高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《平面解析幾何》解析

1、一、選擇題 221.已知橢圓x2 y2 a b數(shù)學(xué)平面解析幾何高考知識(shí)點(diǎn)1(a b 0)的焦點(diǎn)分別為Fi , F2,點(diǎn)A, B在橢圓上,AB F1F2于 F2, AB 4, F1F22x/3,則橢圓方程為（）2【解析】【分析】y2 1C2 x B. 32C.2 y_6D.122/3可彳導(dǎo)c2b2利用橢圓的性質(zhì)，根據(jù) AB 4, F1F2推出橢圓方程.【詳解】22橢圓x_與 a b1（ ab 0)的焦點(diǎn)分別為E, F2,點(diǎn)A, B在橢圓上,AB F1F2于 F2, |AB 4, IF1F2I 273,可得 c V3,必 ac2 a2 b2 ,解得 a 3, b 66 ,所以所求橢圓方程為:221

2、 ,故選C.96本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，是基本知識(shí)的考查.2.已知直線y kx 2k 1與直線y值范圍是()1-x 2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取2,1.1 , .1A. k -B. k 一或 k C. 6 k 2262【答案】D【解析】【分析】D.y聯(lián)立ykx 2k 11,可解得交點(diǎn)坐標(biāo)(x, y),由于直線y kxx 222k 1與直線1x 0y - x 2的交點(diǎn)位于第一象限，可得，解得即可.2y 0【詳解】解：聯(lián)立2 4k x 2k 16k 1y 2k 1kx 2k 11,解得x 22Q直線y kx 2k 1與直線y1 c ,、-x 2的交點(diǎn)位于第一象限,

3、2U 02k 1,解得：-k -6k 1 0622k 1故選：D.【點(diǎn)睛】 本題考查兩直線的交點(diǎn)和分式不等式的解法，以及點(diǎn)所在象限的特征.23.已知直線l：y 2x b被拋物線C:y2 2px(p 0)截得的弦長(zhǎng)為5,直線l經(jīng)過(guò)C : y2 2 Px(p 0)的焦點(diǎn)，M為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) N的坐標(biāo)為 4,0 ,則MN的 最小值為()A. 273B. MC. 2D. 272【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程利用弦長(zhǎng)公式列方程，結(jié)合直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，解方程可得P 2 ,再利用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)配方法即可得結(jié)果.【詳解】y 2x b 22由 24x2 (4b 2p)x b

4、2 0,y 2px2b p b2x1 x2, x1x2 一,24因?yàn)橹本€l：y 2x b被拋物線C:y2 2px(p 0)截得的弦長(zhǎng)為5,5 W 22|x1 x ，2. 222 2bp , b所以 51 24 (1)24又直線l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)，則 b 2 b P (2)2 2由(1) (2)解得p 2 ,故拋物線方程為y2 4x .設(shè) M %, y0 , y2 4xo .22222則 |MN|2 % 4y0 Xo 4 45 % 212,故當(dāng)X 2時(shí)，|MN|min 2志.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式以及配方法的應(yīng)用，意在考查綜 合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題白能力

5、，屬于中檔題.4.設(shè)拋物線E： y2 線的垂線，垂足分別是A. 4舊【答案】C【解析】【分析】6x的弦AB過(guò)焦點(diǎn)A , B ,則四邊形B. 8、.3F , | AF | 3| BF | ,過(guò)A, B分別作E的準(zhǔn)AAB B的面積等于()C. i6.3D. 32.3由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長(zhǎng) AB,由拋物線的性質(zhì)可得梯形的上下底之和求出，求出A, B的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，代入梯形的面積公式即可求出梯形的面積.【詳解】 3解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(3,0),準(zhǔn)線方程：x由題意可得直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的

