數(shù)來表達，這些特征數(shù)主要有期望值，即理論平均數(shù)和方差，即理論的標(biāo)準(zhǔn)差的平方。 基本隨機變量分布與抽樣分布(依據(jù)概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征)心理統(tǒng)計中常用的基本隨機變量分布有二項分布與正態(tài)分布。抽樣

6、分布是樣本統(tǒng)計量的理論分布。樣本統(tǒng)計量有：平均數(shù)、兩平均數(shù)之差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)、百分比率(或概率)等。統(tǒng)計量是基本隨機變量的函數(shù)，所以抽樣分布又稱隨機變量函數(shù)的分布。第二節(jié) 概率分布(一) 正態(tài)分布1. 正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或常態(tài)分配，由棣莫弗1733年發(fā)現(xiàn)的。高斯、拉普拉斯各自發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布曲線方程，高斯首次提出正態(tài)分布曲線，所以有時也稱高斯分布。2. 正態(tài)分布特征 正態(tài)分布曲線函數(shù)（密度函數(shù)）式中：是圓周率3.14159;是自然對數(shù)的底2.71828;X為隨機變量取值，負(fù)無窮到正無窮大；為理論平均數(shù)；為理論方差； y為概率密度，即正態(tài)分布的縱坐標(biāo)。當(dāng)X=時，。當(dāng)=1時，中央

7、點的y最高，即y = 0.3989。 正態(tài)分布的特征a. 正態(tài)分布的形式是對稱的(但對稱的不一定是正態(tài)分布)，它的對稱軸是經(jīng)過平均數(shù)點的垂線(平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)三者相等)，此點處y值最大。左右不同間距的y值不同，各相當(dāng)間距的面積相等，y值也相等；b. 正態(tài)分布的中央點最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，然后向外彎，拐點位于正負(fù)1個標(biāo)準(zhǔn)差處，曲線兩端向靠近基線處無限延伸，但始終不能與基線相交；c. 正態(tài)曲線下的面積為1，由于它在平均數(shù)處左右對稱，所以過平均數(shù)的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩部分，各為0.5（注意：正態(tài)分布曲線下各對應(yīng)的橫坐標(biāo)處與平均數(shù)之間的面積可用積分公式計算，

8、這個面積可視為概率，即各橫坐標(biāo)值對應(yīng)的隨機變量值出現(xiàn)的概率）；d. 正態(tài)分布是一族分布，它隨隨機變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。如果平均數(shù)相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同，這是標(biāo)準(zhǔn)差大的正態(tài)分布曲線形式低闊，而標(biāo)準(zhǔn)差小的正態(tài)分布曲線形式高狹。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，=0，=1。e. 在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率（面積）有一定的數(shù)量關(guān)系（詳聽老師課程內(nèi)容）。3. 正態(tài)分布表的使用：依據(jù)Z分?jǐn)?shù)求概率p；根據(jù)概率p求Z分?jǐn)?shù)；已知概率p或Z分?jǐn)?shù)求概率密度y。4. 次數(shù)分布是否為正態(tài)分布的檢驗方法：皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法；峰度、偏度檢驗法；累加次數(shù)曲線法；卡方檢驗中的吻合

9、度檢驗等。5. 正態(tài)分布理論在測驗中的應(yīng)用： 化等級評定為測量數(shù)據(jù)； 確定測驗題目的難易度； 在能力分組或等級評定時確定人數(shù)； 測驗分?jǐn)?shù)的正態(tài)化； 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)與正態(tài)分布相結(jié)合應(yīng)用。(二)二項分布1. 二項分布是由貝努里創(chuàng)始的，又叫貝努里分布，它是指試驗僅有兩種不同性質(zhì)結(jié)果的概率分布，即各個變量都可歸為兩個不同性質(zhì)中的一個，兩個觀測值是對立的，因而二項分布又可說是兩個對立事件的概率分布。如考試中的通過與不通過等。2. 二項試驗 任何一次試驗恰好有兩個結(jié)果，成功與失?。?共有n次試驗，并且n是預(yù)先給定的任一正整數(shù)； 每次試驗各自獨立，各次試驗之間無相互影響； 某種結(jié)果出現(xiàn)的概率在任何一次試驗中都是固

