概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂練習(xí)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂練習(xí)第一部分1、單項(xiàng)選擇題 (1) 設(shè)A, B為任二事件, 則下列關(guān)系正確的是( ). (A). (B).(C). (D). 解 由文氏圖易知本題應(yīng)選(D).(2) 若兩個(gè)事件A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率P(AB)=0, 則下列結(jié)論正確的是 ( ).(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.解 本題答案應(yīng)選(C). （3）在5件產(chǎn)品中, 有3件一等品和2件二等品. 若從中任取2件, 那么以0.7為概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多

2、有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和沒有一等品, 其中只含有一件一等品的概率為, 沒有一等品的概率為, 將兩者加起即為0.7. 答案為（D）. （4) 設(shè)隨機(jī)事件A, B滿足P(A|B)=1, 則下列結(jié)論正確的是( )(A) A是必然事件. (B) B是必然事件.(C) . (D).解 由條件概率定義可知選(D). (5) 設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件, 且, 則下列命題正確的是( ).(A) 若, 則A, B互斥.(B) 若, 則.(C) 若, 則A, B為對立事件.(D) 若, 則B為必然事件.解 由條件概率的定義知選（B） (6) 設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容, 且有P(A)0

3、, P(B)0, 則下列關(guān)系成立的是( ). (A)A, B相互獨(dú)立. (B)A, B不相互獨(dú)立. (C)A, B互為對立事件. (D)A, B不互為對立事件. 解 用反證法, 本題應(yīng)選(B). (7) 設(shè)事件A與B獨(dú)立, 則下面的說法中錯(cuò)誤的是( ). (A) 與獨(dú)立. (B) 與獨(dú)立.(C) . (D) A與B一定互斥. 解 因事件A與B獨(dú)立, 故,A與及與B也相互獨(dú)立. 因此本題應(yīng)選(D).(8) 設(shè)事件A與 B相互獨(dú)立, 且0P(B)1, 則下列說法錯(cuò)誤的是( ). (A) . (B) .(C) A與B一定互斥. (D) .解 因事件A與B獨(dú)立, 故也相互獨(dú)立, 于是(B)是正確的.

4、再由條件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正確的. 從而本題應(yīng)選(C). 2. 設(shè)P(AB)=P(), 且P(A)p，求P(B). 解 因 ,故. 于是3. 已知, 求. 解 由公式知. 于是4. 設(shè)A, B為隨機(jī)事件, 求.解 由公式可知,. 于是.5. 已知, , 求A, B, C全不發(fā)生的概率.解 因?yàn)?所以=0, 即有=0.由概率一般加法公式得 由對立事件的概率性質(zhì)知A ,B, C全不發(fā)生的概率是6. 從由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率;

5、 (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.7. 袋中有9個(gè)球, 其中有4個(gè)白球和5個(gè)黑球. 現(xiàn)從中任取兩個(gè)球. 求：(1) 兩個(gè)球均為白球的概率；(2) 兩個(gè)球中一個(gè)是白的, 另一個(gè)是黑的概率；(3）至少有一個(gè)黑球的概率.解 從9個(gè)球中取出2個(gè)球的取法有種，兩個(gè)球都是白球的取法有種，一黑一白的取法有種，由古典概率的公式知道(1) 兩球都是白球的概率是;(2) 兩球中一黑一白的概率是;(3) 至少有一個(gè)黑球的概率是1.8. 從1,2,

6、3,4中任取一個(gè)數(shù), 記為X, 再從1,2,X中任取一個(gè)數(shù), 記為Y,求PY=2.解 解 PY=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2+PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4 =(0+)=.9. 甲、乙、丙三人同時(shí)對某飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7. 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而被擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落. 求該飛機(jī)被擊落的概率.解 目標(biāo)被擊落是由于三人射擊的結(jié)果, 但它顯然不能看作三人射擊的和事件. 因此這屬于全概率類型. 設(shè)A表示“飛機(jī)在一次三人射擊中被擊落”, 則表示“恰有i發(fā)

7、擊中目標(biāo)”. 為互斥的完備事件組. 于是沒有擊中目標(biāo)概率為,恰有一發(fā)擊中目標(biāo)概率為,恰有兩發(fā)擊中目標(biāo)概率為,恰有三發(fā)擊中目標(biāo)概率為.又已知 ,所以由全概率公式得到 10. 在三個(gè)箱子中, 第一箱裝有4個(gè)黑球, 1個(gè)白球; 第二箱裝有3個(gè)黑球, 3個(gè)白球; 第三箱裝有3個(gè)黑球, 5個(gè)白球. 現(xiàn)任取一箱, 再從該箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的為白球, 求該球?qū)儆诘诙涞母怕? 解 (1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球來至第i個(gè)箱子”,i=1,2,3.則P()=, i=1,2,3, .由全概率公式知P(A)=. (2) 由貝葉斯公式知 P()=11. 某廠甲、

