周期擬小波在解積分方程中的應(yīng)用

1、 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目： 周期擬小波在求解積分方程中的應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 17111201 姓 名： 宋一格 指導(dǎo)教師： 王杰 本文摘要在20世紀(jì)80年代以來(lái)，出現(xiàn)了一個(gè)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分支-小波分析。小波分析的理論意義深刻同時(shí)應(yīng)用前景廣闊。Fourier分析是小波分析的基礎(chǔ)，但是與Fourier分析不同的是，小波變換與Fourier變換、加窗Fourier變換相比，它是一個(gè)自適應(yīng)局部自適應(yīng)的時(shí)間及頻率的變換，擁有不錯(cuò)的時(shí)-頻定位特性及多分辨能力，于是它能有效地從信號(hào)中提取有價(jià)值的信息，從而解決Fourier變換難以解決的部分問(wèn)題。在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展

2、中，積分方程占有重要的地位。如何解積分方程，是我們一直以來(lái)追求的問(wèn)題，然而具體積分方程（組），往往很難求出它的精確解。本文所作的主要工作有：小波分析的一些基礎(chǔ)知識(shí)及發(fā)展前景的總結(jié)歸納；2關(guān)于周期擬小波的定義的等價(jià)刻畫(huà)的深入探討；3用周期擬小波的積分方程的快速算法求解第二類(lèi)Ferdholm積分方程）；4 Galerkin逼近的方法的收斂性的進(jìn)一步探討。 關(guān)鍵詞：小波分析 第二類(lèi)Fredholm積分方程 Galerkin逼近 周期擬小波 ABSTRECT Since the 1980s, the wavelet analysis has developed rapidly as a mathema

3、tic branch. It has a profound theoretical significance as well as a promising prospect of application. The foundation of the wavelet analysis is Fourier analysis. But different from Fourier analysis, through the wavelet analysis people can find the changes of the time together with the frequency, an

4、d use the information to solve part of the problems that are unable to solve by Fourier analysis. In addition, the integral equation plays an important role in the development of modern mathematics. We have been pursuing the solution to the integral equation for a long time. However, it is often dif

5、ficult to find out the exact solutions to specific integral equation (Group). The main achievements of this paper are: 1. Summarize the basic knowledge of the wavelet analysis and its development outlook; 2. The precise definition of periodic quasi wavelet; 3.Solve the Fredholm integral equation wit

6、h periodic quasi wavelet;4. Further research on Galerkin approximation method. Keywords: wavelet analysis Fredholm integral equation Galerkin approximation 目錄本文摘要2ABSTRECT3第一章 小波分析的發(fā)展歷史和基本理論51.小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展51.2 小波分析理論與傅里葉變換51.3小波定義及必要基礎(chǔ)知識(shí)61.4 小波變換的一些知識(shí)8第二章 周期擬小波理論及用其解第二類(lèi)Fredholm積分方程92.1引言102.2小波與積分方程的研

7、究現(xiàn)狀102.3樣條和周期擬小波112.4求解積分方程的擬小波算法122.4.1 離散化：投影到Vm122.4.2 線性方程組的分裂132.4.3 近似多尺度策略13第3章 小波理論的應(yīng)用前景14致謝15參考文獻(xiàn)16第一章 小波分析的發(fā)展歷史和基本理論1.小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展小波起初最先被地球物理學(xué)家在工程中用來(lái)分析通過(guò)爆炸方法產(chǎn)生的由人為造成的地震數(shù)據(jù)，用于發(fā)現(xiàn)油田，勘探礦產(chǎn)等通過(guò)分析即可得到地表下巖石礦物層的“圖像”。事實(shí)上，地球物理學(xué)家們是第二次發(fā)現(xiàn)小波，很多數(shù)學(xué)家早在幾十年前就用它來(lái)解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是沒(méi)有期望應(yīng)用在信號(hào)處理領(lǐng)域。20世紀(jì)八十年代初，A.Grossman和J.M