6、方程為：xmyA(Xi, y), B(X2 ,聯(lián)立直線與拋物線的方程:3my 2，整理可得:6x所以 y-i y2 6m , y1y2因?yàn)閨AF |3| BF |,所以9 uuu AFXi uur 3FBX2m(yi y2)3即(士 Xi2y1)3(x2可得:yi3y2所以可得:2 y2 3y226m 即m由拋物線的性質(zhì)可得:AA| |BBABXiX226m26g36| yiy21 .(2yi 丫2) 4y1y2.36m2 3636 473 ,由題意可知，四邊形 AABB為直角梯形，所以 Saabb 1(AA BB )g y1 V2 | 1g3g4%/3 16/3 , 22本題考查拋物線的性質(zhì)

7、及直線與拋物線的相交弦長(zhǎng)，梯形的面積公式，屬于中檔題.225.已知雙曲線 4 1(b 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ,其一條漸近線方程為2 b2y x,點(diǎn)_uur uuurP(J3, y°)在該雙曲線上，則 PFi PF2=()A. 12【答案】C【解析】B. 2C. 0D.由題知y二 uuur umuPF1 PF22,故三士4口 三 土1,丹(-2,0)/式2,0),2 3, 1)(273, 1) 3 4 1 0 ,故選擇 C.6.已知雙曲線2 x C: 12O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為POQ為直角三角形,則 PQA. 2【答案】C【解析

8、】【分析】B. 4C. 6D.由題意不妨假設(shè)P點(diǎn)在第一象限、Q點(diǎn)在第四象限,OPQ 90 ,解三角形即可.不妨假設(shè)P點(diǎn)在第一象限、Q點(diǎn)在第四象限， OPQ90 .則易知 POF 30 ,OFOP 2>/3,在 n POQ 中,POQ 60OPQ 90 , OP 273PQ,3 OP 6.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的特征設(shè)出 即可結(jié)合條件求解，屬于常考題型 .P , Q位置，以及VPOQ的直角,7.已知直線y kx k 0與雙曲線直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2xa,若2 1 a 0,b bABF的面積為0交于A, B兩點(diǎn)，以AB為A. 72【答案】D【解析】【分

9、析】C. 24a2 ,則雙曲線的離心率為D. .5通過(guò)雙曲線和圓的對(duì)稱性，將 公式可以建立a與b的關(guān)系,【詳解】ABF的面積轉(zhuǎn)化為 FBF從而推導(dǎo)出離心率的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積Q AB為圓的直徑F為雙曲線的左焦點(diǎn)AFB 90o根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形AFBF為矩形S ABF又 S FBFe2 51二 SAFBFS FBF2b- b2 4a2,可得:tan 45e 、. 522c 5a本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】a,c的齊次方程,本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問(wèn)題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于 從而配湊出離心率的形式.8.已知拋物線y2 = 4x上的點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為di,至ij

10、直線3x4y+9=0的距離為d2,則di + d2的最小值是（）12A. 一5.5D.5【解析】一一一一 2試題分析：根據(jù)拋物線白定義可知拋物線y 4x上的點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離 PF di,所以di d2 MF d2,其最小值為F 1,0到直線3x 4y 9 0的距離，由點(diǎn)到直線的一3 912 ，一距離公式可知 d d2 MF d2 .一，故選a.F 2 min2 min J32 425考點(diǎn)：拋物線定義的應(yīng)用.229.若雙曲線3mx my =3的一個(gè)焦點(diǎn)是A. -1B. 1【答案】A【解析】2x22_雙曲線3mx my =3的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1m 13焦點(diǎn)在y軸上，一一4 ,且m 0, m mm

11、 1.故選A.0,2，則m的值是10C.20D.1010.如圖，設(shè)橢圓E ：2x2ab 0）的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為第二象限上的點(diǎn)，直線 的離心率是（）BO交橢圓E于點(diǎn)C,若直線BF平分線段AC于M ,則橢圓E1A. 一22B.一31D.一4【答案】C【解析】如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,連接OM,8則OM為AABC的中位線,于是OFMsAFB,且OF| |OMFAAB1 2,即=1 可得 e=.a c 2 a 3 1故答案為1.3點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a, b, c的方程或不等式，再根據(jù) a, b, c的關(guān)系消掉b得到a, c的關(guān)系式，建立關(guān)于 a, b,

