第3章 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定1

1、第三章 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律問(wèn)題解答3-1 如圖所示，設(shè)地球在太陽(yáng)引力的作用下，繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。試問(wèn)：在下述情況下，（1）地球從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，（2）地球從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，（3）地球從點(diǎn)出發(fā)繞行一周又返回點(diǎn)，地球的動(dòng)量增量和所受的沖量各為多少？解 由可得，地球繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為，方向沿軌道切線方向。（1）地球從到，動(dòng)量增量的大小為 方向與點(diǎn)速度方向成角。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，地球只受到引力作用，由動(dòng)量定理可知，地球所受的沖量等于動(dòng)量的增量，即 方向與點(diǎn)速度方向成角。（2）同理，地球從運(yùn)動(dòng)到，動(dòng)量增量大小為，方向與點(diǎn)速度方向相同。此過(guò)程中地球所受的沖量為，方向與點(diǎn)速度方向相同。（3）當(dāng)?shù)厍蚶@行

2、一周回到時(shí)，動(dòng)量增量為零，地球所受到的沖量也為零。3-2 假使你處在摩擦可略去不計(jì)的覆蓋著冰的湖面上，周?chē)譄o(wú)其它可以利用的工具，你怎樣依靠自身的努力返回湖岸呢？解 可以將身上所帶的物品往后扔，由于動(dòng)量守恒，人自身會(huì)向前進(jìn)。3-3 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒，是否意味著該系統(tǒng)中，一部分質(zhì)點(diǎn)的速率變大時(shí)，另一部分質(zhì)點(diǎn)的速率一定會(huì)變?。拷?不一定，因?yàn)閯?dòng)量是矢量，既有大小也有方向。例如炸彈爆炸，產(chǎn)生的碎片獲得的速率相對(duì)爆炸前都增大，但方向不一。3-4 一人在帆船上用電動(dòng)鼓風(fēng)機(jī)正對(duì)帆鼓風(fēng)，帆船是前進(jìn)，還是后退？為什么？解 帆船仍然靜止，鼓風(fēng)機(jī)所鼓的風(fēng)對(duì)帆及其自身都有作用力，對(duì)于整個(gè)帆船來(lái)看，風(fēng)對(duì)帆和鼓風(fēng)機(jī)的力

3、屬于內(nèi)力，動(dòng)量守恒。3-5 在大氣中，打開(kāi)充氣氣球下方的塞子，讓空氣從球中沖出，氣球可在大氣中上升。如果在真空中打開(kāi)氣球的塞子，氣球也會(huì)上升嗎？說(shuō)明其道理。解 氣球會(huì)上升，由動(dòng)量守恒，從氣球中鄉(xiāng)下沖出的空氣會(huì)給氣球一個(gè)向上的沖力。3-6 在水平光滑的平面上放一長(zhǎng)為、質(zhì)量為的小車(chē)，車(chē)的一端站有質(zhì)量為的人，人和車(chē)都是靜止不動(dòng)的。人以速率相對(duì)地面從車(chē)的一端走向另一端，在此過(guò)程中人和小車(chē)相對(duì)地面各移動(dòng)了多少距離？解 如圖所示，取人與車(chē)為系統(tǒng)，在水平方向系統(tǒng)不受外力，滿足動(dòng)量守恒。設(shè)小車(chē)沿地面的速率為，所以有將上式兩邊乘以，并對(duì)時(shí)間積分 （1）設(shè)時(shí)刻，人剛好走到小車(chē)另一端，此時(shí)人相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離為，

