高二 運算空間向量求解線面角、二面角,線線位置關(guān)系 賀德松答案

1、 No. Date Time 穩(wěn)定持久贏高分運算空間向量求解線面角、二面角，線線位置關(guān)系參考答案四、典題探究例160°例2A例3證明：（） 因為/，平面，平面，所以/平面. 因為平面，平面平面，所以/. （）：因為平面，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，. 所以 ，所以，.所以 ，. 因為 ，平面，平面，所以 平面. （）解：設(shè)（其中），直線與平面所成角為.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 由（）知平面的一個法向量為. 因為 ，所以 .解得 .所以 . 例4證明：（）設(shè)與相交于點，連結(jié)因為 四邊形為菱形，所以，且為中點 又 ，所以 因為 ， 所以

2、 平面 （）因為四邊形與均為菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 又平面，所以/ 平面 解：（）因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形因為為中點，所以，故平面由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系 設(shè)因為四邊形為菱形，則，所以，所以 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 易知平面的法向量為 由二面角是銳角，得 所以二面角的余弦值為 五、演練方陣A檔（鞏固專練）1,2C3435 60,906457證明：（）取中點，連結(jié).因為，所以，而，即是正三角形.又因為, 所以. 所以在圖2中有，. 所以為二面角的平面角. 又二面角為直二面角，所以. 又因為,所以平面,即平面. 解：（）由（）可知平

3、面，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，.在圖中，連結(jié).因為，所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以，且.故點的坐標為（1，0）. 所以， ，. 不妨設(shè)平面的法向量，則即令，得. 所以. 故直線與平面所成角的大小為. 8證明：（）取AD中點O，連結(jié)OP，OB，BD 因為 PA=PD，所以 POAD 因為 菱形ABCD中，BCD=60º，所以 AB=BD，所以 BOAD 因為 BOPO=O， 所以 AD平面POB所以 ADPB 解：（）由（）知BOAD，POAD因為 側(cè)面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCD=AD，所以PO底面ABCD 以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系則

4、，因為為中點， 所以 所以 ，所以平面的法向量為因為 ，設(shè)平面的法向量為， 則令，則，即 由圖可知，二面角E-DQ-C為銳角，所以余弦值為 （）因為，所以 ，由（）知，若設(shè)，則，由 ， 得，在平面中，所以平面法向量為， 又因為 PA / 平面DEQ，所以 ， 即，得所以，當時，PA / 平面DEQ 9證明：（）取的中點，連接.NCAFEBMD在中，是的中點，是的中點，所以， 又因為， 所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面，平面， 故平面. 解法二：因為平面，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系. 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 設(shè)平面的一個法向量是. 由得 令，則.

5、 又因為， 所以，又平面，所以平面. （）由（）可知平面的一個法向量是. 因為平面，所以. 又因為，所以平面. 故是平面的一個法向量. 所以，又二面角為銳角， 故二面角的大小為. （）假設(shè)在線段上存在一點，使得與所成的角為. 不妨設(shè)（），則. 所以， 由題意得， 化簡得， 解得. 所以在線段上不存在點，使得與所成的角為10證明：（I）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中點 又D是AC的中點，OD/AB1AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 A1AC1zxyCB1BD 解：（II）如圖，建立空間直角坐標系， 則C1（0，0，0），B（0，3，

6、2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 設(shè)是面BDC1的一個法向量，則即，取易知是面ABC的一個法向量. . 二面角C1BDC的余弦值為. （III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點P使得CP面BDC1. 設(shè)P（2，y，0）（0y3），則 ， 則，即. 解之方程組無解. 側(cè)棱AA1上不存在點P，使CP面BDC1. B檔（提升精練）12A3C4證明：(I)在直三棱柱中，點是的中點， , 平面 平面，即 又平面 （II）當是棱的中點時，/平面 證明如下:連結(jié),取的中點H，連接, 則為的中位線 ，由已知條件，為正方形，為的中點， ，且 四邊形為平行四邊形又 /平面 解：(III

7、) 直三棱柱且依題意，如圖：以為原點建立空間直角坐標系， ,則，設(shè)平面的法向量， 則,即， 令，有 又平面的法向量為，=， 設(shè)二面角的平面角為，且為銳角 5證明：（）連結(jié)，平面，平面，又，平面，又，分別是、的中點，平面，又平面，平面平面； 解：（）建立如圖所示的直角坐標系，則，設(shè)點的坐標為，平面的法向量為，則，所以，即，令，則，故，平面，即，解得，故，即點為線段上靠近的四等分點；故 （），則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，當是中點時，則，二面角的余弦值為6證明：（），連結(jié)， OHEDABCF因為為正方形，所以是中點，又是中點，所以，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面

8、所以平面證明：（）因為，是的中點，所以 又因為，所以 yxAOHEDBCFz 又因為 所以平面， 因為平面，所以，所以平面解：（），兩兩垂直，建立如圖所示的坐標系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為， ，所以 平面的法向量為 二面角為銳角，所以二面角等于7證明：（）取中點，連結(jié)，因為，所以 因為四邊形為直角梯形，所以四邊形為正方形，所以 所以平面 所以 解：（）因為平面平面，且 ，所以平面，所以 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系 因為三角形為等腰直角三角形，所以，設(shè)，所以 所以 ，平面的一個法向量為 設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為 解：（）存在點，且時，有/ 平面