8、orlet首次提出了小波的概念。而后多年，小波的發(fā)展壯大，是因?yàn)槠湫碌臄?shù)學(xué)工具的作用，被諸如信號(hào)接收領(lǐng)域，現(xiàn)代流體力學(xué)等等所需要，所研究。近年來(lái)，Helmholtz方程及其數(shù)值解法吸引了很多科學(xué)家，發(fā)表了大量的論文其中相當(dāng)一部分的這類(lèi)積分方程數(shù)值解法討論了Galerkin逼近，配置法和類(lèi)配置法的應(yīng)用及其誤差分析。1.2 小波分析理論與傅里葉變換 小波分析理論繼承與發(fā)展由Gabor變換帶來(lái)的局部化思想，其可以使窗口函數(shù)自動(dòng)地平移伸縮。其根源可追溯到Haar提出的Haar基，早在1910年，這個(gè)就是最簡(jiǎn)單的小波基函數(shù)?？墒怯捎贖aar基的不連續(xù)的性質(zhì)，小波分析并沒(méi)有得到足夠的重視。時(shí)至1981，S

9、tromberg通過(guò)對(duì)Haar給定的系數(shù)的修正并引入了Soblev空間正交基，這是規(guī)范的一組正交小波基，此舉為小波分析接下來(lái)的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在1988年，比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家Daubechies第一個(gè)構(gòu)造出具有緊支集的光滑小波，使小波分析理論系統(tǒng)化，她的著作Ten Lectures on Wavelet（小波十講）對(duì)小波分析的普及應(yīng)用起了重要的推動(dòng)作用。同短時(shí)傅里葉變換，傅里葉變換相比，小波分析是時(shí)-頻的局域化分析，它使用平移伸縮變換，可以達(dá)到低頻頻率細(xì)分，高頻時(shí)間細(xì)分，能夠自動(dòng)的適應(yīng)視頻信號(hào)分析的需求，成為繼傅里葉變換之后科學(xué)方法上的一個(gè)巨大突破。小波分析尚不能完全取代傅里葉分析，由于傅里

10、葉分析應(yīng)用于長(zhǎng)時(shí)間且更穩(wěn)定的信號(hào)處理情景中更為合適。小波變換是由STFT的另一種形式推導(dǎo)而出，傅里葉分析對(duì)于小波分析中不可或缺的小波基的構(gòu)造也起到了巨大作用。兩者時(shí)間相互補(bǔ)充，相得益彰。但值得一提的是，小波分析比傅里葉分析在瞬時(shí)信號(hào)檢測(cè)方面有巨大優(yōu)越性：（1）靈活性：小波基函數(shù)只要滿(mǎn)足允許小波的條件就可行，并不是唯一，于是會(huì)有諸多構(gòu)造小波的方法，就像：樣條小波（Spline Wavelet），Harr小波，Marr小波等。不同的小波為了達(dá)到最佳效果，可分別用于逼近不同特性的信號(hào)，由于他們的特性不同。然而傅里葉變換逼近效果不甚理想，因?yàn)樗豢捎谜液瘮?shù)來(lái)逼近任意信號(hào)無(wú)選擇余地。(2)快速性：從尺

11、度函數(shù)和兩尺度關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出小波系數(shù)十分容易，甚至不用知道小波函數(shù)解析式亦可得出結(jié)果。然而小波分析確不會(huì)丟失細(xì)節(jié)。需要時(shí)可將頻帶細(xì)分，起”數(shù)學(xué)顯微鏡“的作用。從這一點(diǎn)上來(lái)看，傅里葉分析無(wú)可比擬。（3）雙域性：小波分析可在時(shí)-頻兩域內(nèi)揭示信號(hào)特征，是時(shí)頻分析。在測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系約束下，它具有著較寬的時(shí)間窗，在頻率較低時(shí)；具有較高的頻率窗，在頻率較高時(shí)，于是在瞬時(shí)分析方面表現(xiàn)出色。這個(gè)在于傅里葉分析的單域性相比優(yōu)勢(shì)突出。若將傅里葉分析用于分析瞬態(tài)信號(hào)，會(huì)丟失其局部信息，產(chǎn)生的較大的難以接受的分析誤差。1.3小波定義及必要基礎(chǔ)知識(shí)Grossman和Morlet給出了小波的第一定義： 對(duì)于任意的tL2R，如果

