初二年級幾何證明例題精講

1、第3頁共11頁初二年級幾何證明例題精講【例1.已知：如圖6, BCE> 4ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BE AD, 4CDE是等邊三角形.求證： ABC是等邊三角形.證明：./ BCE=90 /ACD=90/BCEW BCA廿 ACEbE=ad/ACDWACE它 ECD /ACB力 ECDEC=CD在ECBffi ACDt/BCE之 ACD圖6ECM等邊三角形. .EC望 ADCA( HL ) ./ECD=60 CD=ECBC=AC即 ACB=60vZ ACB=60. ABC是等邊三角形【例2】、如圖，已知BC > AB, AD=DC。BD平分/ ABC。求證：Z

2、A+ZC=180 .證明：在BC上截取BE=BA,連接DE,. BD 平分 / BAC ./ABD = /EBD在AABD和AEBD中' AB=EBA /ABD = /EBD、BD=BD ABD 0 AEBD (SAS). ./A=/BED AD= DE vAD=DCDE=DC得 /DEC=/C /BED+/DEC=180°. /A+/C=180°1、線段的數(shù)量關(guān)系：通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段到一個三角形中證明線段相等。倍長中線【例.3】如圖，已知在 ABC中，C 90 ,于點(diǎn)D.求證：BD 2CD證明：延長DC到E,使得CE=CD,聯(lián)結(jié)AE / C=90

3、° .AC LCD.CD=CEAD=AE./B=30° /C=90°B 30 , AD 平分 BAC ,交 BC.ADE為等邊三角形 .AD=DE .DB=DA .BD=DE BBD=2DCAAD=AECD第3題vZ ADE=60 0丁. / BAC=60 0. AD 平分 / BAC丁. / BAD=30 0DB=DA / ADE=60【例4.】 如圖，D是 ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD AB, ADB BAD , AE是 ABD 的中線。求證：AC 2AE。證明：延長AE到點(diǎn)F使彳導(dǎo)EF=AE聯(lián)結(jié)DF在4ABE和4FDE中B BE =DEt ZAEB=Z FE

4、DAE=FE .ABE 0 AFDE (SAS) . AB=FD /ABE= / FDE.AB=DCFD = DC . /ADC=/ABD+/BAD ./ADC=/ABD+ /BDA ZABE=ZFDE ./ADC=/ADB+ / FDE 即 /ADC = /ADF 在AADF和AADC中AD=AD/ADF = /ADC DF =DC . ADF0 ADC(SAS)ADB BAD .AF=AC .AC=2AE【變式練習(xí)】、如圖，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/ BAE.證明：延長AE到點(diǎn)F使彳3EF=AE聯(lián)結(jié)DF在4ACE和4FDE中; CE =DEA /AEC= /

5、FED AE=FE .ACE 公 AFDE (SAS) . AC=FD /ACE= / FDE vDB=ACDB = DF/ADB=/ACD+/CADv AC=DC丁. /CAD=/CDA ./ADB= /ACD+/CDA/ACE=/FDE ./ADB=/ADC+/FDE即 /ADB = /ADF在AADF和AADB中AD=AD/ADF = /ADBD F =DB . ADF0 ADB(SAS) ./ FAD= Z BAD. AD 平分/ DAE【小結(jié)】熟悉法一、法三“倍長中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點(diǎn)的一條線段以后的 對于解決含

6、有過中點(diǎn)線段有很好的效果。聯(lián)結(jié)BDBG= BF/BFG=/BGF/ CAD =/BGD ./BFG= /CAD/ BFG=/AFE ./AFE= /FAEAE =AF【變式練習(xí)】：如圖所示，AD是4ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且 AC=BF。求證：AE=EF0AD至點(diǎn)G,使得DG=AD ,證明：延長在4ADC和4GDB中AD=GD"/ADC=/GDB' BD=DC .ADC AGDB (SAS)得 AC= BG / CAD = / BGDvAC=BF、借助角平分線造全等【例5】如圖，已知在 ABCt, / B=60°,4ABC的角平分線AD,CE相交于