9、 證明如下：由 ，所以設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 因為 ，且平面，所以 / 平面 即點滿足時，有/ 平面 8EDCMAFBN證明：（）過作于，連結(jié)，則，又，所以.又且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形， 所以.又平面，平面，xzECBDMAFy所以平面. （）因為平面，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得.顯然.則，所以.即，故平面. （）因為，所以與確定平面，由已知得，. 因為平面，所以.由已知可得且，所以平面，故是平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量是.由得 即令，則.所以.由題意知二面角銳角，故二面角的余弦值為. 9證明：（）()連接BD，交AC于點O，連接OP

10、因為P是DF中點，O為矩形ABCD 對角線的交點， 所以O(shè)P為三角形BDF中位線，所以BF / OP， 因為BF平面ACP，OP平面ACP， 所以BF / 平面ACP ()因為BAF=90º，所以AFAB， 因為 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD， 因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系所以 ，所以 ，所以，即異面直線BE與CP所成角的余弦值為解：（）因為AB平面ADF，所以平面APF的法向量為設(shè)P點坐標為， 在平面APC中，所以 平面APC的法向量為， 所以

11、， 解得，或（舍） 此時10證明：（）在正四棱柱中四邊形是正方形, （）在正四棱柱中,連結(jié),交于點,連結(jié).為中點. 為中點，為中點. 又 四邊形CEMF是平行四邊形. 平面,平面. 平面. 解： ()以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系如圖.則 xyz平面的法向量為設(shè)平面的法向量為.， 則有所以 取，得. . 平面與平面所成二面角為銳角.所以平面與底面所成二面角的余弦值為C檔（跨越導(dǎo)練）1B2D3B4證明：（）因為/，平面，平面，所以/平面因為為矩形，所以/又 平面，平面，所以/平面 又，且，平面，所以平面/平面 又平面，所以平面 解：（）由已知平面平面，且平面平面，所以平面，又，故以點

12、為坐標原點，建立空間直角坐標系. 由已知得，易得，則， ， 設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以 又是平面的一個法向量， 所以故所求二面角的余弦值為5證明：（）因為點E為線段PB的中點，點為線段的中點， 所以 . 因為 平面，平面， 所以 平面PAC. 因為 ， 因為 平面，平面， 所以 平面PAC. 因為 平面，平面，所以 平面平面PAC. 證明：（）因為 點C在以AB為直徑的O上，所以 ，即. 因為 平面，平面，所以 . 因為 平面，平面， 所以 平面.因為 平面， 所以 平面PAC平面. （）解：如圖，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系因為 ，所以 ，.延長交于點.

13、因為 ，所以 .所以 ，.所以 ，.設(shè)平面的法向量.因為 所以 即令，則.所以 . 同理可求平面的一個法向量n所以 . 所以 .6()證明： 因為平面，yBCAEzDFxM所以. 因為是正方形，所以，從而平面. ()解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為，即， 5分所以.由可知，. 則，所以， 設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則. 因為平面，所以為平面的法向量，所以. 因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. ()解：點是線段上一個動點，設(shè).則，因為平面，所以， 即，解得. 此時，點坐標為，符合題意.OECDBAPH7（）證明：因為，分別為，的中點， 所以 又平面,

14、平面 所以平面（）證明：連結(jié)， 因為，所以在菱形中，又因為，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，為的中點，所以又因為所以平面（）解：過點作，所以平面如圖，以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系可得，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，令，則設(shè)直線與平面所成的角為，可得所以直線與平面所成角的正弦值為8解法一：（）因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面， 所以. 在底面中，因為，所以 ， 所以. 又因為， 所以平面. （）在上存在中點，使得平面， EFABPCD證明如下：設(shè)的中點是， 連結(jié)，則，且.由已知，所以. 又，所以，且，GHABPCD所以四邊形為平行四邊形，

15、所以. 因為平面，平面，所以平面. （）設(shè)為中點，連結(jié)，則 .又因為平面平面，所以 平面.過作于，連結(jié)，由三垂線定理可知.所以是二面角的平面角.設(shè)，則, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為. zyxABPCD解法二：因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以 底面.又因為，所以，兩兩垂直.分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖.設(shè)，則，. （），,所以 ，所以，.又因為， 所以平面. （）設(shè)側(cè)棱的中點是， 則，. 設(shè)平面的一個法向量是，則 因為，所以 取，則.所以， 所以.因為平面，所以平面. （）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.由（）知，為平面的一個法向量.設(shè)二面角的

16、大小為，由圖可知，為銳角，所以.即二面角的余弦值為.9證明：（）連接AC，交BQ于N，連接MN BCAD且BC=AD，即BCAQ四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，又點M在是棱PC的中點， MN / PA MN平面MQB，PA平面MQB， PA / 平面MBQ （）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點，四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCDPABCDQMNxyz且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 另證：AD / BC，BC=AD，Q為AD

17、的中點 BC / DQ 且BC= DQ， 四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD PA=PD， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ AD平面PAD，平面PQB平面PAD （）PA=PD，Q為AD的中點， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 10分（不證明PQ平面ABCD直接建系扣1分）如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系則平面BQC的法向量為；，設(shè)，則， ， 在平面MBQ中， 平面MBQ法向量為 二面角M-BQ-C為30°， ， 10解：()證明：，. 又,是的中點， ， 四邊形是