自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)知識

1、 一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）考試題型分析： 題型大致包括以下五種題型，各題型及所占分值如下： 由各題型分值分布我們可以看出，單項選擇題、填空題占試卷的50%，考查的是基本的知識點，難度不大，考生要把該記憶的概念、性質(zhì)和公式記到位。計算題和綜合題主要是對前四章基本理論與基本方法的考查，要求考生不僅要牢記重要的公式，而且要能夠靈活運用。應(yīng)用題主要是對第七、八章內(nèi)容的考查，要求考生記住解題程序和公式。結(jié)合歷年真題來練習(xí)，就會很容易的掌握解題思路。 總之，只要抓住考查的重點，記住解題的方法步驟，勤加練習(xí)，就能夠百分百達到過關(guān)的要求。 二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）考試重點 說明：我們將知識點按考查

2、幾率及重要性分為三個等級，即一級重點、二級重點、三級重點，其中，一級重點為必考點，本次考試考查頻率高；二級重點為次重點，考查頻率較高；三級重點為預(yù)測考點，考查頻率一般，但有可能考查的知識點。 第一章 隨機事件與概率 1隨機事件的關(guān)系與計算 P3-5 （一級重點）填空、簡答 事件的包含與相等、和事件、積事件、互不相容、對立事件的概念 2古典概型中概率的計算 P9 （二級重點）選擇、填空、計算 記住古典概型事件概率的計算公式 3. 利用概率的性質(zhì)計算概率 P11-12 （一級重點）選擇、填空 ,（考得多）等，要能靈活運用。 4. 條件概率的定義 P14 （一級重點）選擇、填空 記住條件概率的定義和

3、公式： 5. 全概率公式與貝葉斯公式 P15-16 （二級重點）計算 記住全概率公式和貝葉斯公式，并能夠運用它們。一般說來，如果若干因素（也就是事件）對某個事件的發(fā)生產(chǎn)生了影響，求這個事件發(fā)生的概率時要用到全概率公式；如果這個事件發(fā)生了，要去追究原因，即求另一個事件發(fā)生的概率時，要用到貝葉斯公式，這個公式也叫逆概公式。 6. 事件的獨立性（概念與性質(zhì)） P18-20（一級重點）選擇、填空 定義：若，則稱A與B相互獨立。結(jié)論：若A與B相互獨立，則A與，與B 與都相互獨立。 7. n重貝努利試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式 P21（一級重點）選擇、填空 在重貝努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件的概率為

4、（），則事件A恰好發(fā)生 。 第二章 隨機變量及其概率分布 8離散型隨機變量的分布律及相關(guān)的概率計算 P29，P31（一級重點）選擇、填空、計算、綜合。 記住分布律中，所有概率加起來為1，求概率時，先找到符合條件的隨機點，讓后把對應(yīng)的概率相加。求分布律就需要找到隨機變量所有可能取的值，和每個值對應(yīng)的概率。 9. 常見幾種離散型分布函數(shù)及其分布律 P32-P33（一級重點）選擇題、填空題 以二項分布和泊松分布為主，記住分布律是關(guān)鍵。本考點基本上每次考試都考。 10. 隨機變量的分布函數(shù) P35-P37（一級重點）選擇、填空、計算題 記住分布函數(shù)的定義和性質(zhì)是關(guān)鍵。要能判別什么樣的函數(shù)能充當(dāng)分布函數(shù)

5、，記住利用分布函數(shù)計算概率的公式： ； 其中； 。 11. 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 P39（一級重點）選擇、填空 重點記憶它的性質(zhì)與相關(guān)的計算，如 ； ； 反之，滿足以上兩條性質(zhì)的函數(shù)一定是某個連續(xù)型隨機變量的概率密度。 ； 設(shè)為的連續(xù)點，則存在，且。 12. 均勻分布、指數(shù)分布 P42（二級重點）選擇、填空、計算題 記住它們的概率密度，能夠根據(jù)所給的密度函數(shù)識別它們。 13. 正態(tài)分布和一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 P44-P46（一級重點）選擇、填空 記住性質(zhì)和公式： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)： ； 概率的計算（重點）： 。 14. 隨機變量函數(shù)的概率分布 P50-P54（三級重點）選擇、填空