7、點(diǎn)0,求證：0E=0D證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結(jié)0F中在ABC, / B+/ BAD廿 ACB=180/ B =60 0 ./ BADi/ ACB=120: AD 平分 / BAC在ACO莊口 COF中丁. / BAC= 2Z OAC/ DCO 之 FCOv CE 平分 / ACBCO=CO在AOEffl AAOFAE=AF/ EAOW FAOAO = AO.AOEA AOF(ASA ./AOEW AOE OE=OFAOE=60°/ AOEV AOE4丁. / ACB= 2/ ACO/ FOC=6OvZ AOE士 COD丁. / COD=60AOE=600FFOC=180Z

8、 DOC =FOC2/ OAC+之 ACO=120 .-.CODACOF (ASA ./ OAC它 ACO=60OD =OFv / AOE= / OAC它 ACO. OE=OFZOE=OD【例6】.如圖， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC , BD是/ABC的平分線,BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長線于F.求證：BD=2CE./ 證明：延長BA, CE交于點(diǎn)F,在ABEFffi A BEC中，/1 = /2, BE=BE, / BEF=/BEC=90 , .A BE/ A BEC,EF=EC,從而 CF=2CE。又/ 1 + /F=/3+/F=90°

9、,故/1 = /3。在 A ABD和 AACF中，/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90ba AABD AAC5 a BD=CF, . . BD=2CE。第5頁共11頁【小結(jié)】解題后的思考：一乂。心于角平行線的問題，常用兩種輔助線;D 旋轉(zhuǎn)ADF【例7】正方形ABCW, E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF第4頁共11頁延長EB到點(diǎn)G使得BG =BE先證明AADF 0 AABE可得至U AF =AG / DAF = / GAB v EF =BE +DF丁 / GAEW FAE/ DAF吆 BAF=90/ GAB =/ FAD 丁. / GAF = 9

10、00 ./ EAF = 450EF = BE+BG =GE.GAE 0 AFAECBD的大【例8】.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則小為 90則（1）中結(jié)論下AD± C ./ ECB它 AHB=90 ./ ECB它 CHF=90丁. / HFC=90【例 9.如圖，已知/ ABC=/DBE=90° , DB=BE , AB=BC . (1)求證：AD=CE ,ADXCE （2）若4 DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到 ABC外部，其他條件不變,是否仍成立？請證明提示：/ ABCW DBE =90°丁. / ABC-/ DBCh DBE - / DBC即 /

11、ABDW CBE ABD 0 CBEAD=CE/ BADW ECB / BAD它 AHB=90【例10.如圖在RtAABC中,AB=AC, /BAC=90° ,。為BC中點(diǎn).（1）寫出。點(diǎn)到4ABC三個頂點(diǎn)A、B、C的距離關(guān)系（不要求證明）（2）如果M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動過程中保持 AN=BM,請判 斷AO M N的形狀，并退.明你的結(jié)論.聯(lián)結(jié)OA則 OAG 口 OABDTE為等腰直角三角形OA=0B=0C ANO0 ABMO( /NOA=OBM可得 ON=OM / NOA2 MOB可得到 / NOM=/AOB=90°【例11如圖，已知 ABC為等邊三角形

12、，D、E、F分別在邊BC、CA、AB 上，且DEF也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相 等線段，并證明你的猜想是正確的;(2)你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程.AE=BF =CD AF=BD =CEABC等邊三角形DEF也是等邊三角形得至4/ EFD=60 /ABC=60 /AFD力 FBD吆 FDB/AFD之 AFE吆 EFD /AFE4BDF .AEF 里 ABFD同理： AEF ACDE、截長補(bǔ)短【例12、如圖，ABC中，AB=2AC AD平分 BAC ,且AD=BD求證：CD!AC第6頁共11頁B【例13如圖，AC/ BD, EA,E