8、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品, 其產(chǎn)量分別占全廠總產(chǎn)量的40%, 38%, 22%, 經(jīng)檢驗(yàn)知各車間的次品率分別為0.04, 0.03, 0.05. 現(xiàn)從該種產(chǎn)品中任意取一件進(jìn)行檢查. (1) 求這件產(chǎn)品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 問此產(chǎn)品來自甲、乙、丙各車間的概率分別是多少？解 設(shè)A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分別表示“所取到的產(chǎn)品來自甲、乙、丙工廠”. 易知, 是樣本空間S的一個(gè)劃分, 且，,.(1) 由全概率公式可得 .(2) 由貝葉斯公式可得, , . 12. 設(shè)三事件A , B和C兩兩獨(dú)立, 滿足條件：, 且,求.解 根據(jù)一般加法公式有.由題設(shè)

9、可知 A, B和C 兩兩相互獨(dú)立, , 因此有 從而,于是或, 再根據(jù)題設(shè), 故.13. 甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊, 已知甲命中目標(biāo)的概率為 0.7, 乙命中目標(biāo)的概率為0.8. 求：(1) 甲、乙兩人同時(shí)命中目標(biāo)的概率；(2) 恰有一人命中目標(biāo)的概率；(3) 目標(biāo)被命中的概率. 解 甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊應(yīng)看作相互獨(dú)立事件. 于是(1) (2) (3) 第二部分1. 選擇題(1) 設(shè) 如果c=( ), 則是某一隨機(jī)變量的概率密度函數(shù). (A) . (B) . (C) 1. (D) .解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)可得, 于是, 故本題應(yīng)選(C ).(2) 設(shè)又常數(shù)c滿足, 則c等于( )

10、.(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.解 因?yàn)? 所以,即, 從而,即, 得c=0. 因此本題應(yīng)選(B). (3) 下列函數(shù)中可以作為某一隨機(jī)變量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)可知本題應(yīng)選(D). (4) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為, 且, 又F(x)為分布函數(shù), 則對任意實(shí)數(shù), 有( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由分布函數(shù)的幾何意義及概率密度的性質(zhì)知答案為(B).(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且 則下式中成立的是( ).(A) 1 2. (C) 1 2. 解 對12時(shí), 答案是(A).(

11、6) 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1), 對給定的正數(shù), 數(shù)滿足, 若, 則等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).(7) 已知 則.(A) . (B) . (C) . (D) . 解 . 可見，應(yīng)選(D).(8) 設(shè), 則有( ).(A) . (B) .(C) . (D) .解 因?yàn)樗訣(X)=np,D(X)=np(1-p), 得到np=6, np(1-p)=3.6 . 解之, n=15 , p=0.4 . 可見，應(yīng)選(C).(9) 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從, 則有( ). (A) . (B) . (C) . (D) .解 注意到.由于X與Y相互獨(dú)

12、立,所以. 選(D).(10) 在下列結(jié)論中, 錯(cuò)誤的是( ).(A) 若(B) 若，則.(C) 若X服從泊松分布, 則.(D) 若 則. 解 , 則. 選(B).2. 設(shè)A為任一隨機(jī)事件, 且P(A)=p(0p1). 定義隨機(jī)變量寫出隨機(jī)變量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 3. 已知隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2四個(gè)值, 且取這四個(gè)值的相應(yīng)概率依次為. 試確定常數(shù)c, 并計(jì)算條件概率.解 由離散型隨機(jī)變量的分布律的性質(zhì)知，所以.所求概率為 PX1| X =.4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2, p的二項(xiàng)分布, 隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為3, p的二項(xiàng)分布

13、, 若, 求.解 注意px=k=,由題設(shè)故. 從而5. 在三次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)中, 每次試驗(yàn)成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率為, 求每次試驗(yàn)成功的概率.解 設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p, 由題意知至少成功一次的概率是，那么一次都沒有成功的概率是. 即, 故 =.6. 若X服從參數(shù)為的泊松分布, 且, 求參數(shù). 解 由泊松分布的分布律可知.7. 設(shè)X的分布律為X-1 0 1P0.15 0.20 0.65求分布函數(shù)F(x), 并計(jì)算概率PX0, PX2, P-2X1.解 (1) F(x)= (2) PX0=PX=-1=0.15; (3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P

14、-2x1=PX=-1+PX =0=0.35.8. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) = A+Barctanx -x+.試求: (1) 常數(shù)A與B; (2) X落在(-1, 1內(nèi)的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2) 9. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=求PX-1, P0.3 X0.7, P0X2.解 PX, P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P02時(shí), .所以 12. 設(shè)隨機(jī)變量, 若, 求.解 因?yàn)樗? 由條件可知,于是, 從而.所以 .第三部分1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 X-2 0 2P0.4 0.3 0.3

15、求；E(23 X); ；.解 由定義和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知;.2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的數(shù)學(xué)期望.解 ,.3. 游客乘電梯從底層到電視塔頂觀光, 電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第分鐘、第分鐘和第分鐘從底層起行. 假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層侯梯處, 且X在區(qū)間0, 60上服從均勻分布. 求該游客等候電梯時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.解已知X在0,60上服從均勻分布, 其概率密度為記Y為游客等候電梯的時(shí)間,則因此, =11.67(分鐘). 已知X, Y獨(dú)立, E(X)= E(Y)=2, E(X2)= E(Y2)=5, 求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解 由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)有E(3X-2Y)= 3E(X)

