高等數(shù)學(xué)備課資料：第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 01 第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 正如有限中包含著無(wú)窮級(jí)數(shù)，而無(wú)限中呈現(xiàn)極限一樣；無(wú)限之靈魂居于細(xì)微之處，而最緊密地趨近極限卻并無(wú)止境. 區(qū)分無(wú)窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜悅！小中見(jiàn)大，多么偉大的神力. -雅克. 伯努利 無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式，也是微積分理論研究與實(shí)際應(yīng)用中極其有力的工具. 無(wú)窮級(jí)數(shù)在表達(dá)函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算函數(shù)值以及求解微分方程等方面都有著重要的應(yīng)用. 研究級(jí)數(shù)及其和，可以說(shuō)是研究數(shù)列及其極限的另一種形式，但無(wú)論在研究極限的存在性還是在計(jì)算這種極限的時(shí)候，這種形式都顯示出很大的優(yōu)越性. 本章先討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本內(nèi)容，然后討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并著重討論如何將函數(shù)展

2、開(kāi)成冪級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題.第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)分布圖示 引言 引例 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 Koch雪花 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 例8 例9 例10 例11 柯西審斂原理 例12 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題12-1 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)與其部分和數(shù)列具有同樣的斂散性，；二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：（1） 級(jí)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性運(yùn)算；（2）在級(jí)數(shù)中改變、去掉或增加前面有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.（3）在一個(gè)收斂級(jí)數(shù)中，任意添加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)的和.（4）級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則 三、柯西審斂原理簡(jiǎn)介.例題選講利用級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列討論級(jí)數(shù)的斂散

3、性例1 寫(xiě)出級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng).解 分母是偶數(shù)的連乘積，而且第一項(xiàng)為偶數(shù)，第二項(xiàng)是兩個(gè)偶數(shù)之積，第三項(xiàng)是三個(gè)偶數(shù)之積，第項(xiàng)是個(gè)偶數(shù)之積，故可寫(xiě)成而分子為奇數(shù)，故第項(xiàng)為于是該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為例2 已知級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的部分和 求這個(gè)級(jí)數(shù).解 因?yàn)樗詮亩仕蠹?jí)數(shù)為例3（E01）討論級(jí)數(shù) 的收斂性.解 所以即題設(shè)級(jí)數(shù)收斂，其和為1.例4（E02）證明級(jí)數(shù) 是發(fā)散的.證 級(jí)數(shù)的部分和為顯然，故題設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散.例5（E03）討論等比級(jí)數(shù)(又稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù)) 的收斂性.解 當(dāng)有若有則若有則若有若則級(jí)數(shù)變?yōu)橐滓?jiàn)不存在.綜上所述,當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂,且注：幾何級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù)中最著名的一個(gè)級(jí)數(shù)阿貝爾曾經(jīng)指出“除了幾何級(jí)數(shù)之

4、外，數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被嚴(yán)格確定的無(wú)窮級(jí)數(shù)”幾何級(jí)數(shù)在判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性、求無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和以及將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)等方面都有廣泛而重要的應(yīng)用.幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)速度令人震驚. 有一個(gè)關(guān)于古波斯國(guó)王的傳說(shuō)，他對(duì)一種新近發(fā)明的象棋游戲留下深刻印象，以至于他要召見(jiàn)那個(gè)發(fā)明人而且以皇宮的財(cái)富相贈(zèng). 當(dāng)這個(gè)發(fā)明人一個(gè)貧困但卻十分精通數(shù)學(xué)的農(nóng)民被國(guó)王召見(jiàn)時(shí)，他只要求在棋盤(pán)的第一個(gè)方格里放一粒麥粒，第二個(gè)方格里放兩粒麥粒，第三個(gè)方格里放四里麥粒，如此繼續(xù)下去，直到整個(gè)棋盤(pán)都被覆蓋上為止. 國(guó)王被這種樸素的要求所震驚，他立即命令拿來(lái)一袋小麥，他的仆人們開(kāi)始耐心地在棋盤(pán)上放置麥粒，令他們十分吃驚的是

5、，他們很快就發(fā)現(xiàn)袋子里的麥粒甚至整個(gè)王國(guó)的麥粒也不足以完成這項(xiàng)任務(wù)，因?yàn)榧?jí)數(shù)的第64項(xiàng)是一個(gè)十分大的一個(gè)數(shù)：9223372036854775808. 如果我們?cè)O(shè)法把如此多的麥粒假設(shè)每個(gè)麥粒直徑僅一毫米放在一條在直線(xiàn)上，這條線(xiàn)將長(zhǎng)約兩光年.例6（E04）把一個(gè)球從米高下落到地平面上. 球每次落下距離碰到地平面再跳起距離，其中是小于1的正數(shù). 求這個(gè)球上下的總距離（圖12-1-1）.解 總距離是 .若，則總距離是（米）.例7（E05）把循環(huán)小數(shù)5.232323表示成兩個(gè)整數(shù)之比.解 線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例8（E06）求級(jí)數(shù)的和.解 根據(jù)等比級(jí)數(shù)的結(jié)論,知 而由前例,知所以例9 設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 發(fā)散,

6、證明: 級(jí)數(shù) 發(fā)散.證 用反證法,已知收斂,假定收斂,由與級(jí)數(shù)性質(zhì)得知收斂,這與題設(shè)矛盾,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.例10 判別級(jí)數(shù) 是否收斂.解 將所給級(jí)數(shù)每相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)得到新級(jí)數(shù) 因?yàn)槭諗浚?jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)性質(zhì)3的推論1，去括號(hào)后的級(jí)數(shù)也發(fā)散.例11（E07）證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的.證 對(duì)題設(shè)級(jí)數(shù)按下列方式加括號(hào) 設(shè)所得新級(jí)數(shù)為則易見(jiàn)其每一項(xiàng)均大于從而當(dāng)時(shí)，不趨于零.由性質(zhì)4知發(fā)散，再由性質(zhì)3的推論1即知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.證畢.最后再給出關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散速度的一個(gè)注記.當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，調(diào)和級(jí)數(shù)的項(xiàng)變得越來(lái)越小，然而，慢慢地非常慢慢地它的和將增大并超過(guò)任何有限值.調(diào)和級(jí)數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)家困惑并為之著迷。它的發(fā)散性是由法國(guó)學(xué)者尼古拉.奧雷姆(13231382)在極限概念被完全理解之前約400年首次證明的.下面的數(shù)字將有助于我們更好地理解這個(gè)級(jí)數(shù).這個(gè)級(jí)數(shù)地前一千項(xiàng)相加約為7.485；前一百萬(wàn)項(xiàng)相加約為14.357；前十億項(xiàng)相加約為21；前一萬(wàn)億項(xiàng)相加約為28等等.更有學(xué)者估計(jì)過(guò)，為了使調(diào)和級(jí)數(shù)的和等于100，必須把項(xiàng)加起來(lái).例12（E08）利用