13、B分別平分/ CAB,/ DBA CD過點(diǎn)E,求證;AB = AC+BDA0【例14如圖，已知在VABC內(nèi)， BAC 60 , C 40°, P, Q分別在BC, CABQ+AQ=AB+BP上，并且AP, BQ分別是 BAC, ABC的角平分線。求證: 證明：如圖（1）,過O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60° 40° =80° ,又. / AQO =C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAO= QAO OA=AO .AD董 AAQO .OD=O QAD=AQ又OD/ BP, ./PBOW DOB又./ PBO

14、=DBO ./DBO= DOB .BD=O D又/ BPAW C+/ PAC=70 ,/ BOPW OBA廿 BAO=70 , ./BOPW BPO .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ【例15.如圖，在AABC中，/ABC=60° , AD、CE分別平分/ BAC、/ACB, 求證：AC=AE+CD .方法同【例5】第10頁共11頁【例 16】已知：/ 1 = /2, CD=DE, EF/AB ,求證：EF=AC延長FD至點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CG先證明4FDE公GDC得 /EFD = /CGD FE = CG ,EF/AB/ EFD =/1ZCGD=Z 1/

15、 1 = /2, ./2=/CGDAC= CGv FE = CGEF=AC【例17如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)M ,N分別在BC,AC上，且BMAM與BN交于Q點(diǎn)。求AQN的度數(shù)。先證明 4ABM 公 ABCN (SAS)可得/ CBN = /BAM/ AQN= / ABQ+ / BAQ. / BAM= / CBN丁. /AQN= /ABQ+/CBN即 /AQN=/ABC = 60 0(4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全 等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”【例18：如圖，A ABC中，AB=AC E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn),連EF交BC于D,若EB=C

16、F求證：DE=DF證明：過E作EG/AC交BC于G,貝叱 EGB= ACB又 AB=AC B=/ACB.B=/EGB EGD=DCF .EB=EG=G F /EDBW CDF . .ADG亳 A DCF .DE=DF【例19】已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD / BC, BC = DC,CF平分/ BCD,DF/AB, BF 的延長線交 DC 于點(diǎn) E,求證：(1) ABFCADFC; (2) AD=DE.聯(lián)結(jié)BD證明：v CF平分/ BCD ./BCF=/ DCFftABCFffiADCF 中'BC=CD< ZBCF=Z DCF,CF=CF .BCF 公 ADCF (SA

17、S) .BF=DF(2) v AD / BC ./ADB = /CBD.BC = DC(ASA)/CBD=/CDB ./ADB=/CDBv DF / AB ./ABD= /BDF BF=DF ./ FDB= / FBD ./ABD= / FBD在AABD和AEBD中/ ABD= /EBD BD=BD/ADB= /EDB .ABD 0. .AD = DE EBD(1) AM=AN ; (2)【課堂練習(xí)】1 .如圖，已知 AE 平分/ BAC , BE 上 AE 于 E, ED / AC , / BAE=36 ° ,那 么 / BED= 126°延長AE交AC于F2 .如圖：B

18、EX AC, CFXAB , BM=AC , CN=AB。求證: AM ±ANo【試卷上面的已講】已知在 ABC中，ABC 45,高AD所在的直線與高BE所在的直線交于點(diǎn)F, 過點(diǎn)F作FG / BC ,交直線AB于點(diǎn)G ,聯(lián)結(jié)CF . (1)當(dāng) ABC是銳角三角形 時(如圖a所示)，求證：AD FG CD;(2)當(dāng)BAC是鈍角時(如圖b所示)，寫出線段AD、CD、FG三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程,直接寫結(jié)論；當(dāng)BE FE, BD 4時，求FG的長.第27 (b)題可知 zFDC和4AFG都為等腰直角三角形圖(b)中第 13 頁 共 11 頁 ABD 和 ADC 0DC = FDFD=AFCD=FD .FD=DC AF =FG AFG 都為等腰直角三角形AD=AF+FDBDF . AD=FG+DC+AD【總結(jié)】常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維