4、小車(chē)相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離為，所以，代入（1）式有 （2）又由圖示可知 （3）由（2）（3）可得人對(duì)地面移動(dòng)的距離為 小車(chē)對(duì)地面移動(dòng)的距離為3-7 人從大船上容易跳上岸，而從小舟上則不容易跳上岸了，這是為什么？解 船與河岸的距離一定，人要能跳上岸，則他相對(duì)于地面的速率必須要達(dá)到一定的值，假設(shè)這個(gè)所需的速率為，設(shè)人的質(zhì)量為，船的質(zhì)量為，并且當(dāng)起跳時(shí)人相對(duì)船的速率為，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)可知，此時(shí)船相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速率為. 取人與船為一個(gè)系統(tǒng)，起跳過(guò)程中，在水平方向滿足動(dòng)量守恒，即又上式分析可知，人的質(zhì)量、人相對(duì)地面所需的速度恒定，當(dāng)船的質(zhì)量越小，則人相對(duì)船起跳的速率也要越大，即人從小舟跳上岸要困難些。3-8

5、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理和動(dòng)能定理是否與慣性系有關(guān)？請(qǐng)舉例說(shuō)明。解 質(zhì)點(diǎn)的速度因慣性系選取的不同而不同，所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能都與慣性系的選取有關(guān)；由位移，即位移與慣性系有關(guān)，所以對(duì)于功也與慣性系有關(guān)；動(dòng)量定理與慣性系選取無(wú)關(guān)；動(dòng)能定理與慣性系有關(guān)。例如，在一輛以速率勻速前進(jìn)的火車(chē)上，一乘客用一恒定力拉動(dòng)物體A，使物體相對(duì)于火車(chē)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則物體相對(duì)于當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒后，取地面為參考系，物體的動(dòng)量為，動(dòng)能為，力作功，這段時(shí)間內(nèi)其動(dòng)量定理表達(dá)式為 ，動(dòng)能定理表達(dá)式為取火車(chē)為參考系，物體的動(dòng)量為，動(dòng)能為，動(dòng)量定理表達(dá)式，動(dòng)能定理表達(dá)式為3-9 關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系

6、的動(dòng)能定理，有人認(rèn)為可以這樣得到，即：“在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)，由于各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力（內(nèi)力）總是成對(duì)出現(xiàn)的，他們大小相等方向相反，因而所有內(nèi)力做功相互抵消。這樣質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能增量等于外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功”。顯然這與式（3-20）所表述的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理不符。錯(cuò)誤出在哪里呢？解 這種觀點(diǎn)不正確，各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力雖是成對(duì)出現(xiàn)的，且大小相等方向相反，但它們分別作用在不同的質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)的位移并不一定相同，所以這對(duì)內(nèi)力作功之和也不一定為零。如右圖所示，兩質(zhì)點(diǎn)、，相互作用力為、，在時(shí)間內(nèi)，兩質(zhì)點(diǎn)位移分別為、，則這一對(duì)內(nèi)力作功為是質(zhì)點(diǎn)對(duì)的相對(duì)位移。當(dāng)為零時(shí)，這對(duì)內(nèi)力作功才可抵消。3-10 有兩個(gè)同樣的物體，處于同一位置，

7、其中一個(gè)水平拋出，另一個(gè)沿斜面無(wú)摩擦地自由滑下，問(wèn)哪一個(gè)物體先到達(dá)地面？到達(dá)地面是兩者的速率是相等？解 如圖所示，這兩個(gè)物體在豎直方向都作初速度為零、加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)，由于起始高度相同，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，它們到達(dá)地面所要的時(shí)間都為，對(duì)于沿斜面下滑的物體、斜面、地球組成的系統(tǒng)而言，只有重力作功，由機(jī)械能守恒可得物體到達(dá)地面時(shí)的速率為對(duì)于平拋落地的物體，它到達(dá)地面時(shí)的速率為所以它們落地時(shí)速率并不相等。3-11 如果一質(zhì)點(diǎn)P處于如圖所示的方形勢(shì)阱底部。若有力作用在質(zhì)點(diǎn)上，在什么情形下，此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以不受方形勢(shì)阱的束縛；在什么情形下，質(zhì)點(diǎn)仍要受束縛。解 質(zhì)點(diǎn)P受力作用，當(dāng)它所獲得的能量大于在勢(shì)阱底部

