第5章(552)均方誤差準則(MSE)和LMS算法

1、146數(shù)字通信輔導(dǎo)材料 第5章 在有ISI及加性高斯噪聲信道中的數(shù)字信號傳輸5.5.2均方誤差準則（MSE）和LMS算法引言：均方誤差準則同時考慮ISI及噪聲的影響，使其最小化。本節(jié)討論問題：1. 均方誤差準則；2. 無限長LMS均衡器（C(z)，Jmin）；3. 有限長LMS均衡器（Copt，Jmin）；4. LMS算法；5. 均衡器的操作；6. 遞推LMS算法收斂特性的分析。一. 均方誤差準則 Tx+ch+MF+WF vk + （白） 系統(tǒng)模型 （白） 判決器信息符號的估計值： （無限長均衡器情況）其中，接收數(shù)據(jù)樣本為：，為白噪聲。估計誤差：定義：估計值為均衡器的性能指數(shù)。均方誤差準則：使

2、均方誤差性能指數(shù)最?。ǎ?，此準則同時考慮使ISI及噪聲影響最小。獲得的途徑：調(diào)整，當時，(最佳抽頭系數(shù))尋找的方法：1)根據(jù)正交性原理（線性均方估計）：。（注：與ZF準則不同的是，這里的輸入是經(jīng)過兩個輸入濾波器的數(shù)據(jù)樣本，這就包含了噪聲）。即。2)求函數(shù)極值方法：令2013年5月3日星期五上午講于此處，已經(jīng)是第十次矣。這兩種方法是等價的，證明如下。證明：求導(dǎo)置零方法與正交性原理等價。 假如均衡器為有限長，則其中，以及。故另一種方法：可見，是的平方函數(shù)（二次型）。求導(dǎo)置零可得： 即， ，結(jié)論：求導(dǎo)方法與正交性原理是等價的，滿足正交條件，就可以獲得最小MSE。二、無限長LMS均衡器（性能）1. 求

3、：從正交原理出發(fā)，(10-2-27)即即（*） 正交條件注: 是收數(shù)據(jù)樣本，其中的噪聲已經(jīng)白化。在（*）式左邊可以得到：式中利用了。注：都是Kroenecker沖激或離散沖激的不同寫法。因此我們有： (A)注：，代表了序列的共軛顛倒序列?；蛘哒f代表了的MF(零時延)。（注：令）故，其支撐為：或者說，可以得到也可以寫為（*）式右邊： 式中，由此可得 (B)將（A）、（B）兩式代入（*）式：上式就是: 取Z變換： (10-2-31)則MMSE均衡器 (10-2-32) 等效MMSE均衡器： (10-2-33)2. 求（最小均方誤差）（1） 時域利用正交原理第二項為零，所以（利用(B)式）令信息符號

4、的平均功率為1，則（2）頻域通過z變換及令將式的全傳輸系統(tǒng)響應(yīng)： (10-2-35) 以z反變換（留數(shù)法）求： (10-2-36) (10-2-37)代入 ，得 將以信道折疊譜表示。因為的傅里葉變換為，故又所以 (10-2-18)所以 (10-2-38)所以，當ISI=0時， (10-2-39)因，故,，利用正交原理，易證：，即。 輸出SNR: (10-2-40)三、有限長LMS均衡器 (, )均方誤差： 1、 求：無限長均衡器仿上面無限長均衡器的推導(dǎo)：根據(jù)正交條件：令則 （注: 的支撐為。） 令 得 （10-2-43）矩陣形式： （10-2-46）所以， （10-2-47） 說明：, 為有個

5、元素的列向量 為(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩陣。因為自相關(guān)函數(shù)且，所以中元素滿足。是共軛轉(zhuǎn)置陣（Hermite）陣。2、求均衡器的性能即求最小能達到的均方差：前已經(jīng)證明 將代入式： (10-2-48)注：的支撐為。 工程實用方法： 采用簡單的迭代過程最速下降法。四. LMS算法：內(nèi)容: a)算法： (理論算法) b)梯度： c) 工程實用算法： d) 均衡器結(jié)構(gòu)：圖11-1-2 1、 算法：LMS算法是一種最陡下降法，其實質(zhì)是一個迭代過程，而迭代過程是通過遞推運算來進行的。設(shè)有（2K+1）個抽頭遞推運算： 每次迭代變化量： 令 則 或矩陣形式： ，式中為調(diào)節(jié)階距（