6、在連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布中，要記住用直接變換法求“非單調(diào)性”隨機變量函數(shù)的概率密度的方法。 第三章 多維隨機變量及其概率分布 15. 二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律和邊緣分布律 P62-P64（一級重點）選擇、填空、計算題 對于聯(lián)合分布律，記住所有概率和為1.求概率時，找到滿足條件的隨機點，再把對應(yīng)的概率相加即可。要記住邊緣分布律的求法。通過分布律會判斷X,Y是否相互獨立。 16. 二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度 P66-P69（一級重點）選擇、填空、計算、綜合 ；已知概率密度 會求在平面區(qū)域內(nèi)取值的概率，記住公式： 練掌握連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)的求法，并能判斷X,Y

7、是否相互獨立（考查的重點）。 17二維隨機變量的獨立性 P73（一級重點）選擇、填空、計算題 考生要記住二維離散型的隨機變量和二維連續(xù)型的隨機變量獨立性的判斷。 其一：與 有=； 其二：設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為， 關(guān)于與的邊緣概率密度分別為和， 則與相互獨立的充要條件為：=。 其三：一個結(jié)論 若二維隨機變量服從二維正態(tài)分布， 與相互獨立的充要條件是。 18. 二維均勻分布、二維正態(tài)分布 P68-P71（三級重點）計算題、綜合題 記住這兩種分布的概率密度函數(shù)，還有以下結(jié)論 若二維隨機變量服從二維正態(tài)分布 ，則隨機變量與分別服從正態(tài)分布。 19. 兩個隨機變量函數(shù)的分布 P80-P91

8、（三級重點）填空題 記住結(jié)論并能靈活運用 設(shè)相互獨立，且，得 。 推廣：個獨立正態(tài)隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，即 。 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 20. 隨機變量數(shù)學(xué)期望的概念、性質(zhì)與計算 P86-P94（一級重點）選擇、填空、計算題 首先要十分熟練的掌握數(shù)學(xué)期望的概念與性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在選擇填空題中經(jīng)常考到，然后要熟悉離散型和連續(xù)型隨機變量及隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算公式?？忌欢ㄒY(jié)合歷年考試真題認真練習(xí)，做到心中有數(shù)。 21. 隨機變量的方差的概念、性質(zhì)及計算 P96-P103（一級重點）選擇、填空、計算 熟悉方差的性質(zhì)和計算公式，一般用“內(nèi)方減外方”來計算方差，即。 在方差

9、的性質(zhì)中，要注意：常數(shù)的方差為零，所以D(X+C)=D(X)；當(dāng)X,Y相互獨立時，才 ，此時特別的。 22. 常見分布的數(shù)字特征 P104（一級重點）選擇、填空、計算題 提醒各位考生，書上104頁的那張表所包含的內(nèi)容經(jīng)常考到，是考試需要重點記憶的表格之一。不僅要記清各種分布的數(shù)學(xué)期望與方差，還要記清各自的概率分布與密度函數(shù)。表格熟記在心，能夠靈活運用期望與方差的性質(zhì)，基本上就能輕松拿下10-20分。 23. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) P105-P107（一級重點）選擇、填空、計算題 要熟悉協(xié)方差的性質(zhì)與計算公式 性質(zhì)：；，其中為任意常數(shù)；若，則 ； 。 計算：， 。 另外，要掌握相關(guān)系數(shù)的計算公式，還