8、的勢(shì)能時(shí)，質(zhì)點(diǎn)不受方形勢(shì)阱的束縛。3-12 舉例說(shuō)明用能量方法和牛頓定律各自求解哪些力學(xué)問(wèn)題較方便，哪些力學(xué)問(wèn)題不方便。解 能量方法和牛頓定律是解決力學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要用到的方法，利用牛頓定律可以求得瞬時(shí)關(guān)系，但解題時(shí)必須考慮物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的細(xì)節(jié)，能量的方法一般適用于研究物體或系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化。 例如對(duì)于碰撞問(wèn)題，兩質(zhì)點(diǎn)碰撞過(guò)程中的相互作用力為變力，不便利用牛頓定律來(lái)求解，而利用能量方法則不用考慮碰撞中的內(nèi)力。習(xí)題解答3-1 一架以的速率水平飛行的飛機(jī)，與一只身長(zhǎng)為、質(zhì)量為的飛鳥(niǎo)相碰。設(shè)碰撞后飛鳥(niǎo)的尸體與飛機(jī)具有同樣的速度，而原來(lái)飛鳥(niǎo)對(duì)于地面的速率甚小，可以忽略不計(jì)。試估計(jì)飛鳥(niǎo)對(duì)飛機(jī)的沖擊力（

9、碰撞時(shí)間可用飛鳥(niǎo)身長(zhǎng)被飛機(jī)速率相除來(lái)估算）。根據(jù)本題計(jì)算結(jié)果，你對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的物體（如飛機(jī)、汽車(chē)）與通常情況下不足以引起危害的物體（如飛鳥(niǎo)、小石子）相碰后會(huì)產(chǎn)生什么后果的問(wèn)題有些什么體會(huì)？解 由力的作用的相互性可知，鳥(niǎo)與飛機(jī)相撞，鳥(niǎo)對(duì)飛機(jī)的沖擊力與飛機(jī)對(duì)鳥(niǎo)的沖擊力大小相等，方向相反。我們以鳥(niǎo)為研究對(duì)象，取飛機(jī)的飛行的方向?yàn)檩S正方向。由動(dòng)量定理得其中為碰撞時(shí)間，由題意可知，代入上式可得 所以飛鳥(niǎo)對(duì)飛機(jī)的沖擊力為 負(fù)號(hào)表示飛機(jī)所受沖力方向與其飛行方向相反。由以上結(jié)果可知，盡管飛鳥(niǎo)質(zhì)量、飛行速度都不大，但與其相撞后，飛機(jī)受到的沖擊力很大，所以飛機(jī)在飛行時(shí)需要采取一些措施來(lái)避免與看似不會(huì)引起危害的物體

10、相碰。3-2 質(zhì)量為的物體，由水平面上點(diǎn)以初速為拋出，與水平面成仰角.若不計(jì)空氣阻力，求：（1）物體從發(fā)射點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，重力的沖量；（2）物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過(guò)程中，重力的沖量。解 從所給的條件分析，本題有兩種解法。一是直接利用沖量的定義式，二是根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的始、末狀態(tài)，利用動(dòng)量定理來(lái)求解。方法一 如圖所示建立坐標(biāo)系，物體從發(fā)射點(diǎn)到最高點(diǎn)所用的時(shí)間為由沖量定義，從發(fā)射點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中重力的沖量為同理，物體從發(fā)射點(diǎn)落到所用的時(shí)間為此過(guò)程重力的沖量為方法二 物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受到重力作用，由動(dòng)量定理可知，物體始末動(dòng)量的增量即為重力的沖量。右圖分別為兩過(guò)程中動(dòng)量矢量圖。所以物

