解答橢圓中最值問題策略

1、解答橢圓中最值問題策略橢圓是圓錐曲線這一章節(jié)中的重要內(nèi)容，而與橢圓有關(guān)的最值問題則是解析幾何中最值問題的一個(gè)組成部分與橢圓有關(guān)的最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣等特點(diǎn)，是學(xué)習(xí) 中的一個(gè)難點(diǎn)要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù) 學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、 各種平面幾何中最值的思想來解決一、建立目標(biāo)函數(shù)，禾U用函數(shù)性質(zhì)x2 y例1設(shè)P（x, y）是橢圓64+ 28 = 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)l為橢圓的左焦點(diǎn)，求|PF1|的最大值和最 小值分析：由于點(diǎn)F的坐標(biāo)為（一6, 0）,因此只須設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x, y），結(jié)合橢圓方程即可建立|PF

2、i|關(guān)于橫坐標(biāo)x的目標(biāo)函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的即可求解解：橢圓的左焦點(diǎn)Fi坐標(biāo)為（6, 0），根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，得|PFi|=寸（x + 6）2+ y2 =寸（x + 6）2+ （28務(wù)2）=冷 （x + 乎）2 =x+ 爭(zhēng)，332由已知，得x 8，8，函數(shù)Rx+在8，8上為增函數(shù),332332故 |PR|max=才|8+ = 14，|PFl|min = 4 8+ = 2.點(diǎn)撥：函數(shù)法是探求最值問題的常用方法，尤其是二次函數(shù)，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的確定不容忽視同時(shí)通過本題的解答，可得結(jié)論：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離取得 最大值和最小值的點(diǎn)就是橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)二、利用定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何性質(zhì)例

3、2 已知A（4，0）、B（2，2），M是橢圓9x2 + 25y2= 225上的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+ |MB|的最大與最小值分析：由于A（4，0）是橢圓的焦點(diǎn)，因此可以利用橢圓的定義對(duì)|MA|+ |MB|轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求解橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到定直線上兩定點(diǎn)的距離之差的最值問題解析：如圖所示，由題意，知點(diǎn)A（4, 0）恰為橢圓右焦點(diǎn)，貝UA關(guān)于0的對(duì)稱mJ點(diǎn)A1( 4, 0)(左焦點(diǎn)),由橢圓的第一定義，得 |MA|+ |MA1|= 2a, |MA|= 2a |MA1|, |MA|+ |MB|= (2 a |MA1|)+ |MB|=2a+ (|MB |MA1|),在厶 A1BM 中，|MB| |MA1| 焦

4、1|= 2伍，一2Vi0wMB| |MA1| 0，又 2a = 10故|MA|+ |MB|的最大值是 10+ 2.10,最小值為 10 2 10.點(diǎn)評(píng)：（1）涉及橢圓的焦點(diǎn)問題，一般都可以利用定義引導(dǎo)思維，同時(shí)常起著轉(zhuǎn)化的作 用；（2）注重使用平面幾何知識(shí)三角形中的三邊關(guān)系”，三點(diǎn)共線為特例，從而確定最值 三、巧妙設(shè)角，利用三角函數(shù)有界性x2 v2例3 已知橢圓C：孑+復(fù)=1（a>b>0）兩個(gè)焦點(diǎn)為F1, F2，如果曲線C上存在一點(diǎn) Q,使F1Q丄F2Q,求橢圓離心率的最小值。Q分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，但是若借用三角函數(shù) 的有界性求解，會(huì)有不錯(cuò)的效果由于F1Q丄F2Q,因

5、此可設(shè)/ PF1F2 =a,然后表示出相應(yīng)的焦半徑|QF1|、|QF2|,結(jié)合定義即可建立離 心率關(guān)于a的三角函數(shù)解：設(shè)/ QFiF2= a,貝V|QFi|= |FiF2|cos = 2ccos a |QF2|= |FiF2|sin =2csin ,a由橢圓定義知 |QF11+ |QF2|= 2a, 即 2ccos + 2csin = 2a,c 1 1、2故 e=_=)=卞(當(dāng) a= 45 時(shí)取=”,a Sin + cos a 羽sin( a+ 45 ) 2 '/故橢圓離心率的最小值為 -22.點(diǎn)評(píng)：本題建立離心率e關(guān)于a的目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)處理Rt QF1F2邊角的關(guān)系.另

6、外，利用三角函數(shù)的有界性求最值時(shí)，一定要注意角的范圍四、利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立變量不等式2 2例4 若A、B為橢圓x2 +占=1(a > b > 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使/ AQBa b=120，求此橢圓離心率的最小值.分析：建立a、b、c之間的不等式是解決離心率最值問題常規(guī)思路.此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)， 很難使用橢圓的定義。 故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化 為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中 x、y的取值進(jìn)行求解離心率的最值kBQ =',x + ax a解：不妨設(shè) A(a , 0), B( a, 0), Q(x, y)，貝U kAQ = yx2+ y

7、2 a2_ 3利用到角公式及 AQB = 120 ,得x + a x a才玄n120 (x = ±a),g卩2ay y y1+ x+ a x a又點(diǎn)A在橢圓上，故x2 a2= 辛，消去x得y = 2；：,又 丫三“即貝U 4a2(a2-c2) < 3c從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的高次不等式3e4+ 4e2 4>0,解得誓<e 1.故橢圓離心率的最小值為-3.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立a、b、c之間的關(guān)系.常用橢圓上的點(diǎn)(x, y)表示成a、b、c,并利用橢圓中x, y的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解a、c的不等式，求五、利用均值不等式，建立不等式 根據(jù)題設(shè)條

8、件建立不等式，再根據(jù)均值不等式轉(zhuǎn)化為不等式，建立 e的范圍.例5設(shè)橢圓£+ y2= i(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為Fl、F2,問當(dāng)離心率e在什么范圍取值時(shí),當(dāng)橢圓上恒存在點(diǎn)P使/ F1PF2= 120時(shí)，求離心率最小值.分析：利用余弦定理建立IF1F2與|PF1|、|PF21的等式，利用均值定理解：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為 2c,由橢圓定義|PF1|+ |PF2|= 2玄，在厶F1PF2中，由余弦定理得建立 a、c的不等式，通過解不等式可求得離心率的最小值|F1F2|2= |PF1|2+ |PF2|2 2|PF1| |PF2|cos/ F1PF2= |PF1|2+ |PF2|2 2|P

9、F1| |PF2|cos120 =(IPF1I+ |PF2|)2|PF1| |PF2|,所以 4a2 4c2= |PF1| |PF2| 事門:呼牛二 a2, 3a24c2W0,即 3a2< 4 芻孑,*誓,2'a 4 a 2又0 v ev 1，所以we 1，故離心率最小值 號(hào).另外點(diǎn)評(píng)：本題所涉及的三角形是一個(gè)一般的三角形，因此利用了余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 本題還可以利用一條直線到另一條直線到角公式求解，不過過程要較為復(fù)雜些x2一例6已知橢圓C: 3 + y2= 1，設(shè)直線I與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) 0到直線I的距離為于，求厶AOB面積的最大值分析： AOB的高是已知的，因此只要用直線的斜率k結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示線段AB的長(zhǎng)，即可將厶AOB面積S表示為k的函數(shù)，再利用求函數(shù)值域方法就可求得最大值解：當(dāng)AB丄x軸時(shí)，|AB| = 3.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y= kx + m,由已知|m|= 2 得 m2 = 3(k2 + 1),山 + k2 24把y = kx + m代入橢圓方程，整理得 (3k2 + 1)x2+