12、t的傅里葉變換能達(dá)到可容許條件:-+2d則我們稱(chēng)t是一個(gè)基本小波（母小波函數(shù)）。Littlewood-Paley-Stein 理論修改而成小波第二定義：L2R上的函數(shù)t是一個(gè)小波，如果它的傅里葉變換小波幾乎處處滿(mǎn)足條件：-+2-J2=1由Franklin和Stromberg給出了第三定義：L2R上的函數(shù)t是一個(gè)小波，如果222Jx-k;j,kZ是L2R的一個(gè)正交基，此小波就滿(mǎn)足第二定義給出的條件?；拘〔ū仨殱M(mǎn)足如下條件： -+t2dt=1 ,即基本小波是單位化的； -+tdt，即tL2R有界； -+tdt=0，即基本小波平均值為零；在大多數(shù)的情況中，對(duì)所有mM（m和M為整數(shù)）有。這個(gè)表示基本

13、小波必須非0且均值等于0. 母小波t縮放a倍并平移b單位得到： -+tmtdt我們把a(bǔ),bt叫做小波基函數(shù)（小波）。它由一個(gè)基本小波經(jīng)過(guò)伸縮平移產(chǎn)生二維空間的基底，依賴(lài)參數(shù)a與b的選取。其中a，b稱(chēng)為尺度因子和平移因子。接下來(lái)我們講小波函數(shù)的性質(zhì)小波函數(shù)定義域具有緊支撐性（在一個(gè)很小的區(qū)域之外，函數(shù)值為0）。于是，小波函數(shù)具有速降性，是其在時(shí)-頻域都有較好局部特性，以便把空間局域化。均值為0，即-+tdt=0，并且t高階矩亦為零，即：-+tmtdt，k=0,1,m-1均值為0的條件被叫做小波的容許條件（admissibility condition），我們可設(shè)c=-+2d其中， =-+te-i

14、tdt， c是有限值，這意味著在c=0處連續(xù)且可積，此時(shí)=0才有意義，于是，=-+tdt=0顯而易見(jiàn)，“小波”即為小的波形，小指它的衰減性，某個(gè)極小區(qū)域外會(huì)迅速下降為0;”接下來(lái)說(shuō)說(shuō)，討論周期小波需要的傅里葉分析的相關(guān)知識(shí)。我們考慮周期為1的函數(shù)空間，L0,1:=fx|fx=fx+1,01fx20即可允許小波具有的線性性，平移性，伸縮性。連續(xù)小波變換具有一個(gè)很重要的性質(zhì)，它與加窗傅里葉變換（短時(shí)傅里葉變換或者Gabor變換）相比具有不同的時(shí)-頻窗。本章節(jié)主要講述了小波分析的發(fā)展歷程和小波的一些基本概念和用小波分析解決問(wèn)題的基本知識(shí)，為接下來(lái)一章用周期擬小波解第二類(lèi)Fredholm積分方程來(lái)做鋪

15、墊。 第二章 周期擬小波理論及用其解第二類(lèi)Fredholm積分方程2.1引言我們?cè)囍鴣?lái)求解下述積分方程:ux=02uyax-ylog2sinx-y2+bx,ydy+gx,x0,2其中,at=a0+a1(t)sin2t2a0為常數(shù)，bx,y為一連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)任何變量都是周期為2的周期函數(shù)，a1(x)和g(x)都是連續(xù)的周期函數(shù)。這個(gè)方程來(lái)源于二位Helmholtz方程的外邊值問(wèn)題。與此同時(shí)，此方程也可由共形映照問(wèn)題到處，共形映照的用途也愈加繁多。最近幾年，學(xué)界諸多數(shù)學(xué)家在致力于研究Helmholtz方程及其數(shù)值解法，也發(fā)表了大量的論文，其中相當(dāng)一部分的論文用Galerkin逼近、配置法和類(lèi)配置