10、定的。3. 設(shè)有n次試驗，各次試驗是彼此獨立的，每次試驗?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率都是p，不出現(xiàn)的概率都是q(等于1-p)，則對于某事件出現(xiàn)X次(0,1,2，n)的概率分布為：表示在n次試驗中有X次成功，成功的概率為p。X =0,1,2，n為正整數(shù)，n和p為二項分布概率函數(shù)的兩個參數(shù)。4. 二項分布的性質(zhì) 二項分布是離散型分布，概率直方圖是躍階式。因為X為不連續(xù)變量，用概率條圖表示更合適，用直方圖表示只是為了更形象。隨著n正大，二項分布接近正態(tài)分布； 二項分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差如果二項分布滿足pq, np5 (或pq, np5)時，二項分布接近正態(tài)分布。這時二項分布的X變量具有如下的性質(zhì)：，。5. 二項分

11、布的應(yīng)用主要解決含有機遇性質(zhì)的問題(三) 樣本平均數(shù)的分布中心極限定理：對于任意平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體，樣本容量為n的樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為。n30或趨于無窮大時，樣本平均數(shù)的分布趨近于正態(tài)分布。注意：在涉及樣本統(tǒng)計量的分析時，首先要保證各個樣本是獨立的，各個樣本都服從同樣的分布。為了保證這一點，取樣方法應(yīng)該用隨機抽樣的方法。樣本平均數(shù)的分布以下是指樣本平均數(shù)為的分布為正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布的兩種情況，凡符合這兩種情況的分布，都可以根據(jù)正態(tài)分布的概率進行統(tǒng)計推論。 總體分布為正態(tài)，總體方差已知，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，那么：；為樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)；為樣本平均數(shù)分布的方差，

12、常稱之為變異誤；為樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，為了與總體的標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)別開，一般稱為標(biāo)準(zhǔn)誤或平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，也有時用SE表示。 總體分布為非正態(tài)，但總體方差已知，這時樣本足夠大時(n30)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，那么：樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差與相同。當(dāng)總體分布為正態(tài)，方差未知時，樣本平均數(shù)的分布為t分布。無限多個樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是總體平均數(shù)，而平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本本身的標(biāo)準(zhǔn)差有以下關(guān)系：（每個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差不同，故樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤也不同，只是的估計值） 當(dāng)總體分布為非正態(tài)而其方差又未知時，若滿足n30這一條件，那么樣本平均數(shù)的分布近似t分布。(四) t分布t分布是統(tǒng)

13、計學(xué)者高賽特1908年在以筆名“Student”發(fā)表的一篇論文中推導(dǎo)的一種分布，有時也叫學(xué)生氏分布，這種分布是一種左右對稱、峰態(tài)比較高狹，分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布。其公式如下：；t分布與無關(guān)，而與n-1（自由度）有關(guān)，t分布的自由度一般用符號df表示，即n-1。自由度：是指任何變量中可以自由變化的數(shù)目，是t分布密度函數(shù)中的參數(shù)(讀nu)，它代表t分布中獨立隨機變量的數(shù)目。1. t分布的特點： 平均值為0； 以平均值0左右對稱的分布，左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)t為正值； 變量取值在； 當(dāng)樣本容量趨于時，t分布為正態(tài)分布，方差為1。當(dāng)n-130以上時，t分布接近正態(tài)分布，方差大于1，

14、隨著n-1的增大而方差漸趨于1；當(dāng)n-130時，t分布與正態(tài)分布相差較大，隨著n-1減少，離散程度越大，分布圖的中間變低但尾部變高。2. 當(dāng)總體分布為正態(tài)，方差未知時，樣本平均數(shù)的分布為t分布。無限多個樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是總體平均數(shù)，而平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本本身的標(biāo)準(zhǔn)差有以下關(guān)系：（每個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差不同，故樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤也不同，只是的估計值）3. 當(dāng)總體分布為非正態(tài)而其方差又未知時，若滿足n30這一條件，那么樣本平均數(shù)的分布近似t分布。(五）c2分布1. c2分布是刻畫正態(tài)變量二次型的一種重要分布。無限多個n個隨機變量平方和或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和的分布，即為c2分布。c2(n)如果正態(tài)

