熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后習(xí)題答案

1、第八章玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)求弱簡(jiǎn)并理想費(fèi)米（玻色）氣體的壓強(qiáng)公式.ln解：理想費(fèi)米（玻色）氣體的巨配分函數(shù)滿(mǎn)足i in在弱簡(jiǎn)并情況下:ln2m3/21/2 .in 12 v 3/2g 2mh32 d 3/2 in 13o2m3/23/2 , in3/2 .d in與(8.2.4 )再由（8.2.8in2m3/223o3/2式比較,可知式，得NkT 14、2 Vinh22 mkT3/2NkT14、293/2h22 mkT1.4 106msm9.1 10 3123/2h2mkTin Vh22 mkTkT 13/2h23/24、2 2 mkT nkT 1 T t4、2h23/22 mkT CU試根據(jù)熱

2、力學(xué)公式 SCE dT及光子氣體的熱容量Cv,求光子氣體的嫡。TT v解：（8-4-10）式給出光子氣體的內(nèi)能為U2k415c3 3VT4(1)II4 2k4o(2)則可以得到光子氣體的定容熱容量為CV （ ）V 4 jqVT3T15c3根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)嫡的積分表達(dá)式（2-4-5 ）,有CvP一S 十 dT (斤)VdV S0 (3)取積分路線(xiàn)為（0, V）至（T, V）的直線(xiàn)，即有2. 44 k3 315cT2dT2. 44 k/u 3345cVT3(4)其中已經(jīng)取積分常量 So為零。8.試證明一維和二維理想玻色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象.證明：發(fā)生玻色凝聚時(shí) 一。，因此臨界溫度 工由下式

3、決定:1 D d - _/kT nV e c 1對(duì)于一維和二維理想玻色氣體，由第六章習(xí)題可知分別有：一維：D d二維：D d2Lh1/2d2 L2-md h證畢。分別代入（1）式可知，若Tc取非零有限值，則當(dāng) e 一。時(shí)積分均不收斂。要求Tc=0但由于此時(shí)不存在 T< Tc的狀態(tài)，所以一維和二維理想波色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象,銀的傳導(dǎo)電子密度為x 1028/m3。試求0K時(shí)電子的最大能量、最大速率和電子氣體的簡(jiǎn)并壓。解：0K時(shí)電子的最大能量22 N1.055 10 34228 2/31903 23 2 5.9 10288.9 10 J 5.6eV2m V 2 9.1 10 31最大速率1

4、92 8,9 10 19 J0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓5 59 1028 2/3 89 1019 21010Pa試求絕對(duì)零度下電子氣體中電子的平均速率 證明：根據(jù)式子（8-5-4 ）,絕對(duì)零度下自由電子氣體中電子動(dòng)量大小的分布為(1)f=l pPff=0 P>P F其中PF是費(fèi)米動(dòng)量，即0K時(shí)電子的最大動(dòng)量。因此電子的平均動(dòng)量為8 V pf 3P3dPh3 08 V"h3"PfP2dP4PF(2)因此電子的平均速率為3Pf4m3Vf4(3)假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為n.試求0 K時(shí)二維電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能in 1 ein 1(x)in 1 e( x) in 1e和

5、簡(jiǎn)并壓.解：考慮電子自旋有兩種取向后，二維電子氣體在e e + d e的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為4 L2md所以0K時(shí)電子的最大能量由下式確定:上md h2h2 N4 mL24 L22T內(nèi)能4 mL2h2 N對(duì)于二維電子氣體,V=L21 22L2m L22nxny2nx2ny21c 222V 2 nx ny2mLi U1c所以0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓P aiai -n 01 Vi VV 2C,試根據(jù)熱力學(xué)公式SCLdT及低溫下的熱容量，求金屬中自由電子氣體的嫡。T解：根據(jù)式（8-5-19 ）給出低溫下金屬中自由電子氣體的定容熱容量為CVNk 22 kT(0)根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)嫡的積分表達(dá)式（2-4

6、-5 ）,有-CvP-小、S dT qvdV S。(2)取積分路線(xiàn)為 (0, V)至(T, V)的直線(xiàn)，即有c 2 Nk2 T2 kTcSdT Nk2(0) 02(0)其中已取積分常量 S為零。試求低溫下金屬中自由電子氣體的巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，從而求電子氣體的壓強(qiáng)、內(nèi)能和嫡。解：根據(jù)式（8-1-13 ）,自由電子氣體巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)可表達(dá)為ini in 1 e i4V 2m 3/21/2 in 1 e i dih04 V 2m3/21/2x in 10e Xi dx其中第二步用了（ 6-2-17 ）式，第三步做了變數(shù)變化=x將上式的積分分為兩段：3/2,4 V 2m1/2xi ,1/2xiin3

7、- - x in 1 e dx x in 1 e dxh0在第一個(gè)積分中將對(duì)數(shù)函數(shù)改寫(xiě)為(2)xiin exixie其中( x)。在第二個(gè)積分中作變數(shù)變換,(2)式可改寫(xiě)為ln4 V 2m才一3/2小(15)52I112(3)其中In 10)12d在低溫I1lnIn 1o)12d(4)kTln 1 e0(1)n2n的情形下，I 1和I 2可近似為12 d ()(1)n(5)3/2162m15h3)52(122)(6)根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)中熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可得(11)ln3/28 V 2m3h3()2(1.3 .U ln ln (8)2_11”、Pln ln (9)V V5U k(ln ln -ln

8、 ) k(-lnN)(10)由于在低溫下N ln1,作為第一級(jí)近似可以略去式(kT3/28 V 2m ,、327)中的第二項(xiàng)而有3h32 2 N 23一(3) 32m V(0)kT計(jì)及（7）式的第二項(xiàng)，可將（7）式改寫(xiě)為-11-0.43 10 J 27MeV0 一32M2m(3 2 7)23(1222)3(38 2 2m22N)23(1)再將上式中第二項(xiàng)的用第一級(jí)近似代入,12(13)(0)1書(shū)2（13）式與（8-5-17 ） 一致。ln用式（7）除式（6）,并將（12）式代入可將2nJ0)5 kT代回式（8）(0)1ln 表不為N（0）的函數(shù)1石端21萬(wàn)端2:喈112r kT 12,F-(14)(9), (10)即得5J212(0)(15)(0)(15也212(0)(16)2Nk 2kT(0)(17)n.如果將核內(nèi)的質(zhì)子和中子看作關(guān)于原子核半徑R的經(jīng)驗(yàn)公式給出R = x10-5m）-A/3式中A是原子核所含核子數(shù).假設(shè)質(zhì) 子數(shù)和中子數(shù)相等，均為A7 2,試計(jì)算二者在核內(nèi)的密度簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體,試求二者的（0）以及核子在核內(nèi)的平均動(dòng)能.核子質(zhì)量M = x 10-27 kg.解：n NVA/24 R3 3A/2415 31.3 10 153-0.05 1045 / m3A22/3n _ 34 21.055 10245 2/32730.05 102