16、法的應(yīng)用及其誤差分析來(lái)討論求解這類(lèi)方程的數(shù)值解法。小波最初是用來(lái)信號(hào)和圖像處理，現(xiàn)在已被用于求解積分方程。最近，由Z.Chen，C.Micchelli和Y.Xu提出了一種新的方法，他們利用了Petrov-Galerkin方法結(jié)合小波對(duì)一類(lèi)積分方程進(jìn)行求解，計(jì)算復(fù)雜度為O（NlogN），其中我們用N表示未知量個(gè)數(shù).還有作者提出了一種求解Laplace方程與Helmholtz方程的多尺度算法，復(fù)雜度為0NlogNbb0。以上方法共同之處在于：用小波基進(jìn)行離散化方程以后，所得的剛度矩陣（stiffness-matrix）可以近似為擬對(duì)角矩陣，因此可找出一種快速算法。在本章中，我們采用周期小波求解上述

17、方程，由于結(jié)合了周期擬小波、離散傅里葉變換和樣條，是的剛度矩陣的奇異部分可以對(duì)角化，與我們往常用的截?cái)鄤偠染仃嚨淖龇ú煌幵谟?，我們采用一種全新的方法用于求解所得方程組。與此同時(shí)，我們吸收了多尺度策略（Multiresolution Strategy），以便得到快速方法。本章將提出一個(gè)新的算法用來(lái)求解該積分方程，而復(fù)雜度僅僅為O（NlogN），如果剛性矩陣已算好，求解方程組的復(fù)雜度為O(N)。同時(shí)，由于周期擬小波是基于B-樣條的，從而使得Galerkin逼近擁有多項(xiàng)式階的收斂速度。2.2小波與積分方程的研究現(xiàn)狀近年來(lái)，小波分析發(fā)展迅速，諸多數(shù)學(xué)家用小波求解到積分方程問(wèn)題，由于在很多前沿的物理

18、學(xué)科研究過(guò)程中，積分方程的求解問(wèn)題舉足輕重。可是我們?cè)趯?shí)際中遇到的積分方程，大部分不能或者說(shuō)很難求出它的精確解析解，大多數(shù)情況下，近似解或者數(shù)值解是可以得到的。小波理論的出現(xiàn)使我們利用小波基去分解求解積分方程可以得到出色的誤差極小的數(shù)值解。時(shí)至今日，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展迅猛，這主要?dú)w功于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)。在解決科學(xué)與工程方面的問(wèn)題中，得到應(yīng)用最廣泛的就是有限元法及邊界元法。位勢(shì)理論與積分方程受到學(xué)界很大重視，它們就是上述兩種方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章將簡(jiǎn)要討論第二類(lèi)Fredholm積分方程組的小波近似解的算法。求解積分方程的近似解的方法法大致分為兩種：一類(lèi)如逐次逼近法等，是對(duì)解析解法的近似計(jì)算，：另一類(lèi)把

19、積分化為代數(shù)方程組、變分問(wèn)題求數(shù)值解等，核心思想就是把復(fù)雜問(wèn)題化成便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的其他問(wèn)題。近似方法是國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者所關(guān)注的核心問(wèn)題之一，這導(dǎo)致了其發(fā)展迅猛，精度不斷增高的同時(shí)解法愈加簡(jiǎn)單。2.3樣條和周期擬小波 令n1為一個(gè)奇整數(shù)，Kn+1為一個(gè)整數(shù)，h為一個(gè)正的實(shí)數(shù)，令T:=Kh，hm=T/K(m)，其中Km=2mK，點(diǎn)集ymv的定義為ymv=v-n+12hm。我們定義B-樣條如下：Bjnx,hm=-1n+1yn+1+jm-yjmyjm,yj+n+1myx-y+n1n!hmnk=0n+1-1k(n+1k)x-yjm-khmn 定理： Avn,mx滿(mǎn)足如下雙尺度方程：Avn,mx=avn,