11、體由發(fā)射點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到、過(guò)程中重力的沖量分別為3-3 高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來(lái)，由于安全帶的保護(hù)，最終使它被懸掛起來(lái)。已知此時(shí)人離原處的距離為，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為. 求安全帶對(duì)人平均沖力。解 人從跌落到最終被懸掛，受到重力和安全帶對(duì)他的沖力的作用，但二者作用時(shí)間不同，重力作用于整個(gè)過(guò)程中，而安全帶只作用于緩沖階段。由題意可知，安全帶對(duì)人的作用時(shí)間為 ，而重力的作用時(shí)間為人自由落體到處的時(shí)間與緩沖作用時(shí)間之和，即 取豎直向下為正方向，人初始下落和最終被懸掛時(shí)的速度均為零，所以對(duì)于整個(gè)過(guò)程，人的動(dòng)量增量為零，由動(dòng)量定理有由上式可知，安全帶對(duì)人

12、的平均沖力的大小為3-4 一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為. 爆炸后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為. 問(wèn)第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上？（設(shè)空氣的阻力不計(jì)）解 物體在最高點(diǎn)發(fā)生爆炸，其中爆炸力是內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于物體的重力，所以爆炸前后動(dòng)量守恒。如圖所示建立坐標(biāo)系.爆炸前，由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，物體在最高處的速度（起拋速度的水平分量）為 （1） 爆炸后，由題意可知第一塊碎片獲得豎直向下的速度，向下作自由落體運(yùn)動(dòng)，在后落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上 由上式可得，爆炸后第一塊碎片的速度為 （2）設(shè)爆炸后第二塊碎片的獲得的速度為，由動(dòng)量守恒有 （3）由（

13、1）（2）（3）式可得 （4）由上式可得，爆炸后第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 將代入上式，并且由（4）式可得第二塊碎片落地時(shí)的水平位置為 AB3-5 A、B兩船在平靜的湖面上平行逆向航行，當(dāng)兩船擦間相遇時(shí)，兩船各自向?qū)Ψ狡椒€(wěn)地傳遞的重物，結(jié)果是A船停了下來(lái)，而B(niǎo)船以的速度繼續(xù)向前駛?cè)?。A、B兩船原有質(zhì)量分別為和，求在傳遞重物前兩船的速度。（忽略水對(duì)船的阻力）解 由題意可知，A船與從B船傳過(guò)來(lái)的重物在航行方向無(wú)外力，二者在作用過(guò)程中沿航行方向動(dòng)量守恒；同樣，在B船與A船傳過(guò)來(lái)的重物相互作用過(guò)程中也滿足動(dòng)量守恒。如圖，以A船初始航行方向?yàn)檩S正方向，設(shè)傳遞重物前A、B兩船的速度分別為、，傳遞后

14、的速度分別為、，重物質(zhì)量為.由動(dòng)量守恒定律，對(duì)于A船與從B船傳過(guò)來(lái)的重物有 （1）對(duì)于B船與從A船傳過(guò)來(lái)的重物有 （2）將，代入（1）（2）式可得傳遞重物前兩船的速度分別為3-6 質(zhì)量為的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為的物體，此人用與水平面成角的速率向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為的水平速率向后拋出。問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）解 如右圖所示建立坐標(biāo)系，人在最高處向左拋物體的過(guò)程中，人與物體組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，滿足動(dòng)量守恒定律，設(shè)人拋出物體后相對(duì)地面的速率為，則物體相對(duì)地面的速率為，由動(dòng)量守恒得 由上式可得，人拋出物體后的速率為由上式可見(jiàn)，人因

15、向左拋出物體而獲得的速率增量為又人從最高處下落到地面所需要的時(shí)間為所以，人跳躍后增加的距離為3-7 一火箭垂直向上發(fā)射，它的氣體質(zhì)量排出率恒為，其中是火箭最初的質(zhì)量?；鸺懦龅臍怏w相對(duì)于火箭的速率為. 求發(fā)射后火箭的速度和高度。（重力略去不計(jì)）解 不計(jì)重力時(shí)，火箭在推力的作用下飛行，其動(dòng)力學(xué)方程為對(duì)上式兩邊積分得 設(shè)氣體質(zhì)量排出率為，則時(shí)刻火箭的質(zhì)量為 ，代入上式得 （1）當(dāng)時(shí)，代入（1）式得，此時(shí)火箭的速率為將代入（1）式整理得將上式兩邊積分，可得后火箭飛行的高度為3-8 如圖所示，一繩索跨過(guò)無(wú)摩擦的滑輪，系在質(zhì)量為的物體上，起初物體靜止在無(wú)摩擦的水平平面上。若用的恒力作用在繩索的另一端，使