16、-2 E (Y)=32-22=2, . 設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, X3相互獨(dú)立, 其中X1服從區(qū)間0, 6上的均勻分布, , , 記, 求E(Y)和D(Y) .解 由題設(shè)知.由期望的性質(zhì)可得 又相互獨(dú)立, 所以. 設(shè)隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量求期望和方差.解 因?yàn)閄的概率密度為于是Y的分布率為,.因此,.故有 .第四部分1. 選擇題 (1) 下面關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的說法不正確的是( ).(A) 統(tǒng)計(jì)量與總體同分布. (B) 統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量. (C) 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù). (D) 統(tǒng)計(jì)量不含未知參數(shù). 解 選(A).(2) 已知X1,X2,Xn是來自總體的樣本, 則下列關(guān)系中正確的是( ).(A) (B)

17、(C) (D) 解 選(C).(3) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 則( ).(A)X+Y服從正態(tài)分布. (B) X2+Y2服從分布.(C)X2和Y2都服從分布. (D) 服從F分布.解因?yàn)殡S機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 但X與Y不一定相互獨(dú)立,所以(A),(B),(D)都不對, 故選(C).() 設(shè)隨機(jī)變量, 則下列關(guān)系中正確的是( ). (A) . (B) . (C) . (D) 解 由題設(shè)知, 其中, 于是=,這里, 根據(jù)F分布的定義知故應(yīng)選(C).() 設(shè),(n),分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)、(n)分布、分布和分布的上分位點(diǎn), 在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ). (A) .

18、(B) (n)=1-(n). (C) . (D) .解 應(yīng)選(B). 在總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本, 求樣本均值落在50.8到53.8 之間的概率.解 因?yàn)?所以.于是, 標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 .因此 . 已知是來自正態(tài)總體的樣本, 求概率.解 由定理1知, 因此 ,所以 第五部分1. 選擇題(1) 設(shè)總體X的均值與方差2都存在但未知, 而為來自X的樣本, 則均值與方差2的矩估計(jì)量分別是( ) . (A) 和S2. (B) 和.(C) 和2. (D) 和.解 選(D).(2) 設(shè), 其中0為未知參數(shù), 又為來自總體X的樣本, 則的矩估計(jì)量是( ) . (A) . (B) . (C) . (D

19、) .解 選(B).2. 設(shè)總體X的分布律為X-215P其中00.25為未知參數(shù), X1, X2, , Xn為來自總體X的樣本, 試求的矩估計(jì)量. 解 因?yàn)镋(X)=(-2)3+1(1-4)+5=1-5, 令得到的矩估計(jì)量為.3. 設(shè)總體的概率密度為其中-1是未知參數(shù), X1,X2,Xn 是來自的容量為n的簡單隨機(jī)樣本, 求: (1) 的矩估計(jì)量；(2) 的極大似然估計(jì)量.解 總體 X 的數(shù)學(xué)期望為.令, 即, 得參數(shù)的矩估計(jì)量為.設(shè)x1, x2, x n是相應(yīng)于樣本X1, X 2, , X n的一組觀測值, 則似然函數(shù)為當(dāng)0xi0且 ,令 =0, 得的極大似然估計(jì)值為 ,而的極大似然估計(jì)量為

20、 .4. 設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 即的概率密度為其中為未知參數(shù), X1, X2, , Xn為來自總體X的樣本, 試求未知參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量. 解 因?yàn)镋(X)= =, 所以的矩估計(jì)量為. 設(shè)x1, x2, x n是相應(yīng)于樣本X1, X 2, ,X n的一組觀測值, 則似然函數(shù),取對數(shù) .令 得的極大似然估計(jì)值為,的極大似然估計(jì)量為.第六部分1. 選擇題(1) 總體未知參數(shù)的置信水平為0.95的置信區(qū)間的意義是指( ). (A) 區(qū)間平均含總體95%的值. (B) 區(qū)間平均含樣本95%的值. (C) 未知參數(shù)有95%的可靠程度落入此區(qū)間. (D) 區(qū)間有95%的可靠程度含參數(shù)的

21、真值.解 選(D).(2) 對于置信水平1-(01), 關(guān)于置信區(qū)間的可靠程度與精確程度, 下列說法不正確的是( ).(A) 若可靠程度越高, 則置信區(qū)間包含未知參數(shù)真值的可能性越大.(B) 如果越小, 則可靠程度越高, 精確程度越低.(C) 如果1-越小, 則可靠程度越高, 精確程度越低.(D) 若精確程度越高, 則可靠程度越低, 而1-越小.解 選（C）. 為調(diào)查某地旅游者的平均消費(fèi)水平, 隨機(jī)訪問了40名旅游者, 算得平均消費(fèi)額為元, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差元. 設(shè)消費(fèi)額服從正態(tài)分布. 取置信水平為0.95, 求該地旅游者的平均消費(fèi)額的置信區(qū)間. 解 計(jì)算可得 s2 =282.對于 = 0.05, 查表可得.所