20、m+1Avn,m+1x+bvn,m+1Av+K(m)n,m+1x 其中avn,m+1=Cvn,mcosvKm+1n+1/Cvn.m+1bvn,m+1=Cvn,msinvKm+1n+1/Cvn.m+1這里0vK(m)-1。為了解上述方程，我們還需引入周期擬小波的概念函數(shù)集Dvn,mv=0K(m) 是空間Wm的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且Vm+1=VmWm. 我們把Avn,m叫做父擬小波（father quasi-wavelet）； Dvn,m則叫做母擬小波（mother quasi-wavelet）。 之所以把“擬”加在小波前面是因?yàn)檫@類(lèi)小波與傳統(tǒng)小波不同. 設(shè)Pm,Qm分別是由L20,T映射到Vm和W

21、m上的正交投影，令則我們可得出如下結(jié)論由上式定義的系數(shù)和，我們能得出以下分解公式：而重構(gòu)公式則為：其中v=0,K(m)-1.定義我們記矩陣上半部分為，下半部分為。因此我們可得2.4求解積分方程的擬小波算法2.4.1 離散化：投影到Vm首先將上述積分方程改寫(xiě)成算子方式：u=Tu+g（2.4.1.1）我們要求積分方程的數(shù)值解，首先要對(duì)其進(jìn)行離散化而后，得到線性方程組再用Galerkin逼近對(duì)其求解。我們可得出一個(gè)（2.4.1.1）的逼近：um=PmTum+Pmg （2.4.1.2）其中Pm是由L20,到Vm的一個(gè)投影算子。由于 Ajn,m是Vm的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基， 我們可設(shè)um=j=0km-1Sjm

22、Ajn,m Pmg=j=0Km-1gjmAjn,m （2.4.1.3）將（2.4.1.3）帶入(2.4.1.2) 中可得:sjm=k=0km+1jkskm+gjm(0jKm-1) （2.4.1.4）因此我們的任務(wù)就變成了求解方程（2.4.1.4）2.4.2 線性方程組的分裂定理2.4.2.1 Em=diag(e00m,eKm-1,Km-1m) 我們可以得到WmTWm=HmTHm+LmTLm以及。其中Im是KmKm 單位陣我們可把方程(2.4.1.4) 改寫(xiě)成 （2.4.2.1）2.4.3 近似多尺度策略在接下來(lái)的討論中，我們會(huì)用近似多尺度的策略（Multiscale Strategy）思想來(lái)求

23、解方程（2.4.1.4）。即我們從方程組（2.4.2.1） 解出sm-1m和dm-1m，方程（2.4.1.4） 的解則可以重構(gòu)得到。多尺度的策略就是從方程組（2.4.2.1）中解出dm-1m，換句話來(lái)說(shuō)，就是用sm-1m來(lái)表出dm-1m。我們很難求出精確解，用近似解來(lái)代替，方程兩邊同時(shí)乘?？傻贸?（2.4.3.1）舍去上述方程最后極小的量，將上述改寫(xiě)為我們只需從下述方程解出:與此同時(shí)，再之后的計(jì)算復(fù)雜度分析與Galerkin逼近的收斂性以及，用小波來(lái)解第二類(lèi)Fredholme積分方程的誤差分析我們就不在這里討論了。于是，我們本章最開(kāi)始所提到的方程我們可得出了他的近似解（數(shù)值解），這歸功于小波兼