16、物體向右作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系在物體上的繩索從與水平面成變?yōu)榻菚r(shí)，力對(duì)物體所作的功為多少？已知滑輪與水平面間的距離為.解 如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，繩對(duì)物體的拉力大小恒定，方向隨著繩與水平面的傾角變化而變化。由功的定義可知，力對(duì)物體所作的功的大小為 （1）又由幾何關(guān)系可知， 代入（1）式，積分元從到積分得3-9 一人從深的井中提水，起始桶中裝有的水，由于水桶漏水，每升高要漏去的水。水桶被勻速地從井中提到井口，求人作的功。解 由題意可知，水桶被勻速提升，即水桶所受的拉力與重力始終平衡，且拉力大小隨重力變化不斷變化，方向豎直向上。 如圖，以水桶起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為軸正方向建立坐標(biāo)系，則水桶重力

17、的大小隨其位置變化的關(guān)系式為為水桶初始質(zhì)量，由前面分析可知，水桶所受的拉力大小為 方向沿軸正方向，所以人對(duì)水桶的拉力做功為 3-10 一質(zhì)量為的球，系在長(zhǎng)為的細(xì)繩上，細(xì)繩的另一端系在天花板上。把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成角的位置，然后由靜止放開(kāi)。求：（1）在繩索從到角的過(guò)程中，重力和張力所作的功；（2）物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率；（3）在最低位置時(shí)的張力。解 （1）重力是保守力，其作功只與物體始、末位置有關(guān)。如圖所示，小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)在豎直方向下落的高度為所以，此過(guò)程中重力作功為又在A到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，繩對(duì)小球的張力始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以張力所作的功為 （2）小球從A到B，只有重力作

18、功，由動(dòng)能定理， 又在A點(diǎn)，小球動(dòng)能為零，所以，在最低位置B處小球的動(dòng)能為速率為 （3）在最低位置B處，由牛頓定律可知所以 3-11 設(shè)兩個(gè)粒子之間的相互作用力是排斥力，并隨它們之間的距離按的規(guī)律而變化，其中為常量。試求兩粒子相距為時(shí)的勢(shì)能。（設(shè)力為零的地方勢(shì)能為零）解 由可知，在時(shí)，設(shè)兩粒子相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。當(dāng)兩粒子距離發(fā)生變化時(shí)，由于排斥力的作用，系統(tǒng)勢(shì)能會(huì)發(fā)生變化，并且排斥力所做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。將其中一個(gè)粒子從無(wú)窮遠(yuǎn)處移至與另一粒子相距為時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為所以 3-12 如果一物體從高為處?kù)o止下落。試以（1）時(shí)間為自變量，（2）高度為自變量，畫(huà)出它的動(dòng)能和勢(shì)能圖線，并證

19、明兩曲線中動(dòng)能和勢(shì)能之和相等。解 （1）以時(shí)間為變量從物體下落開(kāi)始計(jì)時(shí)，時(shí)刻物體的速度為 動(dòng)能為 （1）以地面上一點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上為坐標(biāo)軸正方向，同時(shí)取原點(diǎn)處為勢(shì)能原點(diǎn)，所以時(shí)刻物體的勢(shì)能為 （2）由（1）（2）兩式作、圖在任意時(shí)刻動(dòng)能與勢(shì)能之和為由上式可見(jiàn)，動(dòng)能與勢(shì)能之和為一個(gè)恒定值。（2）以高度為自變量仍取第（1）問(wèn)所建立的坐標(biāo)系，物體下落到處，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，物體的速率為 動(dòng)能為 （3）此時(shí)物體的勢(shì)能為 （4）由（3）（4）兩式作、圖在任意高度處，動(dòng)能與勢(shì)能之和為由上式可見(jiàn)，動(dòng)能與勢(shì)能之和仍為一個(gè)恒定值。3-13 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，系在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定在平面上。此質(zhì)點(diǎn)在粗糙的水平

