非對(duì)稱式的轉(zhuǎn)化策略

1、非對(duì)稱式的轉(zhuǎn)化策略李其明解決數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。在中考或競(jìng)賽試題中常常會(huì)出現(xiàn)一些含兩根的非對(duì)稱式的問(wèn)題，同學(xué)們感到非常困難，不易下手，其實(shí)利用轉(zhuǎn)化的思想，則可將復(fù)雜 的、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)捷的、熟悉的問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。下面舉列說(shuō)明轉(zhuǎn)化 的常用策略。一、降次轉(zhuǎn)化例1.設(shè)x1，x2是一元二次方程 x2 x 3 0的兩根，那么x3 4x2 19的值為（）A. -4B. 8 C. 6D. 0分析：考慮到所求代數(shù)式的次數(shù)較高，可先根據(jù)根的定義，進(jìn)行降次，再利用韋達(dá)定理 來(lái)解。解：設(shè)x1，x2是方程x2 x 30的兩根所以 xi x130，x| x230即 xj2 3 x1，x

2、f 3 x2又由根與系數(shù)關(guān)系得x1 x21所以原式x1 3x14 3 x2193x12X14X273x13x14x274 x1X24414 0故應(yīng)選D。二、消元轉(zhuǎn)化例2.已知mn是一兀二次方程 x2 23x 10的兩根，求代數(shù)式2m 4n 6n 1999的值。分析：此種方法一般先根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，用代入消元法，消去一個(gè)根，把兩根的非對(duì) 稱式轉(zhuǎn)化為只含其中一個(gè)根的代數(shù)式，并通過(guò)適當(dāng)變形，最后由方程根的定義整體代入求值。解：由已知 m n 3 ，所以 m 3 n 所以原式 2 3 n 2 4n2 6n 199926n 2 18n 201726 n2 3n 1 2011由根的定義得： n2 3n 1

3、 0所以原式=2011三、配偶轉(zhuǎn)化2例3.已知a, 3 (a>3)為方程Xx 20的兩根， 不解方程求代數(shù)式22的值。分析：把代數(shù)式2 1 設(shè)為M,調(diào)換字母后，構(gòu)造對(duì)偶式2 2 1，聯(lián)立兩個(gè)非對(duì)稱式M，N，作出 MN，N ，即可求出M、N，從而使問(wèn)題得到解決。解：設(shè) M1 ，則所以所以M= 5，即1 的值為 5。四、組合轉(zhuǎn)化例4.若a、3為方程x22x 5 0的兩根，求2的值。，從而轉(zhuǎn)化分析：所求代數(shù)式為a,3的非對(duì)稱式。若巧妙地組合為為用基本對(duì)稱式及根的定義去解決。解：因?yàn)閍、B為方程 x2 2x 50的兩根所以5，2 25 0即225所以 2222550五、公式轉(zhuǎn)化對(duì) 于 形 如 m

4、n的非對(duì)稱 式 ，苴丿、轉(zhuǎn)化公式m nmnmn(*)。22例5.已知x26x 70的兩根a,3(a>3),不解方程求32的值。解：由根與系數(shù)關(guān)系得：6,7所以28又因?yàn)閍>3，所以2 2323 2由（*）式得：3222152216總2 22235.2六、整體轉(zhuǎn)化例6.已知a, B為方程x2 m 2 x 10的兩根，求1 m值。解：由根的定義可知：所以同理:所以1 m21 m2 4又因?yàn)?所以原式4 14七、構(gòu)造轉(zhuǎn)化例 7.設(shè) a2 2a 14 2 20, b 2b 10，且 1 ab2 2ab b20051的值。解：因?yàn)閍2 2a 10211所以一 2 -10aa又因?yàn)閎4 2b2102所以b 2 b 10又因?yàn)閍b21，所以把1, b