10、要知道相關(guān)系數(shù)的含義： 兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)是兩個隨機變量間線性聯(lián)系密切程度的度量，越接近1， 與之間的線性關(guān)系越密切。當(dāng)時，與存在完全的線性關(guān)系，即；時， 之間無線性關(guān)系，此時稱X,Y不相關(guān)。隨機變量與不相關(guān)的充分必要條件是。 注意：若隨即變量與相互獨立，則 ，因此與不相關(guān)， 反之，隨機變量與不相關(guān)，但與不一定相互獨立。 若二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，與 ，從而與不相關(guān)的充要條件是與相互獨立，因此與不相關(guān)和與 相互獨立都等價于。 以上兩點在選擇題中經(jīng)常出現(xiàn)。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 24. 切比雪夫不等式 P116（二級重點）選擇、填空 記住切比雪夫不等式的兩種形式。它是用來估算

11、概率的。 25. 大數(shù)定律 P116-P119（二級重點）選擇、填空 考生要記住相應(yīng)的公式和含義。 26. 獨立同分布序列的中心極限定理 P120（二級重點）選擇、填空 牢記：是獨立同分布隨機變量序列， 漸進服從正態(tài)分布。當(dāng) 。 分大時，獨立同分布的隨機變量的平均值的分布近似于正態(tài)分布 27. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 P122（三級重點）填空題 主要結(jié)論：在貝努利試驗中，若事件發(fā)生的概率為，又設(shè)為次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)充分大時，近似服從正態(tài)分布。 第六章 統(tǒng)計量與抽樣分布 28. 樣本均值、樣本方差 P133-P134（一級重點）選擇、填空 要清楚樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)

12、準(zhǔn)差的計算公式。另外，要牢記結(jié)論設(shè) 總體的樣本，為樣本均值： 若總體分布為，則的精確分布為 ； 若總體分布未知（或不是正態(tài)分布），且，則當(dāng)樣本容 量較大時，的漸近分布為，這里的漸近分布是指較大時的近似分布。 29. 三大抽樣分布 P137-P141（一級重點）選擇、填空 記住三大分布的定義，熟悉它們的結(jié)構(gòu)，無需記憶概率密度函數(shù)。牢記重要結(jié)論： ； 等。 偏重考查卡方分布的定義式。 第七章 參數(shù)估計 30. 單個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間 P156-P162（一級重點）填空、應(yīng)用題 書上162頁的表的前3行內(nèi)容?？?，記住各種情況下的置信區(qū)間。做題時，只要將已知條件往相應(yīng)的置信區(qū)間中代入求值即可

13、。 31. 參數(shù)的矩法估計 P145（二級重點）填空題、計算題 用樣本均值去估計總體的均值，則從解出的即為，稱為的矩法估計量。 用樣本二階中心矩估計總體方差，即。（用的少） 。 32參數(shù)的極大似然估計 P147（二級重點）填空、計算 考生要記住極大似然估計的方法與步驟： 寫出似然函數(shù)并化簡兩邊取對數(shù)； 令 ，求出的值即為的極大似然估計 33. 估計量的無偏性 P153（一級重點）選擇題 設(shè)是的一個估計，若，則稱為的無偏估計， 否則稱為有偏估計。是的無偏估計，但不是的無偏估計。本知識點經(jīng)常和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)聯(lián)合來考查。 34. 估計量的有效性和相合性 P152-P153（一級重點）選擇、填空 （或

14、） 相合性：若是得一個估計量，若， 則稱是的相合估計。有效性： 設(shè)，若，是的兩個無偏估計，則稱比有效。其中有效性經(jīng)?？?。 第八章 假設(shè)檢驗 35. 假設(shè)檢驗的兩類錯誤 P169（一級重點）填空 熟記概念： 一類錯誤是：在成立的情況下，樣本值落入了拒絕域中，因而被拒絕，稱這種錯誤為第一類錯誤，又稱為拒真錯誤。一般記犯第一次錯誤的概率為，也叫置信水平。 另一類錯誤是：在不成立的情況下，樣本值未落入，因而被接受，稱這種錯誤為第二類錯誤，又稱為取偽錯誤。記犯第二類錯誤的概率為。 由此可知：，。兩類錯誤的概率是關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時，一類錯誤的概率的減少將導(dǎo)致另一類錯誤的概率的增加；要同時降低兩類錯誤