20、面上作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速度是. 當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，其速率為. 求：（1）摩擦力作的功；（2）動(dòng)摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？解 質(zhì)點(diǎn)在水平面上作圓周運(yùn)動(dòng)受到指向圓心的拉力和與運(yùn)動(dòng)方向相反的摩擦力，但拉力方向始終垂直于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向，它對(duì)質(zhì)點(diǎn)不作功，所以質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的減少是由于摩擦力對(duì)其作負(fù)功。（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周后，速度由減少到，由動(dòng)能定理可得摩擦力作功為（2）設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為，質(zhì)點(diǎn)受到的摩擦力的值為由于摩擦力方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，所以根據(jù)上問(wèn)結(jié)果可得，質(zhì)點(diǎn)與水平面的動(dòng)摩擦因素為（3）質(zhì)點(diǎn)的損失的動(dòng)能都用于克服摩擦力作功，由第一問(wèn)可知，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一圈損失動(dòng)能為，那么在靜止前質(zhì)點(diǎn)可運(yùn)

21、行的圈數(shù)為3-14 如圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來(lái)，它們的質(zhì)量分別為和. 問(wèn)在A板上需加多大的壓力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為）AB（）（）（）解 如圖所示，為彈簧處于自然狀態(tài)，并取此時(shí)彈簧最高處為原點(diǎn)，為連上A板并向其施加力的情況，為施力停止后，A板跳起到最大高度時(shí)的情況。取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。對(duì)于狀態(tài)中 A板受到壓力下移到處，設(shè)它偏離原點(diǎn)位移大小為，由受力平衡得 即 （1）停止施力后，A板跳起到最高點(diǎn)，系統(tǒng)處于狀態(tài)，設(shè)它偏離原點(diǎn)位移大小為，A板受豎直向下的彈力，若要A在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起，即此時(shí)B板所受地面對(duì)它的支持力，所以

22、有 （2）從到，由機(jī)械能守恒得將上式兩邊同時(shí)乘以，考慮到，并將（1）、（2）代入上式整理得所需壓力的大小為 3-15 如圖所示，有一自動(dòng)卸貨礦車(chē)，滿載時(shí)的質(zhì)量為，從與水平成傾角斜面上的點(diǎn)由靜止下滑。設(shè)斜面對(duì)車(chē)的阻力為車(chē)重的倍，礦車(chē)下滑距離時(shí)，礦車(chē)與緩沖彈簧一道沿斜面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)V車(chē)使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時(shí)，礦車(chē)自動(dòng)卸貨，然后礦車(chē)借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問(wèn)要完成這一過(guò)程，空載時(shí)與滿載時(shí)車(chē)的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？解 礦車(chē)沿斜面下滑、上滑的整個(gè)過(guò)程中，受到重力、阻力、彈力和垂直于斜面的支持力的作用，其中支持力不作功，重力和彈力為保守力，阻力為非保守力，我們可以由功能原理來(lái)解題。如圖，取

23、沿斜面向上為軸正方向，彈簧原長(zhǎng)時(shí)的位置為原點(diǎn)，并規(guī)定原點(diǎn)位置為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)彈簧被壓縮到最大時(shí)偏離原點(diǎn)的位移大小為。設(shè)礦車(chē)返回時(shí)質(zhì)量為，則在整個(gè)過(guò)程中摩擦力做功為 （1）在初始時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能為 （2）當(dāng)?shù)V車(chē)返回原位置時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為 （3）其中為被卸下的貨物的重力勢(shì)能。根據(jù)功能原理，在整個(gè)過(guò)程中將（1）（2）（3）代入上式有整理得 3-16 一質(zhì)量為的地球衛(wèi)星，沿半徑為圓軌道運(yùn)動(dòng)，為地球的半徑。已知地球的質(zhì)量為. 求：（1）衛(wèi)星的動(dòng)能；（2）衛(wèi)星的引力勢(shì)能；（3）衛(wèi)星的機(jī)械能。解 （1）衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由它與地球之間的萬(wàn)有引力提供，即其中衛(wèi)星與地球間距離（即圓軌道的半徑）為，代入上