24、有光滑性和局部緊支撐等，與傳統(tǒng)的有限元、有限差分等方法相比，可以更好的處理積分方程的數(shù)值求解問(wèn)題。本文只是把Fredholm積分方程組進(jìn)行求解。其他積分方程的小波解法有待進(jìn)一步探討。第3章 小波理論的應(yīng)用前景小波理論誕生至今已三十年有余，進(jìn)展明顯，從古樸的自然科學(xué)到新興的高科技領(lǐng)域，小波分析所帶來(lái)的局部化革命在方方面面造成了巨大的沖擊。在諸如圖像處理、語(yǔ)音分割與合成、新號(hào)信息處理、工業(yè)CT、ICT、雷達(dá)分析、流體力學(xué)、機(jī)器視覺(jué)、故障診斷、等眾多領(lǐng)域取得極佳的應(yīng)用效果，形成多次研究浪潮。在世界范圍內(nèi)，隨著時(shí)間推移，研究小波的人數(shù)越來(lái)越多，有人戲稱(chēng)小波將變?yōu)楦淖兪澜绲摹按蟛ā?。在我看?lái)，小波分析還

25、有更廣闊的光明前景，主要原因如下：（1）小波理論尚未完善。高維小波、向量小波的研究并不像一維小波的研究那么完善。（2）最優(yōu)小波基選取方法的研究。完美適應(yīng)任何情況的小波基目前并不存在，若存在，此小波基如同傅里葉變換中的正弦函數(shù)一樣，于瞬態(tài)信號(hào)分析幾無(wú)作用，于是，小波基的優(yōu)化選擇是小波理論研究的重中之重。（3）在人工智能、模糊識(shí)別等智能信息處理的領(lǐng)域的研究，如果無(wú)小波理論嵌入難以取得突破。（4）截至目前，小波分析在應(yīng)用層面的軟件十分缺少，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不像傅里葉變換的算法和軟件的成熟完善，更無(wú)大型且系統(tǒng)的小波分析軟件。（5） 小波分析應(yīng)用領(lǐng)域廣闊但是，效果極佳的領(lǐng)域并不多，需要廣大學(xué)者和科技工作者孜孜不倦的

26、努力。小波理論應(yīng)用的時(shí)候，往往會(huì)將小波作為一種基與被分析的函數(shù)或者信號(hào)作內(nèi)積而展開(kāi)。但事實(shí)上，應(yīng)該考慮基前的預(yù)處理和基后的善后處理，與其他種種方法相結(jié)合，而不是僅僅將小波作為一種基來(lái)展開(kāi)。傅里葉分析是小波分析的基礎(chǔ)，小波分析可處理一切問(wèn)題，舍棄傅里葉變換的觀點(diǎn)是不正確的。迄今為止，小波分析的研究成果多是理論上應(yīng)用數(shù)學(xué)的成就，如何在工程方面未取得廣泛應(yīng)用和較大進(jìn)展是一個(gè)值得深入探討且意義巨大的問(wèn)題。因此，小波分析應(yīng)用研究的價(jià)值極大。致謝誠(chéng)摯感謝王杰老師對(duì)于本文的指導(dǎo)。參考文獻(xiàn)1周期小波理論及其應(yīng)用.彭思龍.李登峰.諶秋輝北京；科學(xué)出版社.20032小波與傅里葉分析基礎(chǔ).Albert Bogges

27、s著.芮國(guó)勝.康健.等譯北京；電子工業(yè)出版社.20033小波變換及其工程應(yīng)用.李媛等著北京；北京郵電大學(xué)出版社.20104小波基礎(chǔ)理論和應(yīng)用實(shí)例.李登峰.楊曉慧編著北京；高等教育出版社.20105Wavelet-Galerkin solutions For One-dimensional partial differential equations. Amaratunga K, Williams J R, Qian S and Weiss J Internat. J Numer Methods Engrg 19946Fast Wavelet transforms and numerical algorithms. Beyylki