15、的概率，需要增大樣本容量。 36. 單個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗 P170-P181（一級重點）選擇、填空、應(yīng)用題 要牢記教材181頁表中u檢驗和t檢驗的前三行，以及分布對應(yīng)的內(nèi)容。這是教材中的第三個重要表格。做題時要熟記解題步驟，記住相應(yīng)的統(tǒng)計量和拒絕域，那么剩下的就是計算了。雙邊檢驗考查的較多。 第九章 回歸分析 37. 用最小二乘法估計回歸模型中的未知參數(shù) P187（一級重點）填空、計算題 整個第九章線性回歸，僅考這一個考點，記住以下幾點 其一：回歸直線是描述與之間關(guān)系的經(jīng)驗公式，稱為回歸常數(shù)，稱 為回歸系數(shù)。 其二：求，的估計，時，自然直觀的想法是對一切觀測值與回歸直線 的偏離達

16、到最小，故使得其三： 回歸直線的確定 引進記號 達到最小的，即為，。 則 ，。 其四： 散點的幾何重心在回歸直線上 第一部分 三角函數(shù)表 三角函數(shù)表 反三角函數(shù)表 第二部分 極限 極限 數(shù)列極限： 劉徽的“割圓術(shù)”，設(shè)有一個半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計算方法之下，要計算其面積： 方法：先做圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為，再做一內(nèi)接正12邊形，記其面積為再做一內(nèi)接正24邊形，記其面積為,如此逐次將變數(shù)加倍。 得到數(shù)列，則當(dāng)n無窮大時，有 函數(shù)極限： 常用的極限公式 常用的幾個公式 等比數(shù)列公式 是等比數(shù)列, 當(dāng)q<1時，等比數(shù)列的無窮項級數(shù)和為 等差數(shù)列公式： 或者： 例 設(shè)二維隨機

17、變量的分布函數(shù)為 , 求：（1）常數(shù)a, b, (2) 的概率密度. 解：（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)知 從上面第二式得 , 從上面第三式 得 , 再從上面第一式 得 . 從而概率密度為 第三部分 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)含義 函數(shù)值的增長與自變量增長之比的極限。 重要的求導(dǎo)公式 . 導(dǎo)數(shù)的四則運算 若函數(shù)，都在點處可導(dǎo)，則有 ()； ()； ()， 例題： 解：（1） (2) (3) （4） 在概率中的應(yīng)用主要是知道分布函數(shù)求密度函數(shù)，需要對分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。 3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t 兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) 在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決求導(dǎo)問題時

18、，應(yīng)該注意以下幾點： (1)準(zhǔn)確地把一個函數(shù)分解成幾個比較簡單的函數(shù)； (2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，必須把引進的中間變量換成原來的自變量 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的步驟如下： (1)從外到里分層次，即把復(fù)合函數(shù)分成幾個簡單的函數(shù)； (2)從左到右求導(dǎo)數(shù)，即把每一個簡單函數(shù)對自身的自變量的導(dǎo)數(shù)求出來； (3)利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，從左到右作連乘 例題： 解 函數(shù)可分解為 則 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 主要在第二章第四節(jié)里面用 第四部分 原函數(shù)和不定積分 原函數(shù)： 已知有 是一個定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，如果存在著函數(shù)， 使得對內(nèi)任何一點 或 那么函數(shù)就稱為例如： 在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。 是在區(qū)間上的原函數(shù)。 不定積分