15、總體的平均數(shù)未知，若用樣本平均數(shù)作為的估計值時：c2(n-1)2.c2分布的特點: c2分布是一個正偏態(tài)分布，隨著樣本容量n的大小變化，其分布曲線的形狀不同，n或n-1越小，分布越偏斜。df很大時，接近正態(tài)分布，可見c2分布也是一族分布； c2值都是正值； c2分布具有可加性； 如果df2，這時c2分布的平均數(shù)：，方差； c2分布是連續(xù)型分布，但有些離散型的分布也近似c2分布。3.c2分布在統(tǒng)計分析中應(yīng)用于計數(shù)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗以及樣本方差與總體方差差異是否顯著的檢驗等。(六）F分布1.設(shè)有兩個正態(tài)分布的總體，其平均數(shù)與方差分別為：、及、，從這兩個總體中分別隨機抽取容量為n1及n2的樣本，每個樣本

16、都可計算出c2值，這樣可得到無限多個c12與c22，每個c2隨機變量各除以對應(yīng)的自由度df1與df2之比，稱為F比率，這無限多個F的分布稱作F分布。 因為：，所以：根據(jù)上式，我們可理解F比率為樣本方差各除以其總體方差的比率。如果令，即從一個總體中抽樣，那么。這可以理解為，從一個正態(tài)總體中隨機抽取容量為n1及n2兩樣本，其方差的比率分布為F分布，分子和分母的自由度分別為n1-1和n2-1，據(jù)此我們可以來檢驗任意兩樣本是否來自同一總體。2. F分布的特點： F分布形態(tài)是一個正偏態(tài)分布，它的分布隨著df1與df2的增加而漸趨正態(tài)分布； F總為正值； 當(dāng)分子的自由度為1，分母的自由度為任意值時，F(xiàn)值與

17、分母自由度相同概率的t值（雙側(cè)概率）的平方相等。 F 分布的倒數(shù)性質(zhì)：第三節(jié) 抽樣原理及方法1. 抽樣原理抽樣的基本原則是隨機性原則，因此需要滿足兩個條件： 每個個體被選取的概率相等； 進行返回取樣，以保證每個個體每次被抽取的概率不變。2. 隨機抽樣的作用： 隨機抽樣能使每個個體有同等機會被抽??； 隨機抽樣對于抽樣誤差可以預(yù)算或控制。對于抽樣誤差的預(yù)算，意味著對研究結(jié)果的精確度地客觀評價，同時也能夠按照所要求的精確度來決定樣本應(yīng)該具有多大容量。 3.樣本量標(biāo)準(zhǔn)誤代表著抽樣誤差，因而分析樣本容量n與標(biāo)準(zhǔn)誤SE 的關(guān)系可以解釋樣本容量與抽樣誤差之間的關(guān)系。4. 抽樣方法包括概率抽樣和非概率抽樣兩種

18、。概率抽樣是根據(jù)已知的概率，按照概率論的原理嚴(yán)格隨機選取樣本，是最理想、最科學(xué)的抽樣方法。具體包括以下幾種： 簡單隨機取樣法(抽簽法，隨機數(shù)字法：適合總體數(shù)目較小，個體差異較小時用)缺點：總體很大時使用不方便；常常忽略總體已有信息。 等距取樣法(系統(tǒng)抽樣或機械抽樣：總體數(shù)目較大時用)一般來說這種抽樣方法樣本的代表性比簡單隨機抽樣好些，但是如果總體具有一種周期性變化時，代表性就差了。例外，這種抽樣方法也容易忽略已有信息。 分層隨機取樣法(按各層人數(shù)分配比例分配：個體差異較大時用)總的原則是：各層內(nèi)變異小，層間變異越大越好。它充分利用了總體的已有信息。 多段隨機取樣法(如三階段隨機取樣，總體數(shù)目很大時用)相對于簡單隨機取樣來說，這種方法的標(biāo)準(zhǔn)誤要大些，但是節(jié)省經(jīng)費。非概率抽樣： 方便取樣，由調(diào)查人員自由、方便地選擇被調(diào)查對象的非隨機選擇； 判斷取樣是通過某些條件過濾，然后選擇某些被調(diào)查者參與調(diào)查的抽樣方法。【課后習(xí)題演練】1. 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下，正、負(fù)1個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的面積占曲線下總面積的（）A、25.00%   B、34.13%   C、50.00%