12、 c的方 程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等11.已知拋物線C : y2 4x ,過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A, B兩點(diǎn)，若AF 3fb ,則VAOF的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為（）A后3【答案】B【解析】【分析】B.P 4.3C.3D. 2.3首先過(guò)A作AAAB,ABM30°，AFH過(guò)B作BB1 A1B1 （ A1B1為準(zhǔn)線），BM AA1 ,易得60°.根據(jù)直線AF ： y 73（ x 1）與拋物線聯(lián)立得到X1X210、一廣，一，根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)得到3AB16,人口，一，結(jié)合已知即可得到3AHAF sin60° 2點(diǎn),再計(jì)算Svaof

13、即可.【詳解】如圖所示:（ABi 為準(zhǔn)線），BM AA., uuu 因?yàn)锳FUM 杯 RR 3BF，僅 BFBB1A1M所以AM2k.在 RTVABM 中,AM21ABABM 30o.貝 U AFH 60o.F(1,0),直線 AF、 3（x1).y 、.3(x i)2y 4x3x210x0,XiX2103所以ABXiX2103163AF-|ab 44.在 RTVAFH中,AHAF sin60o2 3.所以SVAOF2 .3.3 .故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，屬于中檔題2 x12.已知曲線C的方程為 2m 121,現(xiàn)給出下列兩個(gè)命題：P :m1m 一是曲

14、線2C為雙曲線的充要條件,1-一是曲線C為橢圓的充要條件，則下列命題中真命題的 2B.A.C. p qD. p q【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件及雙曲線和橢圓定義，分別判定命題p與命題q的真假，進(jìn)而判斷出復(fù)合命題的真假.【詳解】1若曲線C為雙曲線，則m 2m 10 ,可解得0 m 21若0 m ,則m 2m 10 ,所以命題p為真命題21若曲線C為橢圓，則 m 且 所以命題q為假命題2因而p q為真命題所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.2213.已知雙曲線j 4 1a 0,b 0的左右焦點(diǎn)分別為 F1 ,F2,M為雙曲線上一點(diǎn)，若 a

15、2 b21cos F1MF2 - , MF1| 2 MF2，則此雙曲線漸近線方程為（）4A. y &B. y xC. y xD. y 2x3【答案】A【解析】【分析】因?yàn)镸為雙曲線上一點(diǎn)，可得MF 1MF2 2a,在F1MF2使用余弦定理，結(jié)合已知條件即可求得答案.【詳解】22Q雙曲線 14 1a 0,b 0的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2,M為雙曲線上一點(diǎn) a bMF 1 MF2 2a ，解得：|MFj 4a, MF2 2a MF 12 MF2在F1MF2中，根據(jù)余弦定理可得：F1F2 2 MF1 2 MF2 2 2 MF1 MF2 cos F1MF22221可得：(2c)(4a)(2

16、a)2 4a 2a 4化簡(jiǎn)可得：c 2a由雙曲線性質(zhì)可得：b2 c2 a2 4a2 a2 3a2可得：b -,3abQ雙曲線漸近線方程為：y xa則雙曲線漸近線方程為：y 、,3x故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線漸近線方程問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的基本知識(shí)，數(shù)形Z合，考查分析能力和計(jì)算能力屬于中檔題.14 .若A, B分別是直線x y 2 0與x軸，y軸的交點(diǎn)，圓C： 22x 4 y 48上有任意一點(diǎn)M,則 AMB的面積的最大值是()A. 6B, 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】先求出AB ,再求出M到直線的最大距離為點(diǎn) M到直線x y 2 0加上半徑，進(jìn)而可 得面積最大