19、 內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分， 記作 ，即 。 稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量。 基本積分公式 由基本微分公式可得基本積分公式 1 (為常數(shù))， 2 ()， 3， 4， 5 ， 6， 7， 8， 9 0， ， 1 1112 ， ， 13 . 這些基本公式是求不定積分的基礎(chǔ)，應(yīng)熟記 求不定積分的方法 一 第一類換元法 先看下例： 回憶： 令 ， 定理1 （第一類換元法）： 這種方法稱為湊微分法（將公式中的箭頭作出動態(tài)效果） 例1求下列不定積分 1、解1 ， 2 令 令 = 2、 由上面的解題可發(fā)現(xiàn)，變量只是一個中間變量，在求不定積分的過程中，只

20、是 都要換回到原來的積分變量。因此，在較熟練之后，可以采用不直接寫出中間變量的做法。 例如： 通過以上例題，可以歸納出如下一般湊微分形式： ； ； ； ； ； ； ； 等等 第二類換元法 2、 分部積分法 利用復(fù)合函數(shù)微分法則導(dǎo)出了換元積分法，它能解決許多積分問題，但仍有許多類型的積分用換元法也不能計算，例如、等等 本節(jié)我們用乘積的微分公式導(dǎo)出另一種重要的積分方法分部積分法，可以解決許多積分問題 設(shè)、是兩個可微函數(shù)，由 得 兩邊積分，可得 即 分部積分公式 二、特殊情況 1、用分部積分法計算不過有時需要多次使用分部積分法 例6 求 解 小結(jié)： 1對可微函數(shù)、，有分部積分公式： 當(dāng)容易求出，且比

21、易于積分時利用分部積分公式易于計算 2要記住適合使用分部積分法的常見題型及湊微分d的方式 如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積，使用分部積分法時進入微分號的順序一般為：指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，冪函數(shù)，反三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。 第五部分 定積分的基本性質(zhì) 定積分性質(zhì) 性質(zhì)1 這個性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)的情形 性質(zhì)2 （為常數(shù)） 性質(zhì)3 不論三點的相互位置如何，恒有 這性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性 牛頓萊布尼茨公式 定理2 （ 牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 的一個原函數(shù)，則 定積分的計算 1定積分的分部積分法 設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，

22、由微分法則，可得 等式兩邊同時在區(qū)間上積分，有 定積分的分部積分公式， 例5 設(shè)在上連續(xù)，證明： (1) 若為奇函數(shù)，則(2) 若為偶函數(shù)，則 小結(jié)： 1定積分換元積分定理： ； 注意：換元必換限， 下限對下限，上限對上限 2定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有 (1) 若為奇函數(shù)，則(2) 若 3對稱區(qū)間上的積分：設(shè)在上連續(xù)，則有 ； 廣義積分 1設(shè)在積分區(qū)間上連續(xù)，定義 ， 變上限的積分 如果在區(qū)間上連續(xù)，則有 例一 設(shè)隨機變量的概率密度為 求的分布函數(shù) 解 當(dāng)時, 當(dāng)時 當(dāng)時, 當(dāng)時, 即的分布函數(shù)為 例二 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 求（1）的概率密度；（2）落在區(qū)

23、間的概率 解 （1） （2）有兩種解法： 或者, 例三 設(shè)某種型號電子元件的壽命（以小時計）具有以下的概率密度 現(xiàn)有一大批此種元件（設(shè)各元件工作相互獨立）,問 （1） 任取1只,其壽命大于1500小時的概率是多少？ （2） 任取4只,4只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少？ （3） 任取4只,4只元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少？ 解 （1）. （2）各元件工作相互獨立,可看作4重貝努利試驗,觀察各元件的壽命是否大于1500小時. 令表示4個元件中壽命大于1500小時的元件個數(shù),則,所求概率為 . (3) 所求概率為 第六部分 偏導(dǎo)數(shù)求法 1偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)