6、步長）注：可以看到，即強制要求抽頭系數(shù)向著誤差下降的方向變化。則 或矩陣形式： ，式中為調(diào)節(jié)階距（步長step），其中第k符號時間的抽頭系數(shù)列矢量（即均衡器）為：2、 梯度：討論：1)理想情況下，經(jīng)過若干次迭代（），2)實際情況中，計算困難 統(tǒng)計平均, 不實時為克服這一困難，用估計值取代梯度真值對的無偏估計有：則 為梯度真值，為真值的無偏估計量。3. 工程實用LMS算法： (11-1-9) 即 (11-1-11)或 在商用的自適應(yīng)均衡器中，為簡化乘法運算次數(shù)，僅取和（或）的正負號進行運算，而不管大小。其優(yōu)點是簡單，易實現(xiàn)，運算次數(shù)少；缺點是收斂慢。 如： (11-1-14)定義復(fù)符號函數(shù)： (

7、11-1-15)4. 均衡器結(jié)構(gòu)圖11-1-2 基于MSE準則的線性自適應(yīng)均衡器五. 均衡器的操作過程圖1 方框圖1. 方框圖 2. 兩種工作模式（狀態(tài)）（1）訓(xùn)練模式（training mode）: （2）工作模式（run mode）: , 在完成訓(xùn)練之后，進入正常的工作模式情況下，即使有錯判，由于很小，由此引起的誤調(diào)整影響很小。3. 步長選擇與收斂特性 訓(xùn)練時： 大加速初始調(diào)整，接近 工作時： 小穩(wěn)態(tài)誤差小，步長選擇考慮：穩(wěn)定且收斂快 穩(wěn)態(tài)MSE小六. 遞推LMS算法收斂特性的分析1、引言說明三個問題：要解決什么問題；分析從何入手；分析的方法。（1） 算法表示理論上LMS算法：， （A）實

8、用的遞推算法： （B）梯度向量有噪無偏估計值：（2） 問題l 收斂特性與的關(guān)系？l 如何選擇，以確保收斂？因為，即為真值的無偏估計，所以，對收斂特性的影響，對（A）（B）兩式是相同的。為數(shù)學(xué)分析方便，我們只研究（A）式的收斂特性。（3） 收斂特性的分析方法采用反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析方法：l 建立以輸出的閉環(huán)系統(tǒng)模型，定性分析的影響；l 建立系統(tǒng)的差分方程，定量分析的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)模型定性分析收斂特性算法： （A）式中， （B）接收信號自相關(guān)矩陣，由確定?；ハ嚓P(guān)矩陣，由確定。分析：由（A）式可看出（1）的迭代過程可以看作：每次迭代增量()的累積過程由保持器實現(xiàn)；（2）第k時刻計算的增量()應(yīng)在

9、第(k+1)時刻反映出來由延遲(Z-1)來實現(xiàn)。圖3(A) 決定閉環(huán)的主干回路(B) 決定閉環(huán)的反饋回路結(jié)論：對閉環(huán)輸出收斂特性影響因素：3、系統(tǒng)的差分方程定量分析收斂特性由(A)式得 （） (11-1-20)為一階差分方程組，即因為不是對角矩陣，故，（2K+1）個一階差分方程是相互耦合的，必須聯(lián)解。所以，用解聯(lián)立方程組來定量分析收斂特性是困難的。解決方法：利用線性變換（酉變換）來解耦。為Hermite（厄米特）矩陣，可用U(酉矩陣)表示為 (U-1) (11-1-21) 式中，U(酉矩陣)由的特征向量確定。 (對角矩陣)的對角元素為的特征值，特征值為特征方程的根。再利用U矩陣的性質(zhì)： (U-

10、2) 將(U-1)式代入()式，兩邊再乘，然后利用(U-2)式，可得 (11-1-22) 式中， 說明：(1)因為為對角矩陣，所以一階差分方程組是線性不相關(guān)的（即解耦）。 (2) 收斂特性取決于其齊次方程組： (11-1-23)即表示成（2K+1）個一階差分方程組： 可見，（2K+1）個與（2K+1）個對應(yīng)。對第j個抽頭系數(shù)Cj的差分方程為 圖4其相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)模型為：系統(tǒng)函數(shù)為： 令，得極點：要使迭代過程收斂，應(yīng)使極點在單位圓內(nèi)，即 (11-1-24)即， 又因為為的(2K+1)個特征值；而為自相關(guān)矩陣、Hermite型、正定的，因此，則 。又因為各抽頭用統(tǒng)一的步長，為保證穩(wěn)定收斂，以確定。因此，若步長滿足：，則遞推算法是穩(wěn)定的，收斂的。式中，是的最大特征值，其上界為 4、收斂特性的分析（1）收斂特性在滿足穩(wěn)定遞推運算條件下（即）， 矛盾解決方法：分(一般)。LMS算法的優(yōu)點：簡單，各抽頭用同一個。LMS算法每次迭代時，