17、值.【詳解】由已知A 2,0 , B 0, 2則 AB 222 222 72,又點(diǎn)M到直線的最大距離為 4 r42 88 5質(zhì),1 1 1所以最大面積為-2 2 5 2 10.2故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓上一點(diǎn)到直線的最大距離問(wèn)題，是基礎(chǔ)題15 .雙曲線定位法是通過(guò)測(cè)定待定點(diǎn)到至少三個(gè)已知點(diǎn)的兩個(gè)距離差所進(jìn)行的一種無(wú)線電 定位.通過(guò)船(待定點(diǎn))接收到三個(gè)發(fā)射臺(tái)的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，兩個(gè)距離差即 可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位.我們來(lái)看一種簡(jiǎn)單的 特殊”狀況；如圖所示，已知三個(gè)發(fā)射臺(tái)分別為A, B, C且剛好三點(diǎn)共線，已知 AB 34海里，AC 20海里，現(xiàn)以AB的中點(diǎn)為原

18、點(diǎn)， AB所在直線為x軸建系.現(xiàn)根據(jù)船出的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，得知船P在雙曲線 x 2736P接收到C點(diǎn)與A點(diǎn)發(fā)2y 1的左支上，根64據(jù)船P接收到A臺(tái)和B臺(tái)電磁波的時(shí)間差，計(jì)算出船P到B發(fā)射臺(tái)的距離比到 A發(fā)射臺(tái)的9032不7B.13532.2C.17, 一D. 45, 16/3【答案】B【解析】【分析】 22設(shè)由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差確定的雙曲線方程為與 匕a b1 x a ,根據(jù)雙曲線的定義得出a 15,再得出由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差所確定的雙曲線為X2y2x 27 22'匕 1 x 15 ,與雙曲線 xy- 1聯(lián)立，即可得出點(diǎn) P坐標(biāo).225 643664【詳解

19、】設(shè)由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差確定的雙曲線方程為22xy.-2 -21 x aa2b2由于船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差為30海里，故a15,又 c=17,故 b 8故由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差所確定的雙曲線為2251 x 15642x 27聯(lián)立 362x2252y642工 1 x 2164,解得P 171 x 15距離遠(yuǎn)30海里，則點(diǎn)P的坐標(biāo)（單位：海里）為（）故選：B【點(diǎn)睛】 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題16 .在復(fù)平面內(nèi)，虛數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 A,其共軻復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B,若點(diǎn)A與B分別在_，" _ uuv uuvy2 4x與yx上，且都不與原點(diǎn)O重合，則oa ob ()

20、A. -16B. 0C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】uuuuuu先求出OA (4,4), OB (4, 4),再利用平面向量的數(shù)量積求解.【詳解】 在復(fù)平面內(nèi)，z與Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是y2 4x與y x的交點(diǎn).y2 4x由 y 得(4, 4)或(0,0)(舍)，即 z 4 4i，y x uuuuuu則 z 4 4i , OA (4,4) , OB (4, 4),uuu uurOA OB 4 4 4 ( 4) 0.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查共軻復(fù)數(shù)和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查直線和拋物線的交點(diǎn)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力217.已知拋物線y

21、22 Px(p 0)的焦點(diǎn)為F ,過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的兩直線 AB , CD與拋物線分別相交于B以及C1AF1BF1 ,則四邊形ACBD的面積的最小值為()A. 18【答案】C【解析】【分析】【詳解】B. 30C.32D. 36由拋物線性質(zhì)可知:1AF1BF1AF1BF即 y2 4x一八八，1設(shè)直線AB的斜率為k (kw。，則直線 CD的斜率為 一k直線AB的方程為y=k (x- 1),y k(x1一一 一 一聯(lián)立 y 2，消去 y 得 k2x2- (2k2+4) x+k2=0,y 4x從而 Xa Xb 22 , XAXB 1k，、，,-4由弦長(zhǎng)公式得|AB|= 41，k21 .一o以 k 換

22、k 得 |CD|=4+4k 2, 114221故所求面積為一AB CD 4 =4 4k28 2 k232（當(dāng)k2=1時(shí)取等2112k2k2號(hào)），即面積白最小值為32.故選C18 .橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)22過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：上 £ 1,169點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn) A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的最短路程是（）.A. 20B. 18C. 16D.以上均有可能【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，小球從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點(diǎn)繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點(diǎn)，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定 義可求得答案.【詳解】依題意可知小