24、z = f (x, y)在點P(x , y)的某鄰域有定義，函數(shù)z在點P(x , y)處對變量x 導(dǎo)數(shù)和對變量y的偏導(dǎo)數(shù)分別定義為 = = 更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù) 2偏導(dǎo)數(shù)的計算 對一個自變量求偏導(dǎo)數(shù)時，只要把其它的自變量都當(dāng)常數(shù)就行了因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則都可用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 3高階偏導(dǎo)數(shù) 對函數(shù)z = f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)就得到高階偏導(dǎo)數(shù)，例如 = ； =； = ；= 其中、稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) 注意：1、更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù) 2、計算法：對一個自變量求偏導(dǎo)時，只要把其他自變量都當(dāng)常數(shù)就行 時，把看作常量，而對求

25、導(dǎo)數(shù)； 時，把看作常量，而對求導(dǎo)數(shù)。 例1求 在點處的偏導(dǎo)數(shù)。 , 解法1： 則 解法2： ， 則 主要用于第三章的二維隨機變量的分布函數(shù)的求導(dǎo) 例一 設(shè)(X, Y)的概率密度為 求：關(guān)于X 及關(guān)于Y的邊緣概率密度, 并判斷X與Y是否相互獨立. 解：關(guān)于X的邊緣概率密度當(dāng)時, . 當(dāng)或時 , 所以 同理 當(dāng)時, 所以X與Y不獨立 第七部分 二重積分的性質(zhì) 由于二重積分的定義與定積分的定義是類似的，因而二重積分有與定積分類似的性質(zhì)，敘述于下（假定所出現(xiàn)的二重積分均存在）： 性質(zhì)1 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號外，即 (k為常數(shù)) 特別，令 f (x, y)1，則有 （D 性質(zhì)2 函數(shù)和（差

26、）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即 性質(zhì)3 如果區(qū)域D可以劃分為D1與D2，其中D1與D2除邊界外無公共點，則 = 例 1 設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機變量, X在0, 1服從均勻分布, Y的概率密度為 求: (1) (X, Y)的概率密度； (2) ; (3) 解: (1)由已知X與Y相互獨立, (X, Y) 例2 設(shè)的概率密度為 求的分布函數(shù). 解: 由定義5知 當(dāng)x>0, y>0時 當(dāng) 時, 例3 設(shè)X的概率密度為 求 解： 例4 設(shè)（X,Y）服從在D上的均勻分布,其中D為x軸, y軸及x+y=1所圍成，求D(X D(X) = 解: 二、 二重積分的計算 按照二重積

27、分的定義計算二重積分，只對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域是可行的，對一般的函數(shù)和區(qū)域，這種“和式的極限”是無法直接計算的下面我們介紹將二重積分轉(zhuǎn)化為兩次定積分來計算的方法，這是計算二重積分的一種行之有效的方法 1X型區(qū)域上二重積分的計算 設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過D的內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點（如圖示3），則稱D為X型區(qū)域由圖可知，此時區(qū)域D可以用不等式表示為 D： 圖 在區(qū)間a，b上任取一點x，過點x作與x軸垂直的直線，它與D相交于兩點， ，axb 因此 經(jīng)過以上兩步計算，相當(dāng)于在區(qū)域上累加了一遍。 （1） 由此可見，二重積分可以化為兩次定積分來計算第一次對變量y積分

28、，將x當(dāng)作常數(shù)，積分區(qū)間是區(qū)域D的下邊界的點到對應(yīng)的上邊界的點第二次對x積分，它的積分限是常數(shù)這種先對一個變量積分，再對另一個變量積分的方法，稱為累次(或二次)積分法公式（1）是先對y后對x的累次積分公式，通常簡記為 2Y型區(qū)域上二重積分的計算 設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過D的內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點（如圖示4），則稱D為Y型區(qū)域由圖可知，此時區(qū)域D可以用不等式表示為 D： 圖4 利用與前面相同的方法，可得先對x后對y的累次積分公式： 通常簡記為 （2） （3） 3一般區(qū)域上二重積分的計算 如果區(qū)域D不屬于上述兩種類型，則二重積分不能直接利用公式(1)、(3)來計算這時可以考慮將區(qū)域D劃分成若干個小區(qū)