24、式得衛(wèi)星的動(dòng)能為（2）取衛(wèi)星與地球相距無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)勢(shì)能為零，根據(jù)引力作功等于引力勢(shì)能增量的負(fù)值可得，在時(shí)，衛(wèi)星的勢(shì)能為（3）衛(wèi)星的機(jī)械能為3-17 如圖所示，天文觀測(cè)臺(tái)有一半徑為的半球形屋面，有一冰塊從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋面滑下，若摩擦力略去不計(jì)，求此冰塊離開(kāi)屋面的位置以及在該位置的速度。解 由受力分析可知，冰塊在滑行時(shí)，屋面對(duì)它的支持力總是與其運(yùn)動(dòng)方向垂直，即支持力對(duì)其作功為零，整個(gè)過(guò)程只有重力作功，冰塊，屋面和地球組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒。設(shè)冰塊從頂點(diǎn)滑到處，由機(jī)械能守恒得 （1）在處，冰塊在徑向方向的動(dòng)力學(xué)方程為 （2）若此時(shí)冰塊剛好離開(kāi)屋面，即，代入上式并聯(lián)合（1）式可得 代入（2）

25、式得此時(shí)冰塊的速率為其方向與水平方向所成夾角為 3-18 如圖所示，把質(zhì)量的小球放在位置A時(shí)，使彈簧被壓縮. 然后在彈簧彈性力的作用下，小球從位置由靜止被釋放，小球沿軌道運(yùn)動(dòng)。小球與軌道間的摩擦不計(jì)。已知是半徑半圓弧，相距為求彈簧勁度系數(shù)的最小值解 要使小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)，即要求小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的支持力為，即 （1）又小球在被釋放后的運(yùn)動(dòng)中，只有重力與彈力對(duì)其作功，小球與彈簧組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律。取位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可知小球從運(yùn)動(dòng)到有 （2） 由（1）、（2）可得 代入已知數(shù)據(jù)可得，所需彈簧勁度系數(shù)的最小值為 3-19 如圖所示，質(zhì)量為、速度為的鋼球，射向質(zhì)量

26、為的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無(wú)摩擦滑動(dòng)。求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解 由題意分析可知，子彈與靶相碰后，靶受彈力向前加速運(yùn)動(dòng)，子彈仍向前減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者達(dá)到相同的速度時(shí)，彈簧壓縮達(dá)到最大長(zhǎng)度. 取子彈與靶為一個(gè)系統(tǒng)，它在水平方向不受外力作用，由動(dòng)量守恒 （1）又由機(jī)械能守恒有 （2）由（1）（2）可知彈簧最大壓縮距離為 3-20 質(zhì)量為的彈丸A，穿過(guò)擺錘B后，速率由減少到，已知擺錘的質(zhì)量為，擺線長(zhǎng)度為，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？解 取彈丸和擺錘為系統(tǒng)，二者在相互作用中沖擊力的沖量遠(yuǎn)大于重力與繩中張力的沖量，在水平方向上滿足動(dòng)量守恒定律，即 （1）其中為擺錘所獲得的速率。要使擺錘能完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，則擺錘運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，它所受到的張力滿足，在最高點(diǎn)處有 （2）擺錘獲得速率后，從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒有 （3）由（1）（2）（3）式可得彈丸速度的最小值為3-21 質(zhì)量為 ，速率為的粒子A，與另一個(gè)質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B發(fā)生二維完全彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為.求（1）粒子B的速率及相對(duì)粒子A原來(lái)速度方向的偏角；（2）粒子A的偏角。解 由題意可知，兩粒子在碰撞過(guò)